2020年山西省中考数学模拟试卷及答案

2020年山西省中考数学模拟试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1.-的绝对值等于（）
A. -3
B. 3
C. -
D.
2.下列运算中，正确的是（）
A.
x2•x3=x6 B. 2x2+3x2=5x2
C. （x2）3=x8
D. （x+y2）2=x2+y4
3.如图，它是一个正方体的展开图，若此正方体的相对面上的数互为相反数，
则下列说法中正确的是（）
A. a=-2014
B. b=-2013
C. c=-2015
D. 无法确定
4.下列根式是最简二次根式的是（）
A. B. C. D.
5.如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长
线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（）
A. 40°
B. 45°
C. 60°
D. 70°
6.不等式组的解集是（）
A. x＜8
B. x≥2
C. 2≤x＜8
D. 2＜x＜8
7.用科学记数法表示560000=m×10n，则m、n分别是（）
A. m=56，n=4
B. m=5.6，n=4
C. m=5.6，n=5
D. m=56，n=5
8.若一元二次方程x2+bx+5=0配方后为（x-3）2=k，则b，k的值分别为（）
A. 0，4
B. 0，5
C. -6，5
D. -6，4
9.河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为
y=-x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（）
A. -20m
B. 10m
C. 20m
D. -10m
10.已知一个扇形的半径是2，圆心角是60°，则这个扇形的面积是（）
A. B. π C. D. 2π
二、填空题（本大题共5小题，共15分）
11.a+2-= ______ ．
12.小明想了解自己一学期数学成绩的变化趋势，应选用______ 统计图来描
述数据．
13.如图，某小区在宽20m，长32m的矩形地面上修筑同样宽的人行道（图
中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道
路的宽．设道路宽是x，则列方程为______ ．
14.如图1所示，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（-3，4），顶点C在x轴的负半轴上，函
数y=（x＜0）的图象经过顶点B，则k的值为______．
15.如图2所示，将等腰直角△ABC绕顶点A顺时针旋转60°后得到△AED，则∠EAC=______．
图1 图2
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16.计算：3tan30°++（3-π）0-（-1）2018
17.如图，点C，D在线段BF上，AB∥DE，AB=DF，∠A=∠F，求证：BC=DE．
18.如图，是一个可以自由转动的转盘，转盘被平均分成四个相同的扇形，分别写有1、2、3、4四个数字，
指针位置固定，转动转盘后任其自由停止（指针指向边界时重转），现转动转盘两次，请用画树形图法或列表法求出指针指向相同数字的概率．
19.某车间有20名工人，每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个，每加工一个甲种零件获利16元，
每加工一个乙种零件获利24元，若派x人加工甲种零件，其余的人加工乙种零件．
（1）此车间每天所获利润为y元，求出y与x的函数关系式．
（2）要使车间每天所获利润不低于1800元，至多派多少人加工甲种零件？
20.周末，小亮一家人去水库游玩，他在大坝上的点A处看到一棵大树的影子刚好落在坝底的BE处（点A
与大树及其影子在同一平面内），此时太阳光与地面夹角为60°，在A处测得树顶D的仰角为30°．如图所示，已知背水坡AB的坡度i=4：3，AB的长为10米，请你帮助小亮算一算这颗大树的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73．注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）
21.在⊙O中，点C是上的一个动点（不与点A，B重合），∠ACB=120°，点I
是△ABC的内心，CI的延长线交⊙O于点D，连结AD，BD．
（1）求证：AD=BD；
（2）猜想线段AB与DI的数量关系，并说明理由．
（3）在⊙O的半径为2，点E，F是的三等分点，当点C从点E运动到点F
时，求点I随之运动形成的路径长．
22.如图，在Rt△ABC中，AB=AC，点D为AC延长线上一点，连接BD，过A作AM⊥BD，垂足为M，交
BC于点N
（1）如图1，若∠ADB=30°，BC=3，求AM的长；
（2）如图2，点E在CA的延长线上，且AE=CD，连接EN并延长交BD于点F，求证：EF=FD；
（3）在（2）的条件下，当AE=AC时，请求出的值．
23.如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为(2，0)，点
C的坐标为(0，4)，它的对称轴是直线x＝-1．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在第二象限内抛物线上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．
2020年山西省中考数学模拟试卷
参考答案
1. D
2. B
3. C
4. D
5. A
6. C
7. C
8. D9. C10. A
11.
12. 折线
13. （20-x）（32-x）=540
14. -32
15. 105°
16. 解：原式=3×++1-1
=2．
17. 证明：∵AB∥DE
∴∠B=∠EDF；
在△ABC和△FDE中，
，
∴△ABC≌△FDE（ASA），
∴BC=DE．
所有等可能的情况有16种，其中两指针所指数相同的有4种，所以其概率为：=．19. 解：（1）由题意可得，
y=5x×16+（20-x）×4×24=1920-16x，
即y与x的函数关系式是：y=1920-16x；
（2）由题意可得，
1920-16x≥1800，
解得，x≤7.5，
即至多派7个人加工甲种零件．
20. 解：如图，过点A作AG⊥BC于G，AH⊥DE于H，
在Rt△AGB中，
∵i=4：3，
∴AG：BG=4：3，
设AG=4x，BG=3x，由勾股定理得：
（4x）2+（3x）2=102，
解得：x=2，
∴AG=8，BG=6，
∵∠AGE=∠GEH=∠AHE=90°，
∴四边形AGEH是矩形，
∴AG=EH，AH=GE，
在Rt△BDE中，∠DBE=60°，
设BE=y，
则DE=BE•tan∠EBD=BE•tan60°=y，
在Rt△ADH中，∠DAH=30°，
∵AH=BG+BE=6+y，DH=DE+HE=y+8，
∴DH=AH•tan∠DAH，
即：，
解得：y=3+4，
∴≈17.2（米），所以这棵树约为17.2米高．
21. （1）证明：∵点I是△ABC的内心，
∴CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=×120°=60°，
∴∠ABD=∠ACD=60°，∠BAD=∠BCD=60°，
∴△ADB为等边三角形，
∴AD=BD；
（2）解：AB=DI．
理由如下：连接AI，
∵点I是△ABC的内心，
∴AI平分∠CAB，
∴∠CAI=∠BAI，
∵∠DAI=∠DAB+∠BAI=60°+∠BAI，
∠DIA=∠ICA+∠CAI=60°+∠CAI，
∴∠DAI=∠DIA，
∴DA=DI，
∵△ADB为等边三角形，
∴AB=AD，
∴AB=DI；
（3）由（2）得AD=DI=DB，
∴点I在以D点为圆心，DA为半径，圆心角为60°的弧上，
连接DE、DF交此弧于点I′、I″，如图，
∴当点C从点E运动到点F时，点I随之运动形成的路径长为弧I′I″的长，
∵点E，F是的三等分点
∴∠ADE=∠EDF+∠FDB=20°，
连接OA，作OH⊥AD于H，则AH=DH，
∵△ADB为等边三角形，
∴∠OAH=30°，
∴OH=OA=1，AH=OH=，
∴AD=2，
∴弧I′I″的长度==π，
即点I随之运动形成的路径长为π．
22. 解：（1）在Rt△ABC中，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵BC=3，
∴AB=3．
∵∠ADB=30°，
∴BD=6，AD=3．
根据等面积法可得：AB•AD=AM•BD，
∴3×3=6•AM，
∴AM=．
（2）证明：作AH⊥BC，垂足为H，延长AH交BD于P，连接CP，如图3所示．∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AH=BH=CH，BP=CP，∠PBC=∠PCB．
∵AM⊥BD，AH⊥BC，
∴∠BMN=∠AHN=90°，
∵∠BNM=∠ANH，
∴∠NBM=∠NAH=∠PBH．
在△BHP和△AHN中，，
∴△BHP≌△AHN（ASA），
∴BP=AN，
∴CP=AN．
∵∠PCB=∠PAM，
∴∠MAD=∠PAM+45°=∠PCB+45°=∠PCA，
∴∠EAN=∠PCD，
在△AEN和△CDP中，，
∴△AEN≌△CDP（SAS），
∴∠E=∠D，
∴EF=DF．
（3）过点F作FQ⊥AC于Q，由（2）可得，Q是DE的中点，过N作NR⊥AC于R，如图4所示．设AE=a，∵AE=AC，
∴AC=3a，
∴EQ=a，AD=4a，
∵NR∥FQ∥AB，
∴△ANR∽△FDQ∽△BAD，
∴===，
∴NR=AR．
∵△NRC为等腰直角三角形
∴AR+AR=3a，
∴AR=a，
∴RQ=EQ-AE-AR=a-a-a=a．
∵NR∥FQ，
∴△ENR∽△EFQ，
∴===．
23. 解：（1）根据题意得，，解得，，
∴二次函数的解析式；
(2）存在.理由如下：
∵A的坐标为(2，0)，它的对称轴是直线x＝-1．
∴点B的坐标为(-4，0)
设P点(-4＜x＜0)，
∵S△BPC＝S四边形BPCO-S△BOC
＝S△BOP+S△COP-S△BOC
＝-x2-4x
＝-(x+2)2+4，
∴x＝-2时，△PBC的面积最大为4．。