禹会区第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

禹会区第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 将函数)63sin(
2)(π+=x x f 的图象向左平移4
π
个单位，再向上平移3个单位，得到函数)(x g 的图象， 则)(x g 的解析式为（ ）
A ．3)43sin(
2)(--=πx x g B ．3)43sin(2)(++=π
x x g C ．3)123sin(2)(+-=πx x g D ．3)12
3sin(2)(--=π
x x g
【命题意图】本题考查三角函数的图象及其平移变换理论，突出了对函数图象变换思想的理解，属于中等难度. 2． 已知 m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个互不重合的平面，则下列命题中 正确的是（ ） A ．若 m ∥α，n ∥α，则 m ∥n B ．若α⊥γ，β⊥γ，则 α∥β C ．若m ⊥α，n ⊥α，则 m ∥n D ．若 m ∥α，m ∥β，则 α∥β
3． 如图，在△ABC 中，AB=6，
AC=4，A=45°，O 为△ABC 的外心，
则
•等于（ ）
A ．﹣2
B ．﹣1
C ．1
D ．2
4． 若复数z=2﹣i （ i
为虚数单位），则=（ ） A ．4+2i B ．20+10i C ．4﹣2i D
．
5． 在△ABC 中，b=，c=3，B=30°，则a=（ ） A
．
B ．
2
C
．
或
2
D ．2
6． 函数y=x 3﹣x 2﹣x 的单调递增区间为（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
7． 已知不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+≤+≥-1210y x y x y x 表示的平面区域为D ，若D 内存在一点00(,)P x y ,使001ax y +<，则a 的取值
范围为（ ）
A ．(,2)-∞
B ．(,1)-∞
C ．(2,)+∞
D ．(1,)+∞
8．
直线的倾斜角是（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
9． 方程
1x -=表示的曲线是（ ）
A ．一个圆
B ． 两个半圆
C ．两个圆 D
．半圆 10．在曲线y=x 2上切线倾斜角为的点是（ ）
A ．（0，0）
B ．（
2，
4） C
．（，
）
D ．（，）
11．已知()(2)(0)x b g x ax a e a x =-->，若存在0(1,)x ∈+∞，使得00()'()0g x g x +=，则b a
的 取值范围是（ ）
A ．(1,)-+∞
B ．(1,0)- C. (2,)-+∞ D ．(2,0)-
12．()()
2
2f x a x a =-+ 在区间[]0,1上恒正，则的取值范围为（ ）
A ．0a >
B ．0a <<
C ．02a <<
D ．以上都不对
二、填空题
13．已知各项都不相等的等差数列{}n a ，满足223n n a a =-，且2
6121a a a =∙，则数列12n n S -⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
项中 的最大值为_________.
14．定义在R 上的可导函数()f x ，已知()
f x y e
=′的图象如图所示，则()y f x =的增区间是 ▲ ．
0x ≥时，2
()2f x x x =-,则()y f x =在R 上的解析式为 y 轴的交点Q 的直线与抛物线切于点P ，则FPQ ∆
2
22)3(9y x x ++-+的最小值是 . 【命题意图】本题考查两点之间距离公式的运用基础知识，意在考查构造的数学思想与运算求解能力. 18．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，异面直线A 1B 与AC 所成的角是 °．
三、解答题
19．选修4﹣5：不等式选讲
已知f （x ）=|ax+1|（a ∈R ），不等式f （x ）≤3的解集为{x|﹣2≤x ≤1}． （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）若恒成立，求k 的取值范围．
20．已知椭圆的离心率，且点在椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线与椭圆交于、两点，且线段的垂直平分线经过点．求（为坐标原点)面积的最大值．
21．已知等差数列的公差，，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，记数列前n项的乘积为，求的最大值．
22．已知复数z=．
（1）求z的共轭复数；
（2）若az+b=1﹣i，求实数a，b的值．
23．已知矩阵M=的一个属于特质值3的特征向量=，正方形区域OABC在矩阵N应对的变换作
用下得到矩形区域OA′B′C′，如图所示．
（1）求矩阵M；
（2）求矩阵N及矩阵（MN）﹣1．
24．已知，且．
（1）求sinα，cosα的值；
（2）若，求sinβ的值．
禹会区第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】B
【解析】根据三角函数图象的平移变换理论可得，将)(x f 的图象向左平移4
π个单位得到函数)4(π
+x f 的图
象，再将)4(π+x f 的图象向上平移3个单位得到函数3)4(++πx f 的图象，因此=)(x g 3)4
(++π
x f
3)4
3sin(23]6)4(31sin[2++=+++=π
ππx x .
2． 【答案】C
【解析】解：对于A ，若 m ∥α，n ∥α，则 m 与n 相交、平行或者异面；故A 错误； 对于B ，若α⊥γ，β⊥γ，则 α与β可能相交，如墙角；故B 错误； 对于C ，若m ⊥α，n ⊥α，根据线面垂直的性质定理得到 m ∥n ；故C 正确； 对于D ，若 m ∥α，m ∥β，则 α与β可能相交；故D 错误； 故选C ．
【点评】本题考查了空间线线关系．面面关系的判断；熟练的运用相关的定理是关键．
3． 【答案】A
【解析】解：结合向量数量积的几何意义及点O 在线段AB ，AC 上的射影为相应线段的中点，
可得，
，则
•
=
=16﹣18=
﹣2； 故选A ．
【点评】本题考查了向量数量积的几何意义和三角形外心的性质、向量的三角形法则，属于中档题
4． 【答案】A
【解析】解：∵z=2﹣i ，
∴==
=
=
，
∴
=10•
=4+2i ，
故选：A ．
【点评】本题考查复数的运算，注意解题方法的积累，属于基础题．
5． 【答案】C
【解析】解：∵b=，c=3，B=30°，
∴由余弦定理b 2=a 2+c 2﹣2accosB ，可得：3=9+a 2
﹣
3，整理可得：a 2
﹣
3
a+6=0，
∴解得：
a=
或
2
．
故选：C ．
6． 【答案】A
【解析】解：∵y=x 3﹣x 2
﹣x ，
∴y ′=3x 2
﹣2x ﹣1，
令y ′≥0
即3x 2
﹣2x ﹣1=（3x+1）（x ﹣1）≥0
解得：x ≤
﹣或x ≥1
故函数单调递增区间为，
故选：A ．
【点评】本题主要考查导函数的正负和原函数的单调性的关系．属基础题．
7． 【答案】A
【解析】解析：本题考查线性规划中最值的求法．平面区域D 如图所示，先求z ax y =+的最小值，当12
a ≤时，12a -≥-
，z ax y =+在点1,0A （）
取得最小值a ；当12a >时，12a -<-，z ax y =+在点11
,33
B （）取得最小值1133a +．若D 内存在一点00(,)P x y ,使001ax y +<，则有z ax y =+的最小值小于1，∴121
a a ⎧
≤
⎪⎨⎪<⎩或
12
1113
3a a ⎧
>⎪⎪⎨
⎪+<⎪
，∴2a <，选A ． 8． 【答案】A
【解析】解：设倾斜角为α，
∵直线的斜率为，
∴tanα=，
∵0°＜α＜180°，
∴α=30°
故选A．
【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，属于基础题，应当掌握．
9．【答案】A
【解析】
试题分析：由方程1
x-=，即22
1
x-=22
-++=，所
(1)(1)1
x y
以方程表示的轨迹为一个圆，故选A.
考点：曲线的方程.
10．【答案】D
【解析】解：y'=2x，设切点为（a，a2）
∴y'=2a，得切线的斜率为2a，所以2a=tan45°=1，
∴a=，
在曲线y=x2上切线倾斜角为的点是（，）．
故选D．
【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
11．【答案】A
【解析】
考
点：1、函数零点问题；2、利用导数研究函数的单调性及求函数的最小值.
【方法点晴】本题主要考查函数零点问题、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值，属于难题．利用导数研究函数()f x 的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③令()0f x '>，解不等式得的范围就是递增区间；令()0f x '<，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数()f x 的极值及最值（若只有一个极值点则极值即是最值,闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.
12．【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得，根据一次函数的单调性可知，函数()()
2
2f x a x a =-+在区间[]0,1上恒正，则
(0)0
(1)0f f >⎧⎨>⎩，即2
020
a a a >⎧⎨-+>⎩，解得02a <<，故选C. 考点：函数的单调性的应用.
二、填空题
13．【答案】 【解析】
考
点：1.等差数列的通项公式；2.等差数列的前项和．
【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前项和公式.等差数列的通项公式及前项和公式,共涉及
1,,,,n n a a d n S 五个量,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.数列的通项公式和前项和公
式在解题中起到变量代换作用,而1,a d 是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法. 14．【答案】（﹣∞，2） 【解析】 试题分析：由()
21()0f x x e
f x '≤
≥⇒≥′时，()
21()0f x x e
f x '><⇒<′时，所以()y f x =的
增区间是（﹣∞，2） 考点：函数单调区间
15．【答案】2
22,0
2,0
x x x y x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩
【解析】
试题分析：令0x <，则0x ->，所以()()()2
2
22f x x x x x -=---=+，又因为奇函数满足
()()f x f x -=-，所以()()2
20f x x x x =--<，所以()y f x =在R 上的解析式为22
2,02,0
x x x y x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩。

考点：函数的奇偶性。

16．【答案】()2
212x y -+=或()2
2
12x y ++=
【解析】
试题分析：由题意知()0,1F ，设2001,
4P x x ⎛⎫
⎪⎝⎭
，由1'2y x =，则切线方程为()20001142y x x x x -=-，代入
()0,1-得02x =±，则()()2,1,2
,1P -，可得PF FQ ⊥，则FPQ ∆外接圆以PQ 为直径，则()2
212
x y -+=或()2
212x y ++=.故本题答案填()2
212x y -+=或()2
2
12x y ++=．1
考点：1.圆的标准方程；2.抛物线的标准方程与几何性质．
17．
【解析】
18．【答案】60°°．
【解析】解：连结BC1、A1C1，
∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A平行且等于C1C，
∴四边形AA1C1C为平行四边形，可得A1C1∥AC，
因此∠BA1C1（或其补角）是异面直线A1B与AC所成的角，
设正方体的棱长为a，则△A
B1C中A1B=BC1=C1A1=a，
1
∴△A1B1C是等边三角形，可得∠BA1C1=60°，
即异面直线A1B与AC所成的角等于60°．
故答案为：60°．
【点评】本题在正方体中求异面直线所成角和直线与平面所成角的大小，着重考查了正方体的性质、空间角的定义及其求法等知识，属于中档题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由|ax+1|≤3得﹣4≤ax≤2
∵不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}．
∴当a≤0时，不合题意；
当a＞0时，，
∴a=2；
（Ⅱ）记，
∴h（x）=
∴|h（x）|≤1
∵恒成立，
∴k≥1．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查恒成立问题，将绝对值符号化去是关键，属于中档题．
20．【答案】
【解析】【知识点】圆锥曲线综合椭圆
【试题解析】（Ⅰ）由已知，
点在椭圆上，，解得．
所求椭圆方程为
(Ⅱ)设，，的垂直平分线过点, 的斜率存在．
当直线的斜率时，
当且仅当时，
当直线的斜率时，设．
消去得：
由．①
，
，的中点为
由直线的垂直关系有，化简得②
由①②得
又到直线的距离为，
时，．
由，，解得；
即时，；
综上：；
21．【答案】
【解析】【知识点】等差数列
【试题解析】（Ⅰ）由题意，得
解得或（舍）．
所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ），得．
所以．
所以只需求出的最大值．
由（Ⅰ），得．
因为，
所以当，或时，取到最大值．
所以的最大值为．
22．【答案】
【解析】解：（1）．
∴=1﹣i．
（2）a（1+i）+b=1﹣i，即a+b+ai=1﹣i，
∴，
解得a=﹣1，b=2．
【点评】该题考查复数代数形式的乘除运算、复数的基本概念，属基础题，熟记相关概念是解题关键．23．【答案】
【解析】解：（1）根据题意，可得，
故，解得
所以矩阵M=；
（2）矩阵N所对应的变换为，
故N=，
MN=．
∵det（MN）=，
∴
=．
【点评】本题考查矩阵与变换、矩阵的特征值、特征向量等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程的思想．
24．【答案】
【解析】解：（1）将sin+cos=两边平方得：（sin+cos）2=sin2+2sin cos+cos2=1+sinα=，
∴sinα=，
∵α∈（，π），
∴cosα=﹣=﹣；
（2）∵α∈（，π），β∈（0，），
∴α+β∈（，），
∵sin（α+β）=﹣＜0，
∴α+β∈（π，），
∴cos（α+β）=﹣=﹣，
则sinβ=sin=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=﹣×（﹣）﹣（﹣）×=+=．【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及运用诱导公式化简求值，熟练掌握公式是解本题的关键．。