中学数学解题思想方法：割补法
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高中数学核心素养、核心思想专题汇编（附详解）
中学数学解题思想方法--割补法
第二讲：割补法的灵活运用 与专题总结
立体几何中运用割补思想在求不规则的几何体的体积 时，有些题目采用“补形法”比较容易；有些题目采用 “分割法”更为恰当；还有些题目既能采用“补形法”解 决，也能采用“分割法”解决；还有些题目既要采用“补 形法”，同时采用“分割法”才易解决.
D'
C' A'
D
C
A
B
图2-1
分析 本题所给几何体可以看成用一个平面截长方体而成.
由于 AA CC 因此可以考虑补成如图5-14所示的一个正方 体 ABCD AECF .
D'
E A'
C' F
D
B' C
A
B
图2-2
新几何体由一个正方体和一个三棱锥组成.新几 D'
何体与原几何体相比，多了一个三棱锥 F ABC E
F
所以新几何体 ABC DEF 为直三棱柱， A' E
C'
Q AA 6，BB 2，CC 4
所以新几何体底面的高AD 8
A
B'
C
B
Q AB 3，BC 4，AC 5
AB2 BC2 AC2
图1-2
ABC 90
V
新
=SABC
AD
1 2
AB
四边形 ABCD 为正方形,且
AB AA CC 2
ABCD AECF是正方体
D' E A'
C' F
D
B' C
A
B
图2-2
S S ACE
ACF
Q BB 1，DD 3
BF DE 1
所以所求几何体的体积为
V V V V ABCDAECF
E
D
G
AC 3，AB 4 . F
延长 BF 至 G, 使 BG AD ,连结 DG, EG A C
B
如图3-2所示.
图3-2
也可以采用“分割法”，把所给几何体分割成直三棱柱和 四棱锥，如图1-3所示来解决 .
D
F
A'
A'
E
C'
A
B'
C
B
图1-2
C'
D
E
B'
A
C
B
图1-3
解法一： 补上一个相同的几何体如图1-2所示，
则新几何体的体积等于两个原几何体的体积.即 V 新 =2V原
因为 AA 底面ABC ，AA//BB//CC ， D
A'
C' F
容易得三棱锥 D ACE 与三棱锥 F ABC 体积相等，这样本题所给几何体的体积就 是一个正方体的体积.
D
B' C
A
B
图2-2
解： 在 DD 上截取 DE AA CC,延长 BB 至 F 使 BB CC.
Q AA 底面ABC， AA//BB//CC//DD
评析：本题解法一采取的解题方法为补形法，解法二所采取 的解题方法为分割法.两种方法都比较自然，由于题目所给条 件，本题采用解法一较为简捷.
例2 如图2-1， AA 底面ABC，AA//BB//CC//DD, 四边形 ABCD为正方形, AB AA CC 2，
BB 1，DD 3 ，求几何体 ABCD-ABCD 的体积.
Q AA 底面ABC
AA 底面DBE
AA BF
A'
C'
F
D
E
又Q AA DE D BF 平面DECA
B'
A
C
B
V
= B DEC A
1 3 SDECA
BF
1 3
1 2
( AD
CE)
DE
BF
12
图1-4
所以所求几何体的体积为 V V BDECA ABCDBE 24
例1 如图1-1，AA 底面ABC ， AB 3，BC 4，AC 5 ， AA 6，BB 2，CC 4 ，且 AA//BB//CC ，求几何体 ABC-ABC 的体积.
A'
C'
B'
A
C
B
图1-1
分析 本题所给几何体不是一个规则的几何体，可以看成一个直 三棱柱被一个平面所截而成的.根据题目特点我们既可以选择 “补形法”补成直三棱柱，如图1-2所示，计算出直三棱柱的体 积，再利用直三棱柱和已知几何体的关系求解.
AC 3，AB 4 .
E D
F
C
A
B
图3-1
由前面的知识我们不难发现既可以用“补形法”，如图
3-2所示，也可以用“分割法”如图3-3所示来求解.
E
E
D
G
D
F
C
A
B
图3-2
H
G
F
C
A
B
图3-3
解：由几何体的三视图还原成直观图如图3-1，可知
DA 平面 ABC , AD//CE//BF ， AC AB ，AD CE 5 ，BF 2
A'
ABC Fra Baidu bibliotek DBE 为直三棱柱
Q AB 3，BC 4，AC 5
AB2 BC2 AC2
ABC 90
C'
D
E
B'
A
C
B
图1-3
1 V =S ABCDBE ABC AD 2 AB BC AD 12
过点 B作 BF DE于F，如图1-4所示.
F ABC
D ACE
AB3
1 3
SACE
DE
1 3
SACF
BF
AB3
8
D' E A'
C' F
D
B' C
A
B
图2-2
评析：本题灵活运用“割补思想”采用“补形法”与“分 割法”相结合的解题策略化难为易.近几年高考中求几何体 体积经常以三视图的形式呈现，这样既考察三视图同时又 考察空间几何体的体积计算.本题可以用三视图的形式呈现， 这样更符合近几年高考趋势.
具体如下：一个几何体的三视图如图所示，求该几何体的 体积.
1
1
1
2
2
2 2
例3 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ________.
分析 由几何体的三视图还原成直观图如图3-1，可知
DA 平面 ABC , AD//CE//BF ， AC AB ，AD CE 5 ，BF 2
BC
AD
48
所以原几何体的体积为24 .
D
F
A'
E
C'
A
B'
C
B
图1-2
解法二： 在 AA 上取一点 D 使 AD BB 2 ，在 CC上取
一点 E 使 CE BB 2 ,连结 DB，BE，DE ，如图1-3所示，
Q AA 底面ABC，AA//BB//CC
中学数学解题思想方法--割补法
第二讲：割补法的灵活运用 与专题总结
立体几何中运用割补思想在求不规则的几何体的体积 时，有些题目采用“补形法”比较容易；有些题目采用 “分割法”更为恰当；还有些题目既能采用“补形法”解 决，也能采用“分割法”解决；还有些题目既要采用“补 形法”，同时采用“分割法”才易解决.
D'
C' A'
D
C
A
B
图2-1
分析 本题所给几何体可以看成用一个平面截长方体而成.
由于 AA CC 因此可以考虑补成如图5-14所示的一个正方 体 ABCD AECF .
D'
E A'
C' F
D
B' C
A
B
图2-2
新几何体由一个正方体和一个三棱锥组成.新几 D'
何体与原几何体相比，多了一个三棱锥 F ABC E
F
所以新几何体 ABC DEF 为直三棱柱， A' E
C'
Q AA 6，BB 2，CC 4
所以新几何体底面的高AD 8
A
B'
C
B
Q AB 3，BC 4，AC 5
AB2 BC2 AC2
图1-2
ABC 90
V
新
=SABC
AD
1 2
AB
四边形 ABCD 为正方形,且
AB AA CC 2
ABCD AECF是正方体
D' E A'
C' F
D
B' C
A
B
图2-2
S S ACE
ACF
Q BB 1，DD 3
BF DE 1
所以所求几何体的体积为
V V V V ABCDAECF
E
D
G
AC 3，AB 4 . F
延长 BF 至 G, 使 BG AD ,连结 DG, EG A C
B
如图3-2所示.
图3-2
也可以采用“分割法”，把所给几何体分割成直三棱柱和 四棱锥，如图1-3所示来解决 .
D
F
A'
A'
E
C'
A
B'
C
B
图1-2
C'
D
E
B'
A
C
B
图1-3
解法一： 补上一个相同的几何体如图1-2所示，
则新几何体的体积等于两个原几何体的体积.即 V 新 =2V原
因为 AA 底面ABC ，AA//BB//CC ， D
A'
C' F
容易得三棱锥 D ACE 与三棱锥 F ABC 体积相等，这样本题所给几何体的体积就 是一个正方体的体积.
D
B' C
A
B
图2-2
解： 在 DD 上截取 DE AA CC,延长 BB 至 F 使 BB CC.
Q AA 底面ABC， AA//BB//CC//DD
评析：本题解法一采取的解题方法为补形法，解法二所采取 的解题方法为分割法.两种方法都比较自然，由于题目所给条 件，本题采用解法一较为简捷.
例2 如图2-1， AA 底面ABC，AA//BB//CC//DD, 四边形 ABCD为正方形, AB AA CC 2，
BB 1，DD 3 ，求几何体 ABCD-ABCD 的体积.
Q AA 底面ABC
AA 底面DBE
AA BF
A'
C'
F
D
E
又Q AA DE D BF 平面DECA
B'
A
C
B
V
= B DEC A
1 3 SDECA
BF
1 3
1 2
( AD
CE)
DE
BF
12
图1-4
所以所求几何体的体积为 V V BDECA ABCDBE 24
例1 如图1-1，AA 底面ABC ， AB 3，BC 4，AC 5 ， AA 6，BB 2，CC 4 ，且 AA//BB//CC ，求几何体 ABC-ABC 的体积.
A'
C'
B'
A
C
B
图1-1
分析 本题所给几何体不是一个规则的几何体，可以看成一个直 三棱柱被一个平面所截而成的.根据题目特点我们既可以选择 “补形法”补成直三棱柱，如图1-2所示，计算出直三棱柱的体 积，再利用直三棱柱和已知几何体的关系求解.
AC 3，AB 4 .
E D
F
C
A
B
图3-1
由前面的知识我们不难发现既可以用“补形法”，如图
3-2所示，也可以用“分割法”如图3-3所示来求解.
E
E
D
G
D
F
C
A
B
图3-2
H
G
F
C
A
B
图3-3
解：由几何体的三视图还原成直观图如图3-1，可知
DA 平面 ABC , AD//CE//BF ， AC AB ，AD CE 5 ，BF 2
A'
ABC Fra Baidu bibliotek DBE 为直三棱柱
Q AB 3，BC 4，AC 5
AB2 BC2 AC2
ABC 90
C'
D
E
B'
A
C
B
图1-3
1 V =S ABCDBE ABC AD 2 AB BC AD 12
过点 B作 BF DE于F，如图1-4所示.
F ABC
D ACE
AB3
1 3
SACE
DE
1 3
SACF
BF
AB3
8
D' E A'
C' F
D
B' C
A
B
图2-2
评析：本题灵活运用“割补思想”采用“补形法”与“分 割法”相结合的解题策略化难为易.近几年高考中求几何体 体积经常以三视图的形式呈现，这样既考察三视图同时又 考察空间几何体的体积计算.本题可以用三视图的形式呈现， 这样更符合近几年高考趋势.
具体如下：一个几何体的三视图如图所示，求该几何体的 体积.
1
1
1
2
2
2 2
例3 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ________.
分析 由几何体的三视图还原成直观图如图3-1，可知
DA 平面 ABC , AD//CE//BF ， AC AB ，AD CE 5 ，BF 2
BC
AD
48
所以原几何体的体积为24 .
D
F
A'
E
C'
A
B'
C
B
图1-2
解法二： 在 AA 上取一点 D 使 AD BB 2 ，在 CC上取
一点 E 使 CE BB 2 ,连结 DB，BE，DE ，如图1-3所示，
Q AA 底面ABC，AA//BB//CC