求直线方程问题中的几个易错点

数学部分•易错题归类剖析 高一使用 2020年12月
求直线育程问题中的几令易错点0
■廖庆伟
求直线方程问题，看起来简单，但要细心
得y =kx 一松，解此
2x + 3y 一 6 = 0。

正解:由题设可
审题，下面就这类问题的易错点举例分析，帮助大家更好地学习这部分知识。

3^3 + 6—、弄不清直线的倾斜角a 的取值范围
x
2 + 3k ，
方程组可得彳
例1 已知直线斜率的绝对值为箱，则
6k 一 2^3直线的倾斜角为____。

y
2 + 3k 。

错解：由直线的斜率为箱，即k = tan a =
由题意可知交点位于第一象限，所以可得倾斜角a = 60°。

3 ^^3 + 6、33+■ >0,
r 2k > —2，
错因分析:要明确直线的倾斜角a 的取
-解得/
据此
7七’ 一 2
值范围，即◎G _0 , n)。

2 + 3k >0，
k >3或 k V —3,
正解：由题意可得，直线的斜率k =可得k >3L
tan a = 士肩，故倾斜角 a = 60°或 a = 120°。

可
二、弄不清直线的倾斜角与斜率的关系
设直线l 的倾斜角为a （0W a Vn ）,则
例2 若直线l :y = kx 一43与直线 2x +k = tan a > ——。

由函数y = an a 的性质可
3y —6 = 0的交点位于第一象限，则直线l 的
3
倾斜角的取值范围是（ ）。

知,~ V a V-n ，应选B 。

A
-[ 6,—)B -
(已—)
三、混淆截距与距离的关系
C -( 3,n )
D -
（于，）
例3 已知直线l 的斜率为一4,与两坐
得y =kx 一箱，解此
2x + 3y 一 6 = 0。

标轴围成的三角形的面积是6,则直线l 的方
错解：由题设可
程为_____。

4
y = —-|-x + b (b >0)。

3^3 + 6错解：设直线l :x
2 + 3k ，
方程组可得〈
令x = 0得y =b y 二
6k 一 2 437，令y = 0得x =〒b 。

2 + 3k 。

由题意可知交点位于第一象限，所以根据题意可得yX b X （4b ）
= 6,解得
3 \/3~ + 6「 2
A
2 +3k > ，k > — 3，
b = 4 ,所以直线l 的方程％y =
x +4。

-解得?
据此
6k —2 箱屈亠
2
k >— 或 k V -----,
错因分析：直线在x 轴（y 轴）上的截距
1 2 + 3k
〔
3 3
是直线与x 轴（y 轴）交点的横（纵）坐标，截
可得k 〉^3。

距不是距离，截距可正、可负、可为零。

正解：设直线l ：4
y =-----x +b 。

由 k = tan “可知，6V a Vn ，应选D 。

3
错因分析:上述解法没有弄清直线的倾
3
令 x = 0 得 y = b ,令 y = 0 得 x = ~j~b 。

斜角与斜率的关系。

直线的斜率等于其倾斜
-X b X (3b
) = 6 ,解得
角的正切值，即斜率k = tan a （W a Vn ）。

根据题意可得—18
数学部分•易错题归类剖析高一使用2020年12月
b=±4,所以直线1的方程为y=—；x±4。

四、忽视截距为零导致错误
例4求过点(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程。

错解：当直线截距不为零时，设直线方程%x+y=1o因为直线过点(2,3),所以
a a
93
+3=1解得
a a
a=5,故所求的直线方程为
x+y一5=0o
错因分析：直线在坐标轴上的截距可以是正数、负数或零。

上述解法忽视了直线在两坐标轴上截距为零的特殊情况。

正解：当直线截距不为零时，设直线方程
为+y=1o因为直线过点(2,3),所以
a a
93
+3=1解得
a a
a=5,故所求的直线方程为x+y—5=0o当直线的截距为零时，直线过
3
原点，直线方程为y=3x,即3x—2y=0综上所述，所求的直线方程为x+y—5=0或3x—2y=0o
五、忽视两直线平行的条件
例5若直线11：y=—x+2a与直线
1：y=(a2—2)x+2平行，则实数a=()。

A.—1
B.3
C.士1
D.—3或1
错解：由直线11〃12,可得a2—2=—1,所以a=士1o应选C。

错因分析：上述解法只注意到两直线平
行时斜率相等，而忽视了斜率相等的两直线也可能重合的情况。

正解：因为直线11〃12,所以a2—2=—1且2a H2,解得a=—1o应选A。

六、忽视两直线重合的情形
例6已知两直线11:x+my+6=0,2:
(m—2)x+3y+2m=0,当1、〃1时，则m 的值为。

错解：由直线11〃12,可得1X3—m(m—2)=0,解得m=—1或m=3。

错因分析：上述解法忽视了两直线的截
距相等(即两直线重合)的情形。

正解：由11〃1，可得1X3—m(m—
2)=0,解得m=—1或m=3o
当m=—1日寸，11:x一y+6=0,1：3x—
3y+2=0,这时11〃12,符合题意。

当m=3日寸，11：x+3y+6=0,1：x+
3y+6=0,这时两直线重合，不合题意。

故m=—1o
七、求平行直线间的距离忽视方程的
系数
例7已知两平行直线11:4x+3y+3=
0,2：8x+6y—6=0,则1与1之间的距离为。

错解：依题意可得平行直线11与12之间的距离为d
错因分析：使用两平行直线间的距离公式时，应把两直线方程中x,的系数化为相同的数。

正解:1：8x+6y一6=0可化为12：4x+
3y—3=0o根据两平行直线间的距离公式易得11与1之间的距离为d
八、忽视-・-2=—1成立的条件
例8已知直线11经过点A(3,a), B(a—2,3),直线12经过点C(2,3),D(—1,
a—2),若11丄12,则实数a的值为_____。

错解：由11丄12,可得k1•k2=—1。

因，-3——a a——5十”、’3——a a——5
为-1=——,2=—，所以——-・一= a—5—3a—5—3
一1解得a=0o
错因分析：两条直线斜率都存在时，11丄12=-1・-2=—1。

特别地，当一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直。

正解：由题意知12的斜率一定存在，但12的斜率有可能为0o下面对直线12的斜率-2进行分类讨论。

当-2=0时，可得a=5,但k1不存在,这
时两直线垂直。

当-2H0时，由-1--2=
一1,可得a=0,这时两直线垂直。

综上可知，a=5或a=0o
作者单位：湖北省巴东县第三高级中学
(责任编辑郭正华)
19。