中学数学解题思想方法：割补法

合集下载

中考复习数学思想方法之二：割补法“补形”在初中几何问题中的应用

中考复习数学思想方法之一：割补法“补形”在初中几何问题中的应用平面几何中的“补形”就是根据题设条件，通过添加辅助线，将原题中的图形补成某种熟悉的，较规则的，或者较为简单的几何基本图形，使原题转化为新的易解的问题．从“补形”的角度思考问题，常能得到巧妙的辅助线，而使解题方向明朗化，所以，补形是添加辅助线的重要方法．下面举例加以说明，供参考．例1 如图1，六边形ABCDEF的六个内角都相等，若AB=1，BC=CD=3，DE=2，则这个六边形的周长等于．解析题中六边形是不规则的图形，现将它补形为较规则的正三角形，分别向两方延长AB、CD、EF相交于G、H、I (如图2)．∵六边形ABCDEF的六个内角都相等，∴六边形的各角为120°，∴△AFI、△BCG、△DEH均是正三角形，从而△GHI为正三角形，则有GC=BC=3，DH=EH=DE=2，IF=AF,IH=GH=GC+CD+DH=3+3+2=8，∴IE=IH－EH=8－2=6．∴六边形的周长等于：AB+BC+CD+DE+EF+F A=AB+BC+CD+DE+IE=1+3+3+2+6=15．注：本题亦可补成平行四边形求解，如图3．例2 如图4，在Rt△ABC中，AC=BC，AD是∠A的平分线，过点B作AD的垂线交AD的延长线于点E，求证：AD=2BE．解析从等腰三角形的性质得到启示：顶角平分线垂直底边且平分底边．结合AE平分∠CAB，B E⊥AE，启发我们补全一个等腰三角形．所以延长BE交AC的延长线于点F(如图5)，易证△ABF为等腰三角形，∴BF=2BE，再证△ACD≌△BCF，全等的条件显然满足，故结论成立．例3 某片绿地的形状如图6所示，其中∠A=60°，A B⊥BC，C D⊥AD，AB=200m，CD=100m，求AD，BC的长．解析由题设∠A=60°，A B⊥BC，可将四边形补成图7所示的直角三角形．易得∠E=30°，AE=400，CE=200，然后再由勾股定理或三角函数求出BE=2003，DE=1003．由此得到AD=400－1003，BC=2003－200。

初中数学常见的思想方法

初中数学常见的思想方法专门与一样的数学思想：关于在一样情形下难以求解的问题，可运用专门化思想，通过取专门值、专门图形等，找到解题的规律和方法，进而推广到一样，从而使问题顺利求解。

常见情形为：用字母表示数；专门值的应用；专门图形的应用；用专门化方法探求结论；用一样规律解题等。

整体的数学思想：所谓整体思想，确实是当我们遇到问题时，不着眼于问题的各个部分，而是有意识地放大考虑问题的视角，将所需要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体与局部的内在联系来解决问题的思想。

用整体思想解题时，是把一些彼此独立，但实质上又相互紧密联系的量作为整体来处理，一定要善于把握求值或求解的问题的内在结构、数与形之间的内在结构，要敏捷地洞悉问题的本质，有时也不要舍弃直觉的作用，把注意力和着眼点放在问题的整体上。

常见的情形为：整体代入；整式约简；整体求和与求积；整体换元与设元；整体变形与补形；整体改造与合并；整体构造与操作等。

分类讨论的数学思想：也称分情形讨论，当一个数学问题在一定的题设下，其结论并不唯独时，我们就需要对这一问题进行必要的分类。

将一个数学问题依照题设分为有限的若干种情形，在每一种情形中分别求解，最后再将各种情形下得到的答案进行归纳综合。

分类讨论是依照问题的不同情形分类求解，它表达了化整为零和积零为整的思想与归类整理的方法。

运用分类讨论思想解题的关键是如何正确的进行分类，即确定分类的标准。

分类讨论的原则是：（1）完全性原则，确实是说分类后各子类别涵盖的范畴之和，应当是原被分对象所涵盖的范畴，即分类不能遗漏；（2）互斥性原则，确实是说分类后各子类别涵盖的范畴之间，彼此互相独立，不应重叠或部分重叠，即分类不能重复；（3）统一性原则，确实是说在同一次分类中，只能按所确定的一个标准进行分类，即分类标准统一。

分类的方法是：明确讨论的对象，确定对象的全体，确立分类标准，正确进行分类，逐步进行讨论，猎取时期性结果，归纳小结，综合得出结论。

用割补法求几何体的体积

用割补法求几何体的体积――培养学生的空间想象能力内容提要：本文用图形割补的方法来求一些不规则的几何体体积，通过求几何体体积的过程，来培养和提高学生对空间图形的想象能力，进而得出培养和提高学生空间想象能力的途径。

关键字：割补法空间想象能力在高中立体几何的学习中，学生最大的困难在于缺乏良好的空间想象能力，由于目前我们只能在二维平面上通过空间图形的平面直观图来研究空间元素的位置关系和数量关系，这就造成学生难以摆脱在平面几何学习中培养起来的对平面图形的认知经验，具体表现在遇到立几问题时，不会识图，有些学生甚至看不出空间元素的前后位置关系，也不会合理作图。

特别是求几何体体积问题，对于不同的几何体或不规则的几何体，我们可联想熟悉的几何体去计算其体积，这就对学生的空间想象能力有很高的要求。

那么什么是空间想象能力呢？中学数学中的空间想象能力主要是指，学生对客观事物的空间形式进行观察、分析、抽象思考和创新的能力。

空间想象能力的提高必定AB要经过实际的训练，途径也有很多种。

本文就借助于求几何体的体积来提高学生的空间想象能力。

由于几何体的形状多种多样，所以体积的求法也各不相同。

针对一些不规则的几何体，直接运用体积公式可能比较困难，我们常对原几何体进行割补，转化为几个我们熟悉的几何体，其解法也会呈现一定的规律性:① 几何体的“分割”几何体的分割即将已给的几何体，按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之。

② 几何体的“补形”与分割一样，有时为了计算方便，可将已给的几何体补成易求体积的几何体，如长方体，正方体等等。

一、用割补法求锥体的体积例题一：已知三棱锥ABC P -，其中4=PA ,2==PC PB ,ο60=∠=∠=∠BPC APC APB 求：三棱锥ABC P -的体积。

【思路一】作BC 的中点D ，连接PD 、过P 作AD PH ⊥，垂足H易证PH 即为三棱锥ABC P -的高，由棱锥体积公式 PH S V ABC ABC P ⋅=∆-31即得三棱锥ABC P -的体积。

几何证题方法探讲——割补法

几何证题方法探讲——割补法作者：余熳炜张勇超来源：《中学生数理化·教研版》2009年第07期在求解平面几何问题时，根据问题的题设和结论，合理适当地将原来的图形割去一部分，或补上一部分，变成一个特殊的、简单的、整体的、熟悉的图形，使原来问题的本质得到充分显示，通过对新图形的分析，探索原来问题的答案，我们把这种方法称之为割补法.一、补出直角三角形如果图形中有直角或者相邻两角互余的情况，可考虑通过整形，补出或补成直角三角形来解题.二、补出等腰三角形如果图形涉及三角形或四边形某角的平分线，或三角形一边上的中线（或高）与角平分线联系，可考虑补出等腰三角形来.例1 如图1，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，且AE＝12BD，求证：BD平分∠ABC.三、补出正三角形如果多边形有一个内角为60°或120°，涉及到等线段，可考虑将图形补成一个正三角形.例2如图2，AA′、BB′、CC′交于点O，且AA′=BB′=CC′=1，∠AOC′=∠BOA′=∠COB′=60°.（1）求证：△△△COB′＜34；（2）求证：△AOC′、△BOA′、△COB′ 中至少有一个不大于316. 证明:（1）延长AA′至E，使A′E=OA.延长B′B至D，使BD=BO′，连DE.在DE上截取F，使EF=OC′.易证△ODE为正三角形，DF=OC.则△AOC′≌△A′EF，△B′OC≌△BDF.∵△A'EF＋△BOA'＋△BDF＜正△ODE，∴△AOC'＋△BOA'＋△COB'＜正△ODE.又△ODE＝34，则△AOC'＋△BOA'＋△COB'＜34.（2）设OA＝a，OB＝b，OC＝c,则OA'＝1－a，OB'＝1－b，OC'＝1－c.∵△AOC'＝34a(1－c)，△BOA'＝34b(1－a)，△B'OC＝34c(1－b). ∴△AOC'－△BOA'－△∵－a＋14≥0 ,∴a(1－a)≤14.同理b(1－b)≤14，c(1－c)≤14.则△AOC'－△BOA'－△∴△AOC'、△BOA'、△COB'中至少有一个不大于316.四、补出平行四边形例3 如图3，凸六边形ABCDEF中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F，且AB＋BC=11，FA －CD=3，求BC＋DE.解：由题意知，AF∥CD，BC∥EF，则可将六边形补成平行四边形MCNF.△ABM、△DEN均为等边三角形.MC＝AB＋BC＝11. ①FA＝MF－AM＝CN－AB＝CD＋DE－AB.于是FA－CD＝DE－AB＝3.则DE－AB＝3. ②①＋②得DE＋BC＝14.五、补出正方形例4 如图4，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠CAB＝45°，BC=3，CD=2，求△ABC.解：将△ACD沿直线AC翻折得△ACF.将△ABD沿直线AB翻折得△ABE.分别延长FC、EB交于G，可证出AEGF为正方形.设AF＝AD＝AE＝x，则CG＝x－2，BG＝x－3.在Rt△BCG中，＝＋∴(2＋＝(x－＋(x－解得x＝6（舍去负值）.则△ABC＝15.五、补出圆已知共顶点的两条相等线段、角之间的关系，可以公共顶点为圆心补圆，以较方便转化角、转化线段之间的关系.例5 如图5，若PA＝PB，∠APB＝2∠ACBAC与PB交于点D，且PB＝4，PD＝3，则AD•DC＝.A.6B.7C.12D.16解：以P为圆心，PB长为半径作圆.∵PA＝PB，∠APB＝2∠ACB.∴点A、点C都在圆上，延长BP交⊙P于点E，则BE＝8.∵PD＝3∴BD＝1，DE＝7，由相交弦定理知：AD•DC＝7.。

割补法解三角形的精髓,就是使题目便于解答.doc

割补法解三角形的精髓，就是使题目便于解
答
一般题目涉及到几何图形，都会先画一个图，从图中更直观的感觉题目所给已知条件之间的关系，再选择方法和解题技巧。

割补法是数学中重要的思想方法之一，主要分为“割形”与“补形”，是将复杂的、不规则的、不易认识的几何体或几何图形，切割或补充成简单的、规则的、易于认识的几何体或图形，从而达到解决问题的目的. 割补法重在割与补，巧妙地对几何体或几何图形实施割与补，变整体为局部，化不规则为规则，化陌生为熟悉，化抽象为直观.
割补法在解几何问题中还是非常巧妙的，补法就是把图形补成一个规则图形，使题目便于解答；割补法就是同样把图形割成几个规则图形，使题目便于解答，此题中的四边形补成一个等腰三角形，等腰三角形的性质就可以使用来解题了。

初中数学常见的思想方法

初中数学常见的思想方法特殊与一般的数学思想：对于在一般情况下难以求解的问题，可运用特殊化思想，通过取特殊值、特殊图形等，找到解题的规律和方法，进而推广到一般，从而使问题顺利求解。

常见情形为：用字母表示数；特殊值的应用；特殊图形的应用；用特殊化方法探求结论；用一般规律解题等。

整体的数学思想：所谓整体思想，就是当我们遇到问题时，不着眼于问题的各个部分，而是有意识地放大考虑问题的视角，将所需要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体与局部的内在联系来解决问题的思想。

用整体思想解题时，是把一些彼此独立，但实质上又相互紧密联系的量作为整体来处理，一定要善于把握求值或求解的问题的内在结构、数与形之间的内在结构，要敏锐地洞察问题的本质，有时也不要放弃直觉的作用，把注意力和着眼点放在问题的整体上。

常见的情形为：整体代入；整式约简；整体求和与求积；整体换元与设元；整体变形与补形；整体改造与合并；整体构造与操作等。

分类讨论的数学思想：也称分情况讨论，当一个数学问题在一定的题设下，其结论并不唯一时，我们就需要对这一问题进行必要的分类。

将一个数学问题根据题设分为有限的假设干种情况，在每一种情况中分别求解，最后再将各种情况下得到的【答案】进行归纳综合。

分类讨论是根据问题的不同情况分类求解，它表达了化整为零和积零为整的思想与归类整理的方法。

运用分类讨论思想解题的关键是如何正确的进行分类，即确定分类的标准。

分类讨论的原那么是：〔1〕完全性原那么，就是说分类后各子类别涵盖的范围之和，应当是原被分对象所涵盖的范围，即分类不能遗漏；〔2〕互斥性原那么，就是说分类后各子类别涵盖的范围之间，彼此互相独立，不应重叠或部分重叠，即分类不能重复；〔3〕统一性原那么，就是说在同一次分类中，只能按所确定的一个标准进行分类，即分类标准统一。

分类的方法是：明确讨论的对象，确定对象的全体，确立分类标准，正确进行分类，逐步进行讨论，获取阶段性结果，归纳小结，综合得出结论。

割补法在高中立体几何解题中的应用_方清

锥．故只要求出其中一个三棱锥的体积即可．由
图可知，ＶＡ′－ＢＥＤ′ ＝ＶＤ′－Ａ′ＢＥ＝１３·ＳΔＡ′ＢＥ·Ａ′Ｄ′＝
１３
·１２·ａ２·ａ·ａ＝１１２ａ３
．故ＶＡ′－ＥＢＦＤ′
＝２ＶＡ′－ＢＥＤ′
＝
１ａ３．６
以上各例说明，在解决某些几何问题时，若
利用部分与整体的关系来解题．
例６已知三棱锥Ｐ－ＡＢＣ，其中ＰＡ＝４，ＰＢ＝ＰＣ＝２，
∠ＡＰＢ＝ ∠ＡＰＣ＝ ∠ＢＰＣ＝６０°求：
三棱锥Ｐ－ＡＢＣ的
体积．
分析１作ＢＣ
分析如图４，将一个完全相同的几何体与已知的几何体拼在一起组成一个高为５的圆柱，
那么所求几何体的体积就是这个圆柱体积的
例８如图１０，已
知正方体ＡＢＣＤ－Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′ 的棱长为ａ，
Ｅ、Ｆ分别是棱ＡＡ′ 和
ＣＣ′ 的中点，求四棱锥
Ａ′－ＥＢＦＤ′ 的体积．
分析本题要想直接求出四棱锥的高还是比较困难的．但是四棱锥的底面是菱形，所以连
结对角线把四棱Leabharlann 分割成体积相等的两个三棱Ａ．３π Ｂ．４π Ｃ．３槡３π Ｄ．６π
分析１设ΔＡＣＤ的重心为Ｅ，则球心在线段ＢＥ上，可在直角三角形中求解，但计算较麻烦．
分析２将正四面体ＡＢＣＤ补成正方体，则正四面体、正方体的外接
球为同一个球．因为正四面体的棱长为槡２，所以
（收稿日期：２０１３－０８－１６）

勾股定理三种证明方法割补法

勾股定理三种证明方法割补法嘿，朋友们！今天咱来聊聊勾股定理的三种证明方法之割补法。

你说这勾股定理啊，那可真是数学里的大宝贝呀！就好像是一把神奇的钥匙，能打开好多难题的大门呢。

咱先来说说第一种割补法。

想象一下，有一个直角三角形，就像一个稳固的小凳子。

我们把它这儿切一刀，那儿补一块，嘿，神奇的事情发生了！通过巧妙的切割和填补，就能发现那些边与边之间隐藏的关系。

这就好比是在玩拼图游戏，把那些碎片拼到一起，答案就呼之欲出啦！你说这妙不妙？再看看第二种割补法。

就像是在给这个直角三角形变魔术一样，通过不同的割补方式，又能得出同样神奇的结论。

这不是一般人能想到的呀，得是那些聪明的脑袋瓜子才能琢磨出来的呢！你难道不想试试自己能不能像那些数学家一样聪明？还有第三种割补法呢！哇哦，这一种更是让人惊叹不已。

就好像是给这个直角三角形穿上了一件特别的衣服，一下子就让它的秘密都暴露出来了。

你不觉得这很神奇吗？其实啊，勾股定理的割补法证明就像是一场奇妙的冒险。

每一次尝试都是一次探索，每一个新的发现都让人兴奋不已。

这可不仅仅是数学知识，更是一种智慧的体现呀！我们在这个过程中，可以尽情地发挥自己的想象力和创造力，就像在自己的小天地里自由翱翔一样。

想想看，几百年前的数学家们是怎么发现这些方法的呢？他们是不是也像我们现在这样，充满好奇地去尝试、去探索？他们的智慧真的让人佩服得五体投地呀！而我们现在有这么好的条件，更应该好好去研究、去体会这些神奇的证明方法呀。

所以啊，朋友们，不要小看了这勾股定理的割补法。

它就像是隐藏在数学世界里的宝藏，等待着我们去挖掘、去发现。

让我们一起投入到这个奇妙的数学之旅中吧，去感受那无尽的乐趣和惊喜！我相信，只要我们用心去体会，一定能领略到勾股定理割补法的独特魅力！这就是我想说的，你们觉得呢？。

割补法和分割法

割补法和分割法
什么叫做割补法和分割法？
割补法和分割法都是计算平面几何图形面积的推导方法，也是一种思考方法。

在面积和体积教学中，都有着广泛的应用。

割补法是指：把一个图形的某一部分割下来，填补在图形的另一部分，在原来面积不变的情况下，使其转化为已经掌握的旧的图形，以利于计算公式的推导。

平行四边形通过割补可转化为长方形（或正方形），梯形通过割补可转化为平行四边形，圆通过割补可转化为近似长方形等。

（1）平行四边形割补后转化为长方形：
（2）梯形割补后转化为平行四边形：
分割法是指：对一些不规则图形的面积，不能使用割补法，可以利用不规则图形的凹凸特点，将其分割成若干个可以计算的规则图形（如：长方形、三角形、梯形、……），先将各个规则图形的面积计算出来，然后再把这些规则图形的面积加在一起，总面积就是不规则图形的面积。

这种计算不规则图形的方法，叫做分割法。

下面两个图形就采用了分割法。

（1）
（2）
左图ABDE是一个不规则图形，用分割法可分成一个平行四边形ABDE，一个三角形BCD，把平行四边形和三角形的面积分别求出来，再把所得的结果加在一起，就是这个不规则图形的面积。

中学数学解题思想方法--割补法

a 2 解得 b 1 abc abc 1 2 3 2 6 3 3
评析：本题所采取的解题方法为补形法.难点在于如何利用
“对棱相等”这一特点，不拘泥于在所给几何体求体积，
联想长方体大胆构造，通过将对棱相等的三棱锥补形成长
F
D
C
A
B
图2-1
分析题中所给多面体是一个不规则多面体，一般我们可以考虑把这类问题转化为用规则的几何体之和差来求解.考虑到题目中给出的四边形 ABCD 为正方形，因此我们可以考虑在图中截成一个直三棱柱和两个三棱锥，如图2-2所示，
从而借助常用的三棱柱和三棱锥的体积计算.
E
G
H
F
D
C
A
B
图2-2
解：将多面体 ABCDEF 分割成如图2-2所示的直三棱柱和两个三棱锥，因此 1 1 V多面体ABCDEF VADG BCH VE ADG VF BCH SADG AB SADG EG SBCH FH 3 3
1 1 1 1 SADG AB SADG EG SADG FH SADG ( AB EG FH ) 3 3 3 3 G E 4 4 1 2 2 S ADG = 1 3 3 2 2 3
方体，匠心独具，极大地降低了计算量.类似地，可以将正
四面体补形成正方体，将三条棱互相垂直的三棱锥补形成
长方体或正方体求三棱锥的体积.
例2
如图2-1,在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为
1的正方形，且 ADE, BCF 均为正三形，EF
则该多面体的体积为 ________.
E
EF 2 / / AB，
P

割补法求面积技巧

割补法是一种常用的求面积的方法，其基本思想是将一个复杂的图形割补成几个简单的规则图形，然后利用这些规则图形的面积公式来求解原图形的面积。

以下是使用割补法求面积的一些技巧：
1.观察图形：首先观察要计算的图形，看是否可以通过割补将其变为简单的规则图形。

2.选择割补方式：根据图形的特点，选择合适的割补方式。

割补方式的选择对于简化问题非常重要。

3.计算规则图形面积：对于割补后的规则图形，使用相应的面积公式进行计算。

4.求和或相减：如果图形是通过割补多个部分得到的，那么需要将各部分的面积相加或相减，以得到原图形的面积。

5.验证答案：完成计算后，要验证答案是否正确。

可以通过将答案代回原图形，看是否与原图形的面积相等来进行验证。

下面是一个使用割补法求面积的例子：
题目：求下图中阴影部分的面积（单位：cm²）。

![阴影部分为不规则图形]
（请根据您所使用的软件或平台的功能进行适当的调整或
绘制）
解：观察图形，发现可以将阴影部分割补成一个半圆和一个等腰直角三角形。

半圆的半径为r = 5cm，面积为 21×π×r2。

等腰直角三角形的底为b = 10cm，高为h = 5cm，面积为 21×b×h。

因此，阴影部分的面积为半圆面积加上三角形面积，即 21×π×52+21×10×5=39.25cm2。

巧用割补的数学思维解题

另一方面可以验证：
1+2+3+…+62=1953<2008<1+2+…+62+63=2016，说明前62行共有1953个真分数；从而第2008个真分数应该是第63行的第55个数，其分母是64，分子是55，即第2008个真分数是。
方法总结：根据数量关系恰当进行分组，找出其规律，这是解决本题的关键，也是这类题型解法的精髓。
例1：“幸福”商店开张，为吸引顾客，进行如下的优惠活动：凡在本商店购买汽水，可用3只空瓶换1瓶汽水。甲、乙、丙三人共买10瓶汽水，他们喝完后，最后不剩空瓶，平均每人喝几瓶汽水。
思路分析：每次用3个空瓶换1瓶汽水，则非常麻烦，难得到答案，用分组法，问题就迎刃而解。
解：因为3只空瓶换1瓶汽水，所以2瓶汽水就能喝到2瓶汽水， 10瓶汽水能喝15瓶汽水，平均每水喝3瓶汽水。
方法总结：根据题意巧妙进行分组，寻找规律，是解决本题的关键，也是这类题型解法的精髓。
二、面积中的割补
面积中使用割补思维，它通常包含两种解题方法：割形法、补形法。
例2：在动画片蓝猫淘气三千问中，蓝猫问了小灰熊一个有趣的问题：如图，每个小正方形边长为单位1，求图中四边形ABCD的面积，你能帮小灰熊解决这个问题吗？
解：能
如图C（－2，0），B（0，1）,联立一次函数y=x+2,y=2x+1得方程组
解方程组得：
∴A（1,3），BD＝1
∴S△ABC＝S△BDC＋S△ADB＝＋＝1.5
方法总结：在直角体系中求三角形的面积，一般选用坐标轴上线段为底，再结合割补思维，就出奇制胜，简化计算!
三、计算中的割补
例6：计算：
例12：有这样一个正方形，面积为18.75平方厘米，在正方形内有两条平行于对角线的线段把正方形的面积三等分，求这两条平行线段的长。

运用“割补法”确定任意多边形的重心——从对文[2]、文[3]两篇商榷文章的商榷谈起

０、０：均是图形的重心，即图１有两个重心．这与重
［１］）一文之后，在第６期又刊出了邵亚明老师的
《 “ 重心与图形面积平分问题 ”的商榷》（以下简称
文［２］）和钟拥政老师的《也谈图形平分问题与探求重心》（以下简称文［３］）两篇文章，对重心与面积
老师的《重心与图形面积平分问题》（以下简称文
形的中线可将三角形面积平分，所以对于三角形来说，两条面积平分线的交点是其重心是成立的．但并不是所有平面图形的重心都可以这样确定，如图１是将一矩形的右上角剪去一个小矩形后所得图形，根据中心对称图形的相关性质，可得其面积平分线ＡＢ（如图２所示）、ＡＢ（如图３所示）．根据全等三角形的面积相等，可知过Ｂ的中点０的分割线ｃ。Ｄ、过：Ｂ：的中点０的分割线ＣＤ也都能将该图形面积平分．点０。、０在图形中的位置显然不同，若两条面积平分线的交点是平面图形的重心，则
角形为例进行了说明．
文［３］对“ 怎样确定平面图形的重心”提出：探求平面图形的重心，首先要探求出能将平面图形面
积两等分的两条直线，这两条直线的交点就是平面
图形的重心．２观点商榷
显然，文［２］曲解了文［１］表述的利用割补法作任意多边形（包括凹多边形）重心的方法．而文［３］对这个问题的观点有失一般性．

割补法

“割补法”求解不规则几何体体积我们通常把不是棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台等的几何体，称为不规则几何体．而解决不规则几何体的方法，常用割补法，即通过分割或补形，将它变成规则的几何体．我们可以从不规则几何体的来源上，即它是由何种常见的几何体所截得的来分类．一、来自三棱柱的截体例1 如图1，正四面体A BCD -中，E F G H ，，，分别是棱AB AC BD CD ，，，的中点，求证：平面EFHG 把正四面体分割成的两部分几何体的体积相等．分析：显然正四面体被分割成的两部分都是不规则的几何体，因此我们可使用割补法来推导．那么我们应选择割，还是补呢？如果选择补，那么补成什么样子呢？显然只能是正四面体，这就说明我们应该选择割．证明：连结CE CG AG AH ，，，，左右两个不规则几何体都被分割成了一个四棱锥和一个三棱锥，如图1．易证左右的两个四棱锥的体积相等，两个三棱锥的体积也相等，于是两部分体积相等．当然此题还有其他的分割方法，比如分成一个三棱柱和一个三棱锥等，也同样好证．二、来自正方体的截体例2 如图2，已知多面体ABC DEFG -中，AB AC AD ，，两两互相垂直，平面ABC ∥平面DEFG ，平面BEF ∥平面ADGC ，2AB AD DC ===，1AC EF ==，则该多面体的体积为（）Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8解法一（割）：如图3，过点C 作CH DG ⊥于H ，连结EH ，这样就把多面体分割成一个直三棱柱DEH ABC -和一个斜三棱柱BEF CHG -．于是所求几何体的体积为：DEH BEF V S AD S DE =⨯+⨯△△11212212422⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解法二（补）：如图4，将多面体补成棱长为2的正方体，那么显然所求的多面体的体积即为该正方体体积的一半．于是所求几何体的体积为31242V =⨯=．三、来自圆柱的截体例3 如图5，如图5，一圆柱被一平面所截，已知被截后几何体的最长侧面母线长为4，最短侧面母线长为1，且圆柱底面半径长为2，则该几何体的体积等于_______．解法一（割）：如图6，该几何体的体积等于下面的圆柱的体积与上面的圆柱体积的一半之和．下面的圆柱的高就是该几何体的最短侧面母线长1，而上面的圆柱的高为3．于是所求几何体的体积为221π212310π2V =⨯⨯+⨯⨯⨯=．解法二（补）：如图7，将一个与已知的几何体完全相同的几何体，与已知的几何体拼在一起组成一个高为5的完整圆柱，那么所求几何体的体积就是这个大圆柱体积的一半．于是21π2510π2V =⨯⨯⨯=．。

七年级下册割补法

七年级下册割补法一、割补法的概念。

1. 定义。

- 割补法是数学中一种重要的几何解题方法。

它的基本思想是通过将一个复杂的几何图形分割成几个简单的图形（割），或者将几个简单的图形拼接成一个复杂的图形（补），从而使问题变得更容易求解。

例如，在计算一些不规则多边形的面积时，我们可以把这个不规则多边形割成三角形、矩形等我们熟悉的图形，分别计算它们的面积后再求和；或者把这个不规则多边形补成一个规则的图形，如把一个缺角的矩形补成完整的矩形，用补成后的图形面积减去补上部分的面积得到原图形的面积。

二、割补法在七年级下册人教版中的应用。

1. 三角形相关问题。

- 求三角形面积的拓展。

- 在人教版七年级下册中，当遇到一些三角形的高不容易直接求出时，我们可以使用割补法。

例如，有一个钝角三角形，它的钝角所对的边为底边，从这个钝角顶点向底边作高可能比较困难。

我们可以通过把这个钝角三角形补成一个平行四边形或者矩形（如果是直角三角形就补成矩形）。

假设三角形ABC是钝角三角形，∠A是钝角，延长BA到D，使AD = AC，过D作DE∥BC交AC的延长线于E，这样四边形BCED 就是平行四边形。

三角形ABC的面积就是平行四边形BCED面积的一半。

- 三角形全等中的应用。

- 在证明三角形全等时，有时候也会用到割补法。

比如有两个三角形，其中一个三角形的一部分形状和另一个三角形的一部分形状相似，但不完全相同。

我们可以通过割补的方式，将其中一个三角形的部分进行割下并补到合适的位置，使其与另一个三角形的对应部分能够更好地进行比较。

例如，有三角形ABC和三角形DEF，在三角形ABC中，∠A的角平分线AD将三角形ABC分成了两个三角形ABD和ACD。

如果要证明三角形ABC和三角形DEF全等，而三角形DEF中有类似的角平分线分割的情况，我们可以把三角形ABD割下，以AD为轴进行翻转后再补到三角形ACD的一侧，这样就可以更好地与三角形DEF进行对比，找出全等的条件。

2022年中考数学解题技巧及方法集合

2021年中考数学解题技巧及方法集合解题、做练习只是学习过程中的一个环节，而不是学习的全部，你不能为解题而解题,这时技巧很重要，下面是我为大家整理的有关2021年中考数学解题技巧及方法集合，盼望对你们有关心!中考数学做题技巧一、熟识习题中所涉及的内容，包括定义、公式、定理和规章。

解题、做练习只是学习过程中的一个环节，而不是学习的全部，你不能为解题而解题。

解题时，我们的概念越清楚，对公式、定理和规章越熟识，解题速度就越快。

因此，我们在解题之前，应通过阅读教科书和做简洁的练习，先熟识、记忆和辨别这些基本内容，正确理解其涵义的本质，接着立刻就做后面所配的练习，一刻也不要停留。

二、熟识习题中所涉及到的以前学过的学问，以及与其他学科相关的学问。

有时候，我们遇到一道不会做的习题，不是我们没有学会现在所要学会的内容，而是要用到过去已经学过的一个公式，而我们却记得不很清晰了;或是需用到一个特别的定理，而我们却从未学过，这样就使解题速度大为降低。

这时，我们应先补充一些必需补充的相关学问，弄清晰与题目相关的概念、公式或定理，然后再去解题，否则就是铺张时间，当然，解题速度就更无从谈起了。

三、熟识基本的解题步骤和解题方法。

解题的过程，是一个思维的过程。

对一些基本的、常见的问题，前人已经总结出了一些基本的解题思路和常用的解题程序，我们一般只要顺着这些解题的思路，遵循这些解题的步骤，往往很简单找到习题的答案。

否则，走了弯路就多花了时间。

四、仔细做好归纳总结。

在解过肯定数量的习题之后，对所涉及到的学问、解题方法进行归纳总结，以便使解题思路更为清楚，就能达到举一反三的效果，对于类似的习题一目了然，可以节省大量的解题时间。

五、先易后难，逐步增加习题的难度。

人们熟悉事物的过程都是从简洁到简单。

简洁的问题解多了，从而使概念清楚了，对公式、定理以及解题步骤熟识了，解题时就会形成跳动性思维，解题的速度就会大大提高。

养成了习惯，遇到一般的难题，同样可以保持较高的解题速度。

三角形面积割补法

三角形面积割补法在几何学中，我们经常需要计算三角形的面积。

三角形是最基本的几何形状之一，其面积计算方法也非常重要。

除了传统的高乘以底再除以2的方法，还有一种称为“三角形面积割补法”的计算方法。

本文将详细介绍三角形面积割补法的原理和应用。

让我们回顾一下传统的计算三角形面积的方法。

传统方法是根据三角形的高和底边来计算面积。

假设三角形的底边长为b，高为h，则三角形的面积S等于底乘以高再除以2，即S = (b * h) / 2。

这是最常见的计算三角形面积的方法。

然而，在某些情况下，我们可能无法直接测量三角形的高和底边。

这时，三角形面积割补法就派上用场了。

三角形面积割补法的原理是将三角形割补成一个或多个可以直接计算面积的几何形状，再将这些形状的面积相加得到三角形的总面积。

具体来说，我们可以将三角形割补成两个直角三角形或一个直角三角形和一个梯形。

接下来，我们将详细介绍这两种情况下的计算方法。

第一种情况是将三角形割补成两个直角三角形。

假设三角形的两条边长分别为a和b，夹角为θ。

我们可以通过以下步骤来计算三角形的面积：1. 首先，根据三角形的两个边长和夹角，使用三角函数计算三角形的高。

例如，可以使用正弦函数计算出高h = b * sin(θ)。

2. 接下来，计算第一个直角三角形的面积，使用传统的计算方法：S1 = (b * h) / 2。

3. 然后，计算第二个直角三角形的面积，使用传统的计算方法：S2 = (a * h) / 2。

4. 最后，将两个直角三角形的面积相加，得到三角形的总面积：S = S1 + S2。

第二种情况是将三角形割补成一个直角三角形和一个梯形。

假设三角形的两条边长分别为a和b，夹角为θ。

我们可以通过以下步骤来计算三角形的面积：1. 首先，根据三角形的两个边长和夹角，使用三角函数计算三角形的高。

例如，可以使用正弦函数计算出高h = b * sin(θ)。

2. 接下来，计算直角三角形的面积，使用传统的计算方法：S1 =(a * h) / 2。