高三数学上学期第一次质量检测试题含答案

高三第一次质量检测
数学试题
注意事项：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结来后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合{1,2,3,4,5}M =，{2,2}N =-，则下列结论成立的是（ ） A.N M ⊆ B.M
N M = C.M N N = D.{2}M N =
2.函数
()f x = ）
A.(5,1)--
B.(1,1)-
C.(5,1)-
D.(1,5)-
3.若x ，y ∈R ，则0x y +>的一个充分不必要条件（ ）
A.1x y +>-
B.0x y >>
C.0xy > D .22
0x y ->
4.若曲线2ln x
y ax x
=
-（a ∈R ）在1x =处的切线与直线210x y -+=平行，则a =（ ） A.12-
B.14-
C.12
D .2 5.若0x >，0y >且x y xy +=，则
211
x y
x y +--的最小值为（ ）
A.3
B.
5
2
C.3
D.3+
6.动直线x m =（0m >）与函数2
()f x x x =+，()ln g x x =的图象分别交于点A ，B ，则
AB 的最小值为（ ）
A.
3
ln 24
+ B.3ln 2 C.
3
ln 2
+ D.3ln 2- 7.函数1
()|ln |1f x x x
=--
的图象大致是（ ） A. B.
C.
D.
8.已知函数1
1()a a f x a
a --=+（1a >），对t ∀∈R ，均12,[,2]x x t t ∃∈+，使得
()()121f x f x -≥成立，则a 的最小值为（ ）
A.2
B.
32
+ C.
32
+ D.4
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.设0.6
5
a =，5
0.6b =，0.6log 0.5c =，5log 0.6d =，则在a ，b ，c ，d 这4个数中（ ）
A.最大数为a
B.最小数为b
C.最大数为c
D.最小数为d
10.关于函数()log 1x a f x x a =⋅-（01a <<），下列说法正确的有（ ） A.01a ∀<<，()f x 至少有两个零点
B.01a ∀<<，()f x 只有两个零点
C.01a ∃<<，()f x 只有一个零点
D.01a ∃<<，()f x 有三个零点 11.已知定义在R 上的函数()f x 满足3()2f x f x ⎛⎫
=-+
⎪⎝⎭
，(1)1f -=，(0)2f =-，且34f x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭为奇函数，则（ ）
A.()f x 为奇函数
B.()f x 为偶函数
C.()f x 是周期为3的周期函数
D.(0)(1)(2021)0f f f +++=
12.对于函数()x ϕ，如果对任意1x ，2x D ∈都有()()12121
22x x x x ϕϕϕ+⎛⎫≥+⎡⎤
⎪⎣⎦⎝⎭
成立.则称此函数为区间D 上的“凸函数”.若()f x ，()g x 均是区间D 上的“凸函数”，且满足()0f x >，()0g x >、()f x 与()g x 的单调性相反，则下列函数一定是区间D 上的“凸函数”的是（ ）
A.()()f x g x +
B.()()f x g x -
C.()()f x g x ⋅
D.
()
()
f x
g x 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.若函数()21
x
a
f x e =+
-为奇函数。

则a =_________. 14.定义在R 上的函数()f x 单调递增，且对x ∀∈R ，有()()23x
f f x -=，则()4
log 3f =
_________. 15.若函数cos ()sin x a f x x +=
在π0,2⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，则实数a 的取值范围为_________.
16.若(
)
2021(2021)ln m
m e n n t +=+=（0t >），则
ln (2021)
t
m n +的最大值为_________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知函数2
()f x ax bx c =++（0a ≠）对x ∀∈R 有()(2)f x f ≤，且函数
2()log (())g x f x x =-的定义域为(1,2).
（1）求()f x 的解析式；
（2）若0t >，求()f x 在[0,]t 上的值域.
18.（12分）某企业自主开发出一款新产品A ，计划在2022年正式投入生产，已知A 产品的前期研发总花费为50000元，该企业每年最多可生产4万件A 产品.通过市场分析知，在2022年该企业每生产x （千件）A 产品，需另投入生产成本()R x （千元），且
2
160,0102
()180070230,1040x x x R x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩
（1）求该企业生产一件A 产品的平均成本p （元）关于x 的函数关系式，并求平均成本p 的最小值；（总成本=研发成本+生产成本）
（2）该企业欲使生产一件A 产品的平均成本66p ≤元，求其年生产址x （千件）的取值区间？
19.（12分）已知函数()ln a
f x x x
=+，a ∈R . （1）讨论()f x 的单调性；
（2）若经过坐标原点恰好可作两条直线与曲线()y f x =相切，求a 的取值范围.
20.（12分）某单位规定每位员工每年至少参加两项专业技能测试，测试通过可获得相应学分，每年得的总学分不低于10分，该年度考核为合格.该单位员工甲今年可参加的专业技能测试有A 、B 、C 、D 四项，已知这四项专业技能测试的学分及员工甲通过各项专业技能测试的概率如下表所示，且员工甲各项专业技能测试是否通过相互独立.
（1）若员工甲参加A 、B 、C 三项测试，求他本年度考核合格的样书：
（2）员工甲欲从A 、B ，C 、D 中选择三项参加测试，若要使他本年度考核合格的概率不低于
3
4
，应如何选择？请求出所有满足条件的方案.
21.（12分）已知抛物线C ：2
2y px =（0p >）的焦点为F ，原点O 关于点F 的对称点为
Q ，点(0,1)P 关于点Q 的对称点P ，也在抛物线C 上 （1）求p 的值；
（2）设直线l 交抛物线C 于不同两点A 、B ，直线PA 、PB 与抛物线C 的另一个交点分别为M 、N ，PM PA λ=，PN PB μ=，且
1
1
2λ
μ
+
=，求直线l 的横截距的最大值.
22.（12分）已知函数2
1 ()22
x
f x e ax x =--+（a ∈R ）有两个极值点1x ，2x ，且12x x <. （1）求a 的取值范围； （2）若()2
22
x f x >
，求a 的取值范围.
参考答案
一、单项选择题 1-4 DCBA 5-10 DACC 二、多项选择题 9.AD 10.CD 11.BCD 12.AC
三、填空题 13.4
1 15.[1,)-+∞ 16.1e
四、解答题
17.（1）由()(2)f x f ≤知0a <且22b
a
-=，由题知2()(1)0f x x ax b x c -=+-+>的解集为(1,2)，
故13b a --
=，2c
a
=，∴1a =-，4b =，2c =-，即2()42f x x x =-+-； （2）()y f x =是开口向下，对称轴为2x =的抛物线，(0)2f =-，2
()42f t t t =-+-，
(2)2f =
当02t <≤时，()f x 在[0,]t 上的值域为2
2,42t t ⎡⎤--+-⎣⎦； 当24t <<时，()f x 在[0,]t 上的值域为[2,2]-； 当4t ≥时，()f x 在[0,]t 上的值域为2
42,2t t ⎡⎤-+-⎣⎦.
18.（1）由题知生产x 千件的总成本为(()50)R x +千元，故一件的平均成本为
()50
R x x
+元， ∴2
1
5060,0102()180018070,1040x x x
p x x x x ⎧++<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩
当(0,10]x ∈时，150
()602p x x x
=
++单调递减，故最小值为(10)70p =，
当(10,40]x ∈时，2
11()180065.520p x x ⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭
，故最小值为(20)65.5p =，
所以生产一件A 产品的平均成本最低为65.5元.
（2）由（1）知，要使()66p x ≤只需考虑(10,40]x ∈，即21800180
7066x x
+
-≤， 整理得2
454500x x -+≤，解得1530x ≤≤，
所以，当[15,30]x ∈时，生产一件A 产品的平均成本不超过66元.
19.（1）221()a x a
f x x x x
-'=
-=，0x >， 当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；
当0a >时，()f x 在(0,)a 上单减，在(,)a +∞上单增；
（2）设切点横坐标为0x ，则切线方程为020
0012ln 1a a
y x x x x x ⎛⎫=-++-
⎪⎝⎭，代入(0,0)得00
2ln 10a
x x +
-=，即0002ln a x x x =-，由题知此关于0x 的方程在(0,)+∞内恰有两个解， 令()ln g x x x x =-，则()ln g x x '=-，∴()g x 在(0,1)上单增，在(1,)+∞上单减， 又(1)1g =，当0x →时，()0g x →，()0g e =，故当021a <<时，方程()2g x a =有两个解， ∴102
a <<
. 20.（1）由题知，员工甲本年度考核合格必须通过B 测试，且A 、C 测试中至少有一项通过，故其考核合格的概率为31129145640
P ⎛⎫=
⨯-⨯= ⎪⎝⎭； （2）①若选择A 、C 、D 三项测试，则必须通过D 测试，且A 、C 测试中至少有一项通过，故员工甲考核合格的概率为1111293
1256604
P ⎛⎫=
⨯-⨯=< ⎪⎝⎭； ②若选择A 、B 、D 三项测试，则需任意两项测试通过或三项测试均通过，故员工甲考核合格的概率为
21111433131254254404
P ⎛⎫=⨯-⨯+⨯⨯=> ⎪⎝⎭；
③若选择B 、C 、D 三项测试，则需任意两项测试通过或三项测试均通过，故员工甲考核合格的概率为3111135193
1246246244
P ⎛⎫=
⨯-⨯+⨯⨯=> ⎪⎝⎭； 结合（1）中
293
404
<知，满足条件的方案为A 、B 、D 和B 、C 、D . 21.（1）由题知,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，(,0)Q p ，故1(2,1)P p -，代入C 的方程得2
14p =，∴12p =； （2）设直线l 的方程为x my t =+，与抛物线C ：2
y x =联立得2
0y my t --=，
由题知2
40m t ∆=+>，可设方程两根为1y ，2y ，则12y y m +=，12y y t =-，（*）
由PM PA λ=得()()
2
11,1,1M M x y y y λ-=-，∴2
1M x y λ=，11M y y λλ=+-，
又点M 在抛物线C 上，∴()2
2
111y y λλλ+-=，化简得()2
1(1)110y λλ⎡⎤---=⎣⎦
，
由题知M ，A 为不同两点，故1λ≠，()2
111y λ-=，即
()2
11
1y λ
=-，同理可得
()2
21
1y μ
=-，
∴()()()()2
2
2
12121212112222y y y y y y y y -+-=+-+-+=，
将（*）式代入得2
220m m t -+=，即22
m t m =-，将其代入2
40m t +>解得04m <<，
∴2211
(1)222m t m m =-=--+在1m =时取得最大值12，即直线l 的最大横截距为12
. 22.（1）()1x f x e ax '=--，(0)0f '=，由题知()f x '有两个零点1x ，2x ，()x
f x e a "=-，
若0a ≤则()0f x ">恒成立，∴()f x '在R 上单增，()f x '有唯一零点，不合题意，舍； 若0a >则()f x '在(,ln )a -∞上单减，在(ln ,)a +∞上单增，又x →±∞时()f x '→+∞且
(0)0f '=，
故当且仅当ln 0a ≠即1a ≠时，()f x '有两个零点1x ，2x ，此时()f x 在()1,x -∞和
()2,x +∞上单增，在()12,x x 上单减，1x 为极大值点，2x 为极小值点，符合题意；
综上，01a <<或1a >；
（2）由（1）知，当ln 0a <即01a <<时，10x <，20x =，故()2(0)30f x f ==>，符合题意；
当ln 0a >即1a >时，10x =，20x >且2
210x e ax --=，∴22
1
x e a x -=，
()222x f x >
即()2222211222
x x x e e x x ---+>，化简得()()
22220x
x e -+<，∴22x <， 令1()x e g x x -=，则2
(1)1()x x e g x x -+'=，令()(1)1x
h x x e =-+，当02x <<时，()0x h x xe '=>，
∴()h x 单增，故()(0)0h x h >=即()0g x '>，∴()g x 在(0,2)上单增，
又00lim ()lim 11x x x e g x →→==，21
(2)2e g -=，∴211,2e a ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭， 综上，01a <<或21
12
e a -<<.。