黑龙江省哈尔滨市2013届高考数学第二次模拟考试试题 理

2013年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试
理科数学
本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共24题，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I 卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1． 集合{||1|2}A x x =-<，1
{|
39}3
x B x =<<，则A B = A ．(1,2)
B ．(1,2)-
C ．(1,3)
D ．(1,3)-
2．设S n 是公差为(0)d d ≠的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则“d < 0”是“数列{}n S 有最大项”的
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
3．ΔABC 中，(cos ,sin )m A A =，(cos ,sin )n B B =-，若1
2
m n ⋅=
，则角C 为 A ．
3
π B ．
23
π C ．
6
π D ．56
π
4．已知1
1e
a dx x =
⎰
，则61
()x ax
-展开式中的常数项为 A ．20
B ．-20
C ．-15
D ．15
5．正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为
A ．
12
B ．
14
C ．
23
D
6．已知函数()sin())(0,||)2
f x x x π
ωφωφωφ=++><，其图象相邻的两条对称
轴方程为0x =与2
x π=
，则
A ．()f x 的最小正周期为2π，且在(0,)π上为单调递增函数
B ．()f x 的最小正周期为2π，且在(0,)π上为单调递减函数
C ．()f x 的最小正周期为π，且在(0,)2
π上为单调递增函数 D ．()f x 的最小正周期为π，且在(0,
)2
π上为单调递减函数
7．一个几何体的三视图及尺寸如右图所示，则该几何体的 外接球半径为
A ．
12 B
C ．
174
D ．
4
8．过抛物线2
2(0)y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，直线l 与抛物线的准线的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的摄影为C ，若AF FB =，
36BA BC ⋅=，则抛物线的方程为
A ．2
6y x =
B ．2
3y x =
C ．2
12y x =
D ．2
y =
9．阅读右面的程序框图，输出结果s 的值为
A ．
12 B C ．116
D ．
18
10．在平行四边形ABCD 中，AE EB =，2CF FB =， 连接CE 、DF 相交于点M ，若AM AB AD λμ=+，则实数 λ与μ的乘积为
A ．
14
B ．
38
C ．
34
D ．
43
11．已知函数32()132x mx m n x y +++=+的两个极值点分别为x 1，x 2，且1(0,1)x ∈，2(1,)x ∈+∞，记分别以m ，n 为横、纵坐标的点(,)P m n 表示的平面区域为D ，若函数log (4)(1)a y x a =+>的图象上存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围为
A ．(1,3]
B ．(1,3)
C ． (3,)+∞
D ．[3,)+∞
12．设点P 在曲线x
y e =上，点Q 在曲线1
1(0)y x x
=-
>上，则||PQ 的最小值为 A
．
1)2
e - B
1)e -
C
．
2
D
第II 卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

将答案填在答题卡的相应位置上。

） 13．若复数1z i =+，则
z
zi
=__________。

14．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，由F 向其渐近线引垂线，垂足为
P ，若线段PF 的中点在此双曲线上，则此双曲线的离线率为__________。

15．已知平面区域Ω
=0(,)y x y y ⎧⎫≥⎧⎪⎪⎪
⎨⎨≤⎪⎪⎩⎩，直线l :2y mx m =+和曲线C
:y =有两个不同的交点，直线l 与曲线C 围城的平面区域为M ，向区域Ω内随机投一点A ，点A 落在区域M 内的概率为()P M ，若2
()[
,1]2P M ππ
-∈，则实数m 的取值范围是__________。

16．已知ΔABC 中，∠A ,∠B ,∠C 的对边分别为a ,b ,c ，若a = 1,2cos C + c = 2b ，则ΔABC 的周长的取值范围是__________。

三、解答题（本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）
已知正项数列满足2
4(1)n n S a =+。

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1
1
n n n b a a +=
，求数列{}n b 的前n 项和T n 。

18．（本小题满分12分）
从某学校高三年级共1000名男生中随机抽取50人测量身高。

据测量，被测学生身高全部介于155cm到195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组，第一组[155,160)，第二组[160,165)，…，第八组[190,195]。

下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分、其中第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列。

（1）求第六组、第七组的频率，并估算高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数；
（2）学校决定让这50人在运动会上组成一个高旗队，在这50人中要选身高在180cm 以上（含180cm）的三人作为队长，记X为身高在[180,185)的人数，求X的分布列和数学期望。

19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥AD，AB∥CD，
CD ⊥AD ，AD = CD = 2AB = 2，E ，F 分别为PC ，CD 的中点，DE = EC 。

（1）求证：平面ABE ⊥平面BEF ；
（2）设PA = a ，若平面EBD 与平面ABCD 所成锐二面角[,]43
ππ
θ∈，求a 的取值范围。

20．（本小题满分12分）
已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点2，离心率1
2
e =，若点00(,)M x y 在椭圆C 上，则点00
(
,)x y N a b
称为点M 的一个“椭点”
，直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，若点A 、B 的“椭点”分别是P 、Q ，且以PQ 为直径的圆经过坐标原点O 。

（1）求椭圆C 的方程；
（2）若椭圆C 的右顶点为D ，上顶点为E ，试探究ΔOAB 的面积与ΔODE 的面积的大小关系，并证明。

21．（本小题满分12分）
已知函数2
()ln (0)f x ax x x x a =+->。

（1）若函数满足(1)2f =，且在定义域内2
()2f x bx x ≥+恒成立，求实数b 的取值范围；
（2）若函数()f x 在定义域上是单调函数，求实数a 的取值范围； （3）当11x y e <<<时，试比较y x 与
1ln 1ln y
x
++的大小。

选考题：请考生从第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22．（本小题满分10分）
选修4-1：几何证明选讲
如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，过点P 的割线交圆于B 、C 两点，弦CD ∥AP ，
AD 、BC 相交于点E ，F 为CE 上一点，且DE 2 = EF ·EC 。

（1）求证：CE ·EB = EF ·EP ；
（2）若CE :BE = 3:2，DE = 3，EF = 2，求PA 的长。

23．（本小题满分10分）
选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知直线l 的极坐标方程为sin()14
π
ρθ+
=，圆C 的圆心是
)4
C π。

（1）求圆C 的极坐标方程； （2）求直线l 被圆C 所截得的弦长。

24．（本小题满分10分）
选修4-5：不等式选讲
设函数()|21||3|f x x x =+--。

（1）解不等式()0f x >；
（2）已知关于x 的不等式3()a f x +<恒成立，求实数a 的取值范围。

2013年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试 数学试卷（理工类）答案及评分标准 一、选择题：
二、填空题：
13. 1- 14. 2 15. []1,0 16. (]3,2
三、解答题：
17. (Ⅰ)整理得21=--n n a a ……………………………… 4分 又11=a 得12-=n a n ……………………………… 6分
(Ⅱ)由（1）知 )1
21121(21+--=
n n b n …………………………… 8分 所以1
2+=
n n
T n …………………………………… 12分 18.
解
:
(Ⅰ)
第
六
组
08.0=p ·························
··2分 第
七
组
06.0=p ·························
··4分 估
计
人
数
为
180 (6)
分 (Ⅱ)
X
可能的取值为0,1, 2,
3. ························7分
425
)0(3935===C C x P 4220)1(3
92514===C C C x P 4215)2(391524===C C C x P 422
)3(39
3
4===C C x P 所以X 的分布列
·············10分
)(X E =
3
4
. ····················· 12分
19.(Ⅰ) ,//CD AB ,AD CD ⊥22===AB CD AD ，F 分别为CD 的中点， ABFD
∴为矩形，
BF AB ⊥ ················· 2分
EF DC EC DE ⊥∴=, ,又EF AB CD AB ⊥∴,// ⊥∴=AE E EF BF , 面BEF ,⊂AE 面ABE ,
∴平面ABE
⊥平面
BEF ····················· 4分
(Ⅱ) EF DC EC DE ⊥∴=, ,又EF PD //，PD AB CD AB ⊥∴,// 又
PD AB ⊥,所以
⊥
AB 面
PAD ,PA AB ⊥ ··················6分
法一：建系AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴, )0,2,0(),0,0,1(D B ),0,0(a P ，)0,2,2(C ,)2
,1,1(a
E
平
面
B C 法
向量
1(
0,0,1)n =，平面EBD
法向量
)2,,2(2-=a a n ··········9分
]22
,21[452
cos 2∈+=
a θ，可得
]5
15
2,552[
∈a . ·············12分
法二：连AC 交BF 于点K ,四边形ABCF 为平行四边形，所以K 为AC 的中点，连EK ,
则PA EK //,⊥EK 面ABCD ,EK BD ⊥, 作BD KH ⊥于H 点，所以⊥BD 面EKH ,
连EH ,则EH BD ⊥,EHK ∠即
为
所
求 ············· 9分
在EHK Rt ∆中，5
15221=⨯=HK ,]3,1[255
12tan ∈==a a
θ
解
得
]5
15
2,552[
∈a ·············12 分
20. (Ⅰ)由已知⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+==+
21143
3
222
2
2a c c b a
b
a 解得42=a ，32=
b ，方程为13
42
2=+y x ·······3 分 (Ⅱ) 设),(),,(2211y x B y x A ，则)3
,2(),3,2(
2211y
x Q y x P （1）当直线l 的斜率存在时，设方程为m kx y +=
⎪⎩⎪⎨⎧=++=134
22y x m
kx y 联立得：0)3(48)43(2
22=-+++m kmx x k 有⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧
+-=
+-=+>-+=∆22212
212243)3(44380)43(48k m x x k km x x m k ① 由以PQ 为直径的圆经过坐标原点O 可得：0432121=+y y x x ·
整理得：04)(4)43(2
21212=++++m x x km x x k ②
将①式代入②式得：22243m k =+, ··········· 6 分
048,0,0432
2
2
>=∆>∴>+m m k
又点O 到直线m kx y +=的距离2
1k
m d +=
2
2
2
2
2222
212
23414334143433411m m k
k m k
k m k k x x k AB ⋅+=+⋅+=+-++=-+=
··········
8 分
所
以
3232212
2===∆m
m d AB S OAB
·········· 10 分 (2) 当直线l 的斜率不存在时，设方程为m x =（22<<-m ）
联立椭圆方程得：4
)4(322
m y -=
代入0432121=+y y x x 得到04)4(3322
=--m m 即552±
=m ，5
15
2±=y 32
1
2121=-==
∆y y m d AB S OAB 综上：OAB ∆的面积是定值3 又
ODE
∆的面积
3322
1
=⨯⨯=
，所以二者相
等. ·······12分 21. (Ⅰ) 由
原
式
b x
x
x ≥--
⇔ln 11， ················ 1分
令x
x
x x g ln 11)(-
-
=，可得)(x g 在(]1,0上递减， 在[)+∞,1上递增，所以0)1()(min ==g x g
即
0≤b ···············3分
（Ⅱ）)
0(,ln 2)(>-='x x ax x f x x a x f ln 2,0)(≥≥'得令，x x x h ln )(=设，时当e x =e x h 1)(max =
e
a 21≥∴当时，函数)(x f 在),0(+∞单调递
增 ···············5分 e a 210<<若，x a x g x x ax x g 12)(),0(,ln 2)('-=>-=
a x x g 21,0)('==，0)(),,21(,0)(),21,0(//>+∞∈<∈x g a x x g a x
a
x 21=∴时取得极小值即最小值 时而当e a 210<< 021ln 1)21(<-=a
a g ， 必有根0)(/=x f ，)(x f 必有极值，在定义域上不单调··············8分
e
a 21≥∴ ················9分 （Ⅲ）由(I)知x
x x g ln 11)(+-=在(0,1)上单调递减 ∴11<<<y x e 时，)()(y g x g >即
y
y x x ln 1ln 1+<+ ················ 10分 而11<<<y x e
时，0ln 1,0ln 1>+∴<<-x x x
y x y ln 1ln 1++<∴ ··············· 12分
22.（I ）∵EC EF DE ⋅=2，∴C EDF ∠=∠，
又∵C P ∠=∠，∴P EDF ∠=∠，∴EDF ∆∽PAE ∆
∴EP EF ED EA ⋅=⋅又∵EB CE ED EA ⋅=⋅，∴EP EF EB CE ⋅=⋅···5分 （II ）3=BE ，29=CE ，4
15=BP PA 是⊙O 的切线，PC PB PA ⋅=2，4
315=
PA ·······10分
23.（Ⅰ）圆C 的极坐标方程为：)4sin(22π
θρ+= (5)
分 （Ⅱ）圆心到直线距离为1，圆半径为2，所以弦长为
2 ··········· 10分 24.（Ⅰ）0)(>x f 的解
集为：),3
2()4,(+∞⋃--∞ ·········· 5分 （Ⅱ）213
-<a ·········· 10 分。