人教A版高二数学选修 正态分布-2PPT牛老师

越大，峰值越小，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.
结论：
当 一定时 曲线的位置由 确定，曲线随着 的变化而沿x轴平移; 当 一定时 曲线形状由 确定，
越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中； 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.
问题10： 小球落在哪个范围可能性最大？
若 X ～ N (, 2)，则对于任何实数a 0，概率
问题2：是不是只有小球的分布具有中间高两边低的特点？
在必修3统计的学习中：
收集过的身高、体重、成绩、用水量等数据，可以画出这些
数据的频率分布直方图，发现这些直方图都具有中间高两边
低的特点.
100位居民月均用水量的频 率分布表
0.6 [0,0.5)
0.4
[0.5,1)
0.2
[1,1.5)
0
[1.5,2)
一步可以对, (x)求定积分来求曲边梯形的面积：
概率
曲边梯形面积 定积分
P(a X b)
b
a , (x)dx
b
P(a X b) a , (x)dx
此公式是不是只对特殊的 a 和b 成立
呢？其实是对于任意的实数a 和b（ a ＜b ），
随机变量 X 都满足
P(a X b)
b
a
,
（一）钟形曲线 二、建立概念
问题1 如何把直观看到的现象定量研究？即用 数学的观点研究小球分布情况.
我们从左到右给球槽编号，便于研究小球 落入哪个球槽.
怎样量化“小球堆积的形状具有中间高两 边低的特点，而且呈现左右对称”？
方案1：用X表示球槽编号，则X是一个随机变量；
X 1 2…n
P
f1
f2 … fn
高尔顿板试验 猜想：让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过 程中与层层障碍物碰撞，最后掉入高尔顿板下方的哪一个球槽内？
观察：演示多次，观察各次得到的小球的分布规律的共性.
(1)小球从高尔顿板上方下落的过程中：小球经过每 一层都要和其中的一个障碍物发生碰撞，碰撞有两种 可能，从左落下或从右落下，最后落入底部的球槽， 小球落入哪个球槽是随机的； (2)随着试验次数的增加: ——掉入各个球槽内的小球的个数就会越来越多，球 槽中小球堆积的高度也会越来越高； ——小球堆积的形状具有中间高两边低的特点，呈现 左右对称.
正态分布
高二年级 数学
主讲人：杨平 北京市日坛中学
一、实际情景
高尔顿板 英国生物统计学家高尔顿设计用来研究
随机现象的模型. 在一块木板上钉的若干排相互平行但相
互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适 当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.
让小球从高尔顿板上方的通道口落下， 小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，最 后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.
1P( 3 X 3)1P( 2 X 2)
y
2
2
120.9974 120.9544 0.0215.
O
x
小结
正态分布密度曲线
正态分布的意义
正态分布密度曲线 的特点
参数 和 对正态曲线的影响
正态分布随机变量取值在
, 2 , 2 3 , 3
的概率
课后作业
1.标准正态密度函数为
►为你理想的人，否则，爱的只是你在他身上找到的你的影子。 ►冲冠一怒为红颜，英雄难过美人关。只愿博得美人笑，烽火戏侯弃江山。 宁负天下不负你，尽管世人唾千年。容颜迟暮仍为伴，倾尽温柔共缠绵。 ►蜜蜂深深地迷恋着花儿，临走时留下定情之吻，啄木鸟暗恋起参天大树， 转来转去想到主意，便经常给大树清理肌肤。你还在等待什么呢？真爱是
f (x)
1
x2
e 2 , x (, )
2
（1）证明 f (x)是偶函数；
（2）求 f (x)的最大值；
（3）利用指数函数的性质说明 f (x)的增减性.
2.画出课上使用过的身高、体重、成绩等数据的正态曲线，并估
计参数 的值；
3. 请同学们查阅相关的资料，了解正态分布的发展史，以小组为 单位对某个科学家的观点或在正态分布方面的贡献写一个简介.
（3）X 主要受最后一次与小球碰撞的障碍物的影响.（×）
结论：X 是一个随机变量，受到了很多个障碍物的作用；每个障碍物是互不
影响、互不相干；小球落在什么位置是很多次碰撞的结果，这些碰撞不分主
次.因此， X 是一个随机变量，受到了众多的、互不相干的、不分主次的偶
然因素的影响.
一般地，如果对于任何实数a，b（a ＜b），随机变量 X 满足
令t
x 2 2
2
，则
y
1 et， 2
单调性
显然，当x(,)时， f (x)为增函数.
在直线x 的右侧函数图像递减；
在直线x 的左侧函数图像递增； , (x)
1
( x )2
e 2 2
2π
当x (,)时， f (x)为减函数；
当x 时，函数取最大值 1 ；
值域
2π
这是指数型的函数，故值域为
0,
等，一般都服从正态分布. 正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际中，正态分
布在概率和统计中占有重要的地位. 因此，在对概念有初步认识的基础上，我们需要进一步认识
正态曲线.
三、探究曲线特点
正态曲线一方面是函数, (x)
1
e
(
x )2 2 2
2π
的图象，另一方面正态曲线是刻画随机变量的概率
分布规律，因此我们可以从函数和概率两个方面探
问题 6：如何计算小球落在某个区间(a,b]内的概率？
先把小球的位置量化： 当试验用的小球很小时候如何刻画小球的 具体位置？ ——可以用坐标. 如何建立适当的坐标系?以及如何计算小球 落在某个区间(a,b]的概率?
如果去掉高尔顿板最下边的球槽，沿高尔
y
顿板底部建立一个水平坐标轴，刻度单位为球
槽的宽度，若用 X 表示落下的小球第 1 次与高
例 某地区数学考试的成绩 X 服从 正态分布，其密度曲线如图所示，成
绩 X 位于区间52,68的概率是多少？
解：第一步，求出正态分布密度曲线函数的解析式；
, (x)
1
( x )2
e 2 2
2π
可知，参数
60，且max
(60)
8
1 2
所以
8.得, (x)
8
1 2π
e ； ( x60)2 128
2
2
y
1 0.9544 0.4772，
2
P(5 X 6) 1 P(4 X 6) 1 P(5 1 X 5 1)
O
2
2
1 0.6826 0.3413，
2
得 P(6 X 7) P(5 X 7) P(5 X 6) 0.1359.
345 6 7
x
例 商场经营的某种包装的大米质量服从正态分布
(
x)dx.
X 表示落下的小球第 1 次与高尔顿板底部接触时
的坐标，X 是一个随机变量，请大家通过下面的问题
体会 X 是什么样的量？它受到哪些因素的影响.
问题 7：判断下面说法是否正确，说明理由.
（1） X 是一个障碍物作用的结果；（×）
（2）如果小球与第 1 个障碍物相撞后向左落下，那么小球
与第 5 个障碍物相撞后也向左落下；（×）
N (10, 0.12 )（单位:kg）.任选一袋这种大米，质量在 9.8~10.2kg 的概率是多少？
解：设该种包装的大米的质量为 X ，由 X N(10,0.12)知，
正态分布密度函数的两个参数为 10, 0.1，
故 P(9.8 X 10.2) P(10 2 0.1 X 10 2 0.1). 0.9544
129-120
0
119-1：频率分布折线图越来越光滑.
结果：频率分布折线图越来越光滑，越来越像一条 曲线. 问题4：生活中我们是否见过类似形状的东西？
象我们生活中的钟、铃铛等类似形状的东 西，我们称之为钟形曲线.
, ( x)
1
e
(
x )2 2 2
2π
（二）正态曲线
[2,2.5)
研究此类分布的必要性： 既然这么多数据都具有中间高两边低的特点，我们有必要进
一步研究它们的分布规律. 观察趋势： 画出频率分布折线图.
问题3：随着试验次数增加,组距不断缩 小，我们猜频率分布折线图有何特点？
某次数学成绩的频率分布直 方图
0.03
150-140
0.02
139-130
0.01
1
.
2
图像位于 x 轴上方；
概率性质
曲线与 x 轴之间的面积为 1.
正态曲线特点 （1） 曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
, (x)
1
e
(
x )2 2 2
2π
（2） 曲线是单峰的，它关于直线x 对
称；
（3） 曲线在 x 处达到峰值 1 ； 2π
（4） 曲线与x轴之间的面积为 1.
问题 9：正态分布中的参数 和 可以用样本的均值和标准差 去估计，正态分布完全由 和 确定，如何研究两个参数对正态曲
线的影响？具体如何操作？
——控制变量.
从解析式上不难看出：
, (x)
1
( x )2
e 2 2
2π
当 一定时，曲线是随着 的变化而沿x轴平移；
, (x)
1
e
(
x )2 2 2
2π
当 一定时，图像关于直线x 对称.
因为峰值是 1 ，
2π 故 越小，峰值越大，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；
究正态曲线的特点.
问题 8：结合, (x)的解析式及概率的性质，说一说正态曲线
都有哪些特点？
探究角度和探究方式： 可以从函数的定义域、最值和对称性等方面探究曲线的特
点； 也可以利用图形计算器或计算机软件，画出函数的图象探
究曲线的特点.
函数或概率性质
图像特点
定义域 R
对称性 对任意实数x，均满足 f ( x) f ( x)； 图像关于直线x 对称；
早在十八世纪30年代，棣莫弗、斯特莱等数学家经
过十几年的努力，用求导、对数、无穷级数、积
分、变量代换等数学方法就推导出这条钟形曲线的
解析式：
, (x)
1
e
(
x )2 2 2
,
x
(,
)
2π
其中 和 （ 0）为参数，我们称, (x)的图象为正态分
布密度曲线，简称正态曲线.
（三）正态分布
问题5：一个小球从高尔顿板口落下，最可能 落在哪？为什么？ 预测：落在中间的可能性大，概率大.
尔顿板底部接触时的坐标.
X 是一个随机变量，这样计算小球落在某 O
x
个区间(a,b]的概率，就是求P(a X b).
如何计算小球落在某个区间(a,b]内的概率？
高尔顿板 试验
小球分布的 频率分布直方图
试验次数增加，组距缩小， 小球的分布规律是正态曲线.
结合定积分和概率的知识，用曲边梯形的面积计算概率，进
美中不足：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
对于离散型随机变量而言，其分布列完全刻画了它的概率分
布规律，但此时只能通过频率来近似，因此，实际上我们无
法知道所构造的随机变量的分布列.
方案2：以球槽的编号为横坐标，可以画出小球分布的频率分 布直方图. 观察发现：
频率分布直方图具有中间高 两边低（左右两边对称）的特 点，并且频率分布直方图的外形 与试验中小球的堆积形状是一样 的.
例 设 X N(,1)，求P(3 X 2).
分析：
题目中给出了 1，但 等于几
y
我们却不知道，也没给求出 的条件，
我们大胆猜一下，是不是 等于多少
O
x
对题目没有影响呢？
解：由 X N(,1)知，正态分布密度函数的参数 1.
因为该正态密度曲线关于直线x 对称，
所以
P(3 X 2)P(3 X )P(2 X )
a
P( a X a) a , (x)
为图中阴影部分的面积.
对于固定的 和a而言，该面积随着 的减少而
变大.
说明 越小，落在区间 a, a的概率越大，
即 X 集中在 周围概率越大.
P( X ) 0.6826, P( 2 X 2 ) 0.9544, P( 3 X 3 ) 0.9974. 可以看到，正态总体几乎总取值于区间( 3 , 3 )之内，而在此区间以外取值的概 率只有 0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生. 在实际应用中，通常认为服从正态分布N(, 2)的随机变量X 只取( 3 , 3 )之间 的值，并简称之为3 原则.
1，
2π
第二步，求概率；
故 P(52 X 68) P(60 8 X 60 8) 0.6826.
例 若 X N (5,1)，求P(6 X 7) .
解：由 X N (5,1)知，正态密度曲线函数的两个参数为 5, 1，
故该正态密度曲线关于直线 x 5对称.
故 P(5 X 7) 1 P(3 X 7) 1 P(5 2 X 5 2)
P(a X b)
b
a
,
(
x)dx
.
则称随机变量 X 服从正态分布，记为 X ～N(μ, 2)，参数 可以用
样本的均值估计， 可以用样本的标准差估计.
根据前面对随机变量 X 的特点的分析，一个随机变量如果是众 多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从 或近似服从正态分布.
现实生活中： 长度测量的误差，某一地区同龄人群的身高、体重、肺活量