第四章 整式的加减 -综合实践 考点梳理(课件)人教版(2024)数学七年级上册

1+2+3=6；第 4 个图形表示的三角形数为1+2+3+4=10；
…；第 n 个图形表示的三角形数为1+2+3+…+（n-2）+（n-
1）+n=
（+）
．

（+）
［答案］

［点拨］ 通过观察给出的图形找出三角形数的变化情况
，总结规律得到第 n 个图形的圆点的个数，即三角形数.这
就是一个从特殊到一般的逻辑推理的过程.
数叫作三角形数，因为它的规律性可以用如图所示的图形表
示．根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为 a1=1
，第二个图形表示的三角形数记为 a2=3，……，则第 n个
图形表示的三角形数 an=______.（用含 n 的式子表达）
［解析］第 1 个图形表示的三角形数为 1；第 2个图形
表示的三角形数为 1+2=3；第 3 个图形表示的三角形数为
例 2
如图，用 5 个实心圆圈、5 个空心圆圈相间组成
一个圆环，然后把这样的圆环从左到右按下列规律组成圆环
串；相邻两圆环有一公共圆圈，公共圆圈从左到右以空心圆
圈和实心圆圈相间排列．
（1）把表格补充完整：
（2）设圆环串由 x 个圆环组成，请你写出组成圆环串所
需实心圆圈和空心圆圈的总个数（用含 x 的代数式表示）；
（3）如果圆环串由这样的 18 个圆环组成，那么实心圆
圈和空心圆圈的总数有多少个？ 有多少个空心圆圈？
［答案］解：（1）表格补充完整如下：
（2）因为每增加一个圆环，实心圆圈和空心圆圈的总个
数就多出 9 个，所以当圆环串由 x 个圆环组成，组成圆环
串所需实心圆圈和空心圆圈的总个数为（9x+1）个；
（3）当 x=18 时，实心圆圈和空心圆圈的总个数有
的值，采用以下方法：设 S=1+2+22+…+22 023+22
2S=2+22+23+…+22
024+22 025②，②-①，得
2S-
025-1．
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）计算 5+52+53+…+520 的值；
（2）计算 1+


+


+…+


的值；
（3）求（-3）+（-3）2 +（-3）3 + … +（-3）100的值
．

，故（-3
［点拨］ 本题考查数字的变化规律，灵活应用题中所给
的方法求和，并进行准确计算．
第四章 第四章 整式的加减
考点梳理及难点突破
综合与实践
古典数学中的特殊到一般
初中阶段领域，可采用项目式学习的方式，让学生从数
学的角度观察与分析、思考与表达、解决与阐释社会生活
以及科学技术中遇到的现实问题，通过对古典数学问题中
的特殊到一般的推理，领会学习数学的一般方法，应用于
现实生活.
例 1 古希腊数学家把 1，3，6，10，15，21……这样的
9×18+1=163（个），因为圆环串中圆环的个数为偶数时需
要的实心圆圈比空心圆圈多 1 个，所以空心圆圈有
＝81（个）．
−

［点拨］ 本题考查了图形类变化规律，根据图形，找到
数字间的运算规律是解题的关键．
例 3
023+22 024
024①，则
S=S=22
阅读下列材料：小明为了计算 1+2+22+…+22
，所以

S=2- ；



（3）令 S=（-3）+（-3）2+（-3）3+…+（-3）100①，
则-3S=（-3）2+（-3）3+（-3）4+…+（-3）101②，②-①得
，-3S-S=-4S=（-3）101-（-3），所以 S=
−

−
2
3
100
）+（-3） +（-3） +…+（-3） =
.
［答案］解：（1）令 S=5+52+53+…+520①，则5S=
52+53+54+…+521②，②-①，得 5S-S=4S=521-5，所以 S=
−

；
（2）令 S=1+
+ Nhomakorabea②，①-②，得 S-


+…+




S=1-






①，则 S= + + +…+