平面向量“模”问题分类解析
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ｓｎ ｉ
解 ：） ｂｃ ３ ｃ专 ｓ号 ・ 析（口 ＝ｏ ・ｓ 一ｉ １・ ｏ ｎ
＝ ｃｓｘ ｏ２
二、 与单位 向量相关的 内容 【 ３ 若 口 （ ， ） 且 向量 ｅ是单位 向量 ， 例 】 ＝ ３４ ， 如 果 ｅ ａ同 向 ， ｅ 与 则 ＝ 解 析 ：方 法 一 ）． 与 口同 向 ， Ｐ （ 。 ． 设 一加 ＞ Ｏ ，． ）． ．
一
八 外 心
内 心
Ｃ 重 心
Ｄ 垂 心 ．
解． 为上单向， 析 的位量 ‘ ． 篙为
上 的单位 向量 ， 则 ＋ 为 Ｂ ｃ 的角平 分 Ａ
、
【 １ 知 一｛ ）一 ， ） 例】已 ｎ（ ， ， （ 一 ， ６ 吉求
Ｊ ＋西 ． 口 Ｊ
（ ＋ ） ＋ 方 与 向
（ｓ ，ｓ专）ｑＥ－号 ，： ｃ专 一ｉ ，ｘ 【 ｊ ｏ ｎ Ｉ ０ 求 ，
（） １ 口・ｂ Ｉ＋ ｂ ； 与 ａ Ｉ （ ） ， ） ２ 若 （ 一口・ － ２ ｌ＋６ 的最小值 是 一 ｂ ）口 Ｉ ！ ３
，
（ 法 二 ） 果 发 现 ｌ ｌ ｌ １ａ・ｂ ， 么 方 如 ａｌ 一 ， — ｂ ＝０ 那 Ｊ＋西 Ｊ Ｊ＋ ２ 西 Ｊ 口 Ｊ一 口 ａ・ ＋ ｂ ＝２ Ｊ
一
解 析 ：（ 法 一 ）我 们 先 求 出 ａ＋ ｂ＝ 方
（ ，
）
＋ ＋ Ｐ轨一 蔼）点的迹定 （ ．
通 过 ＡＡＢ Ｃ的 内心 ．
．＋一 ． ６√ ． ｌ １ 。
． １ ＋６ 一 ．口 ． ｌ 【 例 ２ 】 已 知
＋
一
【６ 已 向 ｎ （ｓ ｉ ， 例】 知 量 ＝ｃ号 ， ）一 ０ ｓ３ ６ ｎ
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１ ｜孵 ｜
思
，Ｊ 压
． ，Ⅸ ＿
Ｊ
平面向量“ ’ 模’ 问题分类解析
江 西省安福 中学 （４ ２ ０ 刘鹏 程 ３ ３０ ）
平面 向量的模就是 向量 的长度 ， 本中的求模方 课
法 为 ： １口 （ ） Ｉ Ｉ （ ） 一 ， 则 ａ 一 ＋ ． （ ）口 一 ２ ｌｌ 面 我 们 通 过 几 个 例 题 ， 明 平 面 说 向量模 的求 法， 供参考． 】 接 利 用 公 式 或模 的 平 方 形 式 转 化 Ｉ 【
．
ｌ＋ ｂｌ 口 一
￣
／ｏ３ ｉｓ ｓ
ｘ２ ．３ ．ｘ２ ，： ：＝２ Fra bibliotekＳ ｌＯＸＩ Ｃ
ｅ （ ， ， （ ） （ ＝ １ ＝ ３ ４ ） 且 ３ ＋ ４ ）
．． ＝ １ ．
，
故＝詈， ． ｅ（ 鲁）
－∈ ０ ｊ ． ｌ ．
‘
（ 方法－ ） － 其实好多 时候我 们需要 构造 与 口同 向 的单位 向量 ｅ ａ ， 一丽
综上所述：一÷． （ ＋ ） ［ ０ 则Ｐ 轨 一 通 矛盾． ， 的 迹 定
过 △ＡＢ 的 （ Ｃ
２ ８
） ．
ａ ＝ （０ 一 １） ｂ 一 ， ，
（ｓａ４ ｓ号 ）求Ｊ ＋ ２ｎ， ｏ ｉ ｃ ２ ， ２ ｂ． ａ Ｊ
求 实数 的值。
解析： ＋ｂ ２ｉ， ２ ４ｏ 号） ２ｉ， ２ ＝（ｓａ－ － ｃ２ 一（ｓａ ａ ｎ Ｆ ｓ ｎ
２ ｏａ ， ｌ 口 ｌ － ． ｃ ｓ ） ＋ｂ － ２ ２
＋ 一 １ … …
【 ４ 若 口 ３ ４ ， 向量 ｅ 例 】 ＝（ ， ）且 是单位 向量 ， ｅ 且 上ａ 则 ｅ ， 一
解 析 ： ｅ （ ）所 以 Ｊ 设 一 ， ， Ｊ ｅ 一
．∈－号 ． 【 ｊ ． ０ ，
‘
．
．
０ ｃ ｓ￣ ｌ ≤ ｏｘ
①， ｅ ， ３ 由 上口 得 ＋４ ＝０ ｙ ……② ， 合 ① ②得 一 结
．
，
三、 向■的综合应用 【 ５ ０是平 面上一定点 ， Ｂ、 例 】 Ａ、 Ｃ是平面 上不 共 线 的 三 个 点 ，动 点 Ｐ 满 足 ＝ ＋
（ ） ｍ 当 ＞ １ ， 时 当且 仅 当 ｃ 一 １时 ， （ 取 得 ０ ， ）
最 值１４ ．— 一 解 号这 １ 小 — ． ４ 号，得 一 与 ＞ ，１ ： ．
了 ～ 甄 一 、 ３ 一了一－ 詈 ～ 或 一 詈 了 ，詈或 、 了 了 一 ， （ ＿甄 ＝３ ｅ ４了 ｅ ， ） （号詈． 一 ．）
一
（ 当 ＜ ０时 ， Ｉ） 当且 仅 当 ｃ ｓ ＝Ｏ时 ， （ 取 得 ｏｘ ， ） 最小值 一１ 与已知矛盾． ， （ 当 ０ ≤ １ 当且 仅 当 ｃａ ＝） ， （ 取 得 Ⅱ） ≤ ， ｏ ｘ ！ ， ） 时 最小值一１ ． —２ ．一 ｌ一 。一 一 ３ 得 一 ． １
・
． ‘
－ －
．
．
ｃｓ ｏ ｘ＞ Ｏ
－ Ｉ ＋ ｂＩ ２ ｏ ｘ ． 口 ． ＝ ｃｓ
（ ） （ 一 口・６ ２ ａ ｂ ＝ Ｃ ＳＸ－ ｃｓ 一 ２ ， ） — Ｉ ＋ Ｉ Ｏ２ － ０ｚ
２ ｃ ｓ － ） １ ２， （ ｏ ｘ－ ！ — － ） ）
５一 ３） ， （４ 口 ，，故ｅ （ ， ） 一 ３４
解 ：） ｂｃ ３ ｃ专 ｓ号 ・ 析（口 ＝ｏ ・ｓ 一ｉ １・ ｏ ｎ
＝ ｃｓｘ ｏ２
二、 与单位 向量相关的 内容 【 ３ 若 口 （ ， ） 且 向量 ｅ是单位 向量 ， 例 】 ＝ ３４ ， 如 果 ｅ ａ同 向 ， ｅ 与 则 ＝ 解 析 ：方 法 一 ）． 与 口同 向 ， Ｐ （ 。 ． 设 一加 ＞ Ｏ ，． ）． ．
一
八 外 心
内 心
Ｃ 重 心
Ｄ 垂 心 ．
解． 为上单向， 析 的位量 ‘ ． 篙为
上 的单位 向量 ， 则 ＋ 为 Ｂ ｃ 的角平 分 Ａ
、
【 １ 知 一｛ ）一 ， ） 例】已 ｎ（ ， ， （ 一 ， ６ 吉求
Ｊ ＋西 ． 口 Ｊ
（ ＋ ） ＋ 方 与 向
（ｓ ，ｓ专）ｑＥ－号 ，： ｃ专 一ｉ ，ｘ 【 ｊ ｏ ｎ Ｉ ０ 求 ，
（） １ 口・ｂ Ｉ＋ ｂ ； 与 ａ Ｉ （ ） ， ） ２ 若 （ 一口・ － ２ ｌ＋６ 的最小值 是 一 ｂ ）口 Ｉ ！ ３
，
（ 法 二 ） 果 发 现 ｌ ｌ ｌ １ａ・ｂ ， 么 方 如 ａｌ 一 ， — ｂ ＝０ 那 Ｊ＋西 Ｊ Ｊ＋ ２ 西 Ｊ 口 Ｊ一 口 ａ・ ＋ ｂ ＝２ Ｊ
一
解 析 ：（ 法 一 ）我 们 先 求 出 ａ＋ ｂ＝ 方
（ ，
）
＋ ＋ Ｐ轨一 蔼）点的迹定 （ ．
通 过 ＡＡＢ Ｃ的 内心 ．
．＋一 ． ６√ ． ｌ １ 。
． １ ＋６ 一 ．口 ． ｌ 【 例 ２ 】 已 知
＋
一
【６ 已 向 ｎ （ｓ ｉ ， 例】 知 量 ＝ｃ号 ， ）一 ０ ｓ３ ６ ｎ
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平面向量“ ’ 模’ 问题分类解析
江 西省安福 中学 （４ ２ ０ 刘鹏 程 ３ ３０ ）
平面 向量的模就是 向量 的长度 ， 本中的求模方 课
法 为 ： １口 （ ） Ｉ Ｉ （ ） 一 ， 则 ａ 一 ＋ ． （ ）口 一 ２ ｌｌ 面 我 们 通 过 几 个 例 题 ， 明 平 面 说 向量模 的求 法， 供参考． 】 接 利 用 公 式 或模 的 平 方 形 式 转 化 Ｉ 【
．
ｌ＋ ｂｌ 口 一
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／ｏ３ ｉｓ ｓ
ｘ２ ．３ ．ｘ２ ，： ：＝２ Fra bibliotekＳ ｌＯＸＩ Ｃ
ｅ （ ， ， （ ） （ ＝ １ ＝ ３ ４ ） 且 ３ ＋ ４ ）
．． ＝ １ ．
，
故＝詈， ． ｅ（ 鲁）
－∈ ０ ｊ ． ｌ ．
‘
（ 方法－ ） － 其实好多 时候我 们需要 构造 与 口同 向 的单位 向量 ｅ ａ ， 一丽
综上所述：一÷． （ ＋ ） ［ ０ 则Ｐ 轨 一 通 矛盾． ， 的 迹 定
过 △ＡＢ 的 （ Ｃ
２ ８
） ．
ａ ＝ （０ 一 １） ｂ 一 ， ，
（ｓａ４ ｓ号 ）求Ｊ ＋ ２ｎ， ｏ ｉ ｃ ２ ， ２ ｂ． ａ Ｊ
求 实数 的值。
解析： ＋ｂ ２ｉ， ２ ４ｏ 号） ２ｉ， ２ ＝（ｓａ－ － ｃ２ 一（ｓａ ａ ｎ Ｆ ｓ ｎ
２ ｏａ ， ｌ 口 ｌ － ． ｃ ｓ ） ＋ｂ － ２ ２
＋ 一 １ … …
【 ４ 若 口 ３ ４ ， 向量 ｅ 例 】 ＝（ ， ）且 是单位 向量 ， ｅ 且 上ａ 则 ｅ ， 一
解 析 ： ｅ （ ）所 以 Ｊ 设 一 ， ， Ｊ ｅ 一
．∈－号 ． 【 ｊ ． ０ ，
‘
．
．
０ ｃ ｓ￣ ｌ ≤ ｏｘ
①， ｅ ， ３ 由 上口 得 ＋４ ＝０ ｙ ……② ， 合 ① ②得 一 结
．
，
三、 向■的综合应用 【 ５ ０是平 面上一定点 ， Ｂ、 例 】 Ａ、 Ｃ是平面 上不 共 线 的 三 个 点 ，动 点 Ｐ 满 足 ＝ ＋
（ ） ｍ 当 ＞ １ ， 时 当且 仅 当 ｃ 一 １时 ， （ 取 得 ０ ， ）
最 值１４ ．— 一 解 号这 １ 小 — ． ４ 号，得 一 与 ＞ ，１ ： ．
了 ～ 甄 一 、 ３ 一了一－ 詈 ～ 或 一 詈 了 ，詈或 、 了 了 一 ， （ ＿甄 ＝３ ｅ ４了 ｅ ， ） （号詈． 一 ．）
一
（ 当 ＜ ０时 ， Ｉ） 当且 仅 当 ｃ ｓ ＝Ｏ时 ， （ 取 得 ｏｘ ， ） 最小值 一１ 与已知矛盾． ， （ 当 ０ ≤ １ 当且 仅 当 ｃａ ＝） ， （ 取 得 Ⅱ） ≤ ， ｏ ｘ ！ ， ） 时 最小值一１ ． —２ ．一 ｌ一 。一 一 ３ 得 一 ． １
・
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．
ｃｓ ｏ ｘ＞ Ｏ
－ Ｉ ＋ ｂＩ ２ ｏ ｘ ． 口 ． ＝ ｃｓ
（ ） （ 一 口・６ ２ ａ ｂ ＝ Ｃ ＳＸ－ ｃｓ 一 ２ ， ） — Ｉ ＋ Ｉ Ｏ２ － ０ｚ
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５一 ３） ， （４ 口 ，，故ｅ （ ， ） 一 ３４