湘教版九年级下册数学 第2章 过不共线三点作圆

【答案】A
11.如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC 的外部，连接BE，AE，AD，下列叙述正确的是( ) A．O是△AEB的外心，O是△AED的外心 B．O是△AEB的外心，O不是△AED的外心 C．O不是△AEB的外心，O是△AED的外心 D．O不是△AEB的外心，O不是△AED的外心
9．【中考·临沂】如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平 分线交AD于点E.
(1)求证：DE＝DB；
证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC， ∴∠BAE＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE. ∵∠DBC＝∠CAD，∴∠DBC＝∠BAE. ∵∠DBE＝∠CBE＋∠DBC，∠DEB＝∠ABE＋∠BAE， ∴∠DBE＝∠DEB，∴DE＝DB.
湘点作圆
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新知笔记 1 不在同一直线上 2 外心；垂直平分线
1D 2B 3 (2，0)
4B
5A
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6B 7A 8 40 9 见习题 10 A
11 B
12 D
13 25 8
14 见习题
15 见习题
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1.____不__在__同__一__直__线__上____的三个点确定一个圆．
15．已知AD是△ABC的高，△ABC外接圆的半径为R. (1)当△ABC为锐角三角形时，如图，求证：AB·AC＝2R·AD；
证明：如图①所示， 连接AO并延长交⊙O于点E，连接CE， ∵∠B与∠E是 所对的圆周角，∴∠B＝∠E. ∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝90°，
A︵C ∵AE是⊙O的直径，∴∠ACE＝90°，
2．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与
原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块碎片应该是( )
A．第①块
B．第②块
C．第③块
D．第④块
B
3．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格格点A，B，C，其中B点坐标为(4， 4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为________．
(2，0) 【点拨】连接BC，作弦AB和BC的垂直平分线，交点 即为圆心．如图所示，则圆心是(2，0)．
2．经过三角形各顶点的圆叫作这个三角形的外接圆，外接圆的圆心叫作这个 三角形的________，这个三角形叫作这个圆的内接三角形，三角形的外心 是三角形三边的________________的交点外．心
垂直平分线
1．确定一个圆的条件可以是( )
D
A．已知圆心 B．已知半径
C．过三个已知点 D．过一个三角形的三个顶点
︵ AC
∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ACE＝90°， ∴△ABD∽△AEC，∴AABE＝AADC， ∵AE 是⊙O 的直径，∴AE＝2R，∴A2RB＝AADC， 即 AB·AC＝2R·AD.
a－1
【点拨】∵a＋b2＋|c－6|＋28＝4 a－1＋10b， ∴(a－1－4 a－1＋4)＋(b2－10b＋25)＋|c－6|＝0， ∴( a－1－2)2＋(b－5)2＋|c－6|＝0， ∴ a－1－2＝0，b－5＝0，c－6＝0， 解得 a＝5，b＝5，c＝6.
∴AC＝BC＝5，AB＝6，如图，作CD⊥AB于点D，则CD经过圆心O，AD＝ 3，易求得CD＝4， 连接OA，设△ABC的外接圆的半径为r，则OC＝OA＝r， ∴OD＝4－r. 在Rt△AOD中，有AD2＋OD2＝OA2，即32＋(4－r)2＝r2，解得r＝ .
25 8
【答案】D
14．【中考·温州】如图，D是△ABC的BC边上一点，连接AD，作△ABD的外接圆 ，将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在圆上．
(1)求证：AE＝AB；
证明：由折叠的性质可知，△ADE≌△ADC， ∴∠AED＝∠ACD，AE＝AC. ∵∠ABD＝∠AED，∴∠ABD＝∠ACD， ∴AB＝AC，∴AE＝AB.
A．3π B．4π C．6π D．9π
【点拨】∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线， ∴BD＝CD，AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线． ∵F是AC的中点，EF⊥AC， ∴EF是AC的垂直平分线， ∴点O是△ABC外接圆的圆心． ∵OA＝3，∴△ABC外接圆的面积为π×32＝9π.
【答案】D
13．【中考·内江】已知△ABC的三边长a，b，c满足a＋b2＋|c－6|＋28＝4＋10b， 则△ABC的外接圆半径是____．
∠BAC＝30°，则⊙O的半径为( )
3
A
A． 3 B．2 3 C．2 D．2 2
8．【中考·镇江】如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝50°，则 ∠ACB＝________°. 40
【点拨】连接BD， ∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径， ∴∠ABD＝90°， ∴∠D＝90°－∠BAD＝90°－50°＝40°， ∴∠ACB＝∠D＝40°.
村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在( )
A．AB中点
B．BC中点
C．AC中点
D．∠C的平分线与AB的交点
A
6．【中考·河北】如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三
角形中，外心不是点O的是( )
A．△ABE
B．△ACF
B
C．△ABD
D．△ADE
7．【2021·怀化模拟】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC＝，
∴△ABD∽△AEC，∴AABE＝AADC， ∵AE 是⊙O 的直径，∴AE＝2R， ∴A2RB＝AADC，即 AB·AC＝2R·AD.
(2)若△ABC为钝角三角形(∠C为钝角)，(1)的结论还成立吗？请画图证明你的 结论．
解：成立． 证明：如图②所示， 连接AO并延长交⊙O于点E，连接CE， ∵∠B与∠E是 所对的圆周角，∴∠B＝∠E. ∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝90°，
(2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．
解：连接 CD. 由(1)得∠BAE＝∠CAD，∴B︵D＝C︵D，∴CD＝BD＝4. ∵∠BAC＝90°，∴BC 是直径． ∴∠BDC＝90°，∴BC＝ BD2＋CD2＝4 2， ∴△ABC 外接圆的半径＝12×4 2＝2 2.
10．【中考·牡丹江】如图，△ABC 内接于⊙O，若 sin∠BAC＝13， BC＝2 6，则△ABC 的外接圆半径为( )
4．下列命题正确的有( ) B ①过两点可以作无数个圆； ②经过三点一定可以作圆； ③任意一个三角形都有一个外接圆，而且只有一个外接圆； ④任意一个圆有且只有一个内接三角形． A．1个B．2个C．3个D．4个
5．【2021·柳州柳南区三模】如图，点A，B，C分别表示三个村庄，AB＝13千
米，BC＝5千米，AC＝12千米．某社区拟建一个文化活动中心．要求这三个
【点拨】如图，连接OA，OB，OD. ∵O是△ABC的外心，∴OA＝OB＝OC. ∵四边形OCDE是正方形， ∴OC＝OE≠OD.∴OA＝OB＝OE， ∴O是△AEB的外心， ∵OA＝OE≠OD，∴O不是△AED的外心．
【答案】B
12．【2021·杭州西湖区校级三模】如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平 分线，F是AC的中点，过点F作EF⊥AC交AB于点E，交AD于点O.若OA＝3， 则△ABC外接圆的面积为( )
1 (2)若∠CAB＝90°，cos∠ADB＝，BE＝2，求BC的长． 解：过 A 作 AH⊥BE 于点 H. 3 ∵AB＝AE，BE＝2，∴BH＝EH＝12BE＝1. ∵∠ABE＝∠AEB＝∠ADB， ∴cos ∠ABE＝cos ∠ADB＝13，∴BAHB＝13. ∴AC＝AB＝3BH＝3，
又∵∠CAB＝90°，∴由勾股定理得 BC＝3 2.
A．3 6
B．6 6
C．4 2
D．2 2
【点拨】如图，连接 OB，OC，作 OD⊥BC 于点 D.
∵OB＝OC，OD⊥BC， ∴CD＝12BC，∠COD＝12∠BOC. 又∵∠BOC＝2∠A，BC＝2 6，∴∠COD＝∠A，CD＝ 6. ∵sin∠BAC＝13，∴sin∠COD＝CODC＝13， ∴OC＝3CD＝3 6. 即△ABC 的外接圆半径为 3 6.