河北省唐山一中2016-2017学年高二下学期期中考试数学(文)试题

唐山一中2016—2017学年度第二学期期中考试
高二年级 数学文科试卷
卷Ⅰ(选择题 共60分)
一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分。

在每小题给出的四个选项中只有一个选项正确） 1.i 为虚数单位，复数
i
i
-12在复平面内对应的点到原点的距离为（ ） A.
21 B. 2
2 C. 2 D.1
2.已知复数)2)(1(607i i Z ++=的实部是m ，虚部是n ，则=mn （ ） A.3 B.-3 C.3i D.-3i
3.平面内到x 轴与到y 轴的距离之和为1的点的轨迹为（ ） A.点 B.线段 C.正方形 D.圆
4.如图是甲、乙汽车4S 店7个月销售汽车数量（单位：台）的茎叶图，若
x 是4与6的等差中项，y 是2和8的等比中项，设甲店销售汽车的众数
是a ，乙店销售汽车中位数为b ，则b a +的值为（ ） A.168 B.169 C.170 D.171
5.利用斜二测画法画一个水平放置的平面四边形的直观图，得到的直观图是一个边长为1的正方形（如图所示），则原图形的形状是（ ）
A. B. C. D.
6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A.108
B.100
C.92
D.84
7.直线023sin =++y x θ的倾斜角的取值范围是（ ）
A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡656ππ，
B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡323ππ，
C.⎪⎭⎫
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ
π，，6560 D. ⎪⎭
⎫
⎢
⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ
π，，3230 8.已知两定点)0,1(-A 和)0,1(B ，动点),(y x P 在直线3:+=x y l 上移动，椭圆C 以B A ,为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为（ ） A.
55
B. 510
C. 552
D. 5
102 9.以下四个命题中是真命题的是（ ）
A.对分类变量x 与y 的随机变量2k 的观测值k 来说，k 越小，判断“x 与y 有关系”的把握程度越大
B.两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0
C.若数据n x x x x ,,,,321 的方差为1，则n x x x x 2,,2,2,2321 的方差为2
D.在回归分析中，可用相关指数2R 的值判断模型的拟合效果，2R 越大，模型的拟合效果越好． 10.在极坐标系中，点)0,1(M 关于极点的对称点为（ ） A. )0,1( B. ),1(π- C. ),1(π D. )2,1(π
11.P 为双曲线19
42
2=-y x 右支上一点，21,F F 分别为双曲线的左右焦点，且021=⋅PF PF ，直线
2PF 交y 轴于点A ，则P AF 1∆的内切圆半径为（ ）
A.2
B.3
C.
23 D. 2
13 12.已知函数R b a bx x a x f ∈-=,,ln )(2．若不等式x x f ≥)(对所有的(]0,∞-∈b ，(]
2,e e x ∈都成立，则a 的取值范围是（ ）
A. [)+∞,e
B. ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,22e
C. ⎪
⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡22,2e e D. [
)+∞,2e 卷Ⅱ(非选择题 共90分)
二．填空题（共4小题，每小题5分，计20分）
13.设n m ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，有下列四个命题： ①若βαβ⊥⊂,m ，则α⊥m ； ②若αβα⊂m ,//，则β//m ； ③若αβα⊥⊥⊥m n n ,,，则β⊥m ； ④若βα//,//m m ，则βα//． 其中正确命题的序号是______ ．
14.平行于直线012=+-y x 且与圆522=+y x 相切的直线的方程是______ ． 15.已知函数4
1
)(3
+
+=ax x x f ，若x 轴为曲线)(x f y =的切线，则a 的值为______ 16.已知函数2)(-++=x a x x f ，若3)(-≤x x f 的解集包含[]1,0 ，则实数a 的取值范围是_______________
三．计算题（共6小题，第17题10分，第18-22题每题12分，共计70分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17.在极坐标系中，已知圆C 经过点)4
,2(π
P ，圆心为直线2
3
)3
sin(-
=-
π
θρ与极轴的交点． （1）求圆C 的极坐标方程；
（2）求直线)(3
R ∈=
ρπ
θ被圆C 所截得的弦长．
18.（1）若+
∈R n m b a 、、、，求证：b
a n m
b n a m ++≥+2
22)(； （2）利用（1）的结论，求下列问题：已知)21
,0(∈x ，求x
x 219
2-+
的最小值，并求出此时x 的值． 19.为了解某高校学生中午午休时间玩手机情况，随机抽取了100名大学生进行调查．下面是根据调查结果绘制的学生日均午休时间的频率分布直方图：将日均午休时玩手机不低于40分钟的学生称为“手机控”．
非手机迷 手机迷
合计 男 x x m 女 y
10
55
合计 ______ ______ ______ （1）求列表中数据的值；
（2）能否有95%的把握认为“手机控”与性别有关？
注：)
)()()(()(2
2
d b c a d c b a bd ac n k ++++-=
)(02x k P ≥ 0.05
0.10 0k
3.841
6.635
20.在多面体ABCDEFG 中，四边形ABCD 与CDEF 是边长均为a 的正方形，CF ⊥平面ABCD ，BG ⊥平面ABCD ，H 是BC 上一点，且AB=2BG=4BH （1）求证：平面AGH ⊥平面EFG （2）若4=a ，求三棱锥G-ADE 的体积．
21.
设
)
,(),,(2211y x Q y x P 是抛物线
)0(22>=p px y 上相异两点，P Q 、到y 轴的距
离的积为4且0=⋅OQ OP ． （1）求该抛物线的标准方程．
（2）过Q 的直线与抛物线的另一交点为R ，与x 轴交点为T ，且Q 为线段RT 的中点，试求弦PR 长度的最小值．
22.已知函数)(ln )(R k x
k
x x x f ∈-=的最大值为)(k h ． （1）若1≠k ，试比较)(k h 与k e
21
的大小；
（2）是否存在非零实数a ，使得ae
k
k h >)(对R k ∈恒成立，若存在，求a 的取值范围；若不存在，
说明理由．
唐山一中2016—2017学年度第二学期期中考试
高二年级 数学文科试卷答案
一、选择题
1.C
2.A
3.C
4.B
5.A
6.C
7.C
8.A
9.D 10.C 11.A 12.B 二、填空题
13. ②③ 14. 2x -y +5=0或2x -y -5=0 15. - 16. -1≤a ≤0．
三、解答题
17. 解：（1）把极坐标形式化为直角坐标系形式， ∵点P （
，
），∴x ==1，y =
=1，∴点P （1，1）．
∵直线ρsin （θ-）=-，∴
=
=-，
∴y -=-
，
令y =0，则x =1，∴直线与x 轴的交点为C （1，0）．
∴圆C 的半径r =|PC|==1．
∴圆C 的方程为：（x -1）2+y 2=1，展开为：x 2-2x +1+y 2=1， 化为极坐标方程：ρ2-2ρcos θ=0，即ρ=2cos θ． ∴圆C 的极坐标方程为：ρ=2cos θ． （2）∵直线θ=
（ρ∈R ），∴直线的普通方程为y =
，
∵圆心C （1，0）到直线y =的距离d =
，
∴直线θ=
（ρ∈R ）被圆C 所截得的弦长：
|AB|=2=2=1．
∴直线θ=
（ρ∈R ）被圆C 所截得的弦长为1．
18.（1）证明：∵a 、b 、m 、n ∈R +，∴（a +b ）
=m 2+n 2+≥m 2+n 2+2mn =（m +n ）
2，当且仅当
bm =an 时取等号，∴．
（2）
，
=
+
≥
=25，当且仅当2（1-2x ）=3•2x ，即当
时取得最小值，最小值为25． 19.
（1）75；25；100 （2）841.333
100
<=
k ，没有95%的把握认为“手机控”与性别有关. 20.
证明：（1）连接FH ，由题意，知CD ⊥BC ，CD ⊥CF ，
∴CD⊥平面BCFG．
又∵GH⊂平面BCFG，∴CD⊥GH．
又∵EF∥CD，∴EF⊥GH，…（2分）
由题意，得BH=，CH=，BG=，
∴GH2=BG2+BH2=，
FG2=（CF-BG）2+BC2=，FH2=CF2+CH2=，
则FH2=FG2+GH2，∴GH⊥FG．…（4分）
又∵EF∩FG=F，GH⊥平面EFG．…（5分）
∵GH⊂平面AGH，∴平面AGH⊥平面EFG．…（6分）
解：（2）∵CF⊥平面ABCD，BG⊥平面ABCD，∴CF∥BG，
又∵ED∥CF，∴BG∥ED，
∴BG∥平面ADE，∴V G-ADE=V E-ADE，
∵AB∥CD，∴AB⊥平面ADE，
∴三棱锥G-ADE的体积V G-ADE=V E-ADE=．21.解：（1）∵•=0，则x1x2+y1y2=0，
又P、Q在抛物线上，故y12=2px1，y22=2px2，
故得+y1y2=0，∴y1y2=-4p2，
∴，
又|x1x2|=4，故得4p2=4，p=1．
所以抛物线的方程为y2=2x；
（2）如图，设直线PQ过点E（a，0）且方程为x=my+a
联立方程组，消去x得y2-2my-2a=0
∴①
设直线PR与x轴交于点M（b，0），则可设直线PR方
程为x=ny+b，并设R（x3，y3），
联立方程组，消去x得y2-2ny-2b=0
∴②
由①、②可得
由题意，Q为线段RT的中点，∴y3=2y2，∴b=2a．
又由（Ⅰ）知，y1y2=-4，代入①，可得
-2a=-4，∴a=2．故b=4．
∴y1y3=-8
∴
=．
当n=0，即直线PQ垂直于x轴时|PR|取最小值．
22.解：（1）．
令f'（x）＞0，得0＜x＜e k+1，令f'（x）＜0，得x＞e k+1，
故函数f（x）在（0，e k+1）上单调递增，在（e k+1，+∞）上单调递减，故．
当k＞1时，2k＞k+1，∴，∴；
当k＜1时，2k＜k+1，∴，∴．
（2）由（1）知，∴．
设，∴，令g'（k）=0，解得k=-1．
当a＞0时，令g'（k）＞0，得k＞-1；令g'（x）＜0，得k＜-1，
∴，
∴．
故当a＞0时，不满足对k∈R恒成立；
当a＜0时，同理可得，解得．
故存在非零实数a，且a的取值范围为．。