【金版学案】2021届高考数学总温习 基础知识名师讲义 第八章 第六节空间图形的垂直关系 文(1)

第六节空间图形的垂直关系
1.熟悉和明白得空间中线、面垂直的有关性质与判定定理.
2.能运用定理和已取得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.
知识梳理
一、空间图形的垂直关系
直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直．
二、直线与直线垂直
概念：两条直线所成的角为90°，那么称两直线垂直，包括两类：相交垂直与异面垂直．
三、直线与平面垂直
1．概念：若是一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和那个平面垂直．这条直线叫做平面的垂线，那个平面叫做直线的垂面．
2．直线与平面垂直的判定．
类别语言表述应用
判定(定义)如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么这条直
线和这个平面垂直
证直线和平面垂
直
(定理)如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直
线垂直于这个平面
证直线和平面垂
直
如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个
平面
证直线和平面垂
直
3.直线与平面垂直的性质.
类别语言表述图示字母表示应用
性质如果一条直线和一个平面垂
直，那么这条直线和这个平面
内的任何一条直线都垂直
}
a⊥αb⊂α⇒
a⊥b
证两条直线
垂直
如果两条直线同垂直于一个
平面，那么这两条直线平行
}
a⊥αb⊥α⇒
a∥b
证两条直线
平行
四、二面角
1．概念：从一条直线AB动身的两个半平面(α和β)所组成的图形叫做二面角．记作二面角αABβ，AB叫做二面角的棱，两个半平面(α和β)叫做二面角的面．
2．二面角的平面角：在二面角的棱AB上任取一点O，过O别离在二面角的两个面α，β内作与棱垂直的射线OM，ON，咱们把∠MON叫做二面角αABβ的平面角，用它来气宇二面角的大小．
平面角是直角的二面角叫做直二面角．
五、两个平面垂直的判定和性质
1．概念：两个平面相交，若是所成的二面角是直二面角，就说这两个平面相互垂直．
2．两个平面垂直的判定和性质．
类别语言表述图示字母表示应用
判定根据定义，证明
两平面所成的二
面角是直二面角
∠AOB是二面角
αaβ的平面角，
且∠AOB＝90°，
则α⊥β证两
个平
面垂直如果一个平面经
过另一个平面的
一条垂线，那么
这两个平面互相
垂直
a⊂α
a⊥β
⇒α⊥β
性质如果两个平面垂
直，那么它们所
成二面角的平面
角是直角
α⊥β，∠AOB是
二面角αaβ的平
面角，则∠AOB
＝90°
证两
条直
线垂直
如果两个平面垂
直，那么在一个
平面内垂直于它
们交线的直线垂
直于另一个平面
α⊥β
α∩β＝l
a⊂α
a⊥l
⇒a⊥β
证直
线和
平面
垂直
基础自测
1．已知直线m，n和平面α，β，假设α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，要使n⊥β，那么应增加的条件是( ) A．m∥n B．n⊥m
C．n∥αD．n⊥α
解析：已知直线m，n和平面α，β，假设α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，依照面面垂直的性质定理，应增加条件n⊥m，才能使得n⊥β.
答案：B
2．(2021·珠海二模)设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的选项是( )
A．假设l⊥α，α⊥β，那么l⊂β
B．假设l∥α，α∥β，那么l⊂β
C．假设l⊥α，α∥β，那么l⊥β
D．假设l∥α，α⊥β，那么l⊥β
解析：A选项中，还可能l∥β；B选项中，也可能l∥β；D中，也可能l∥β.应选C.
答案：C
3．如下图，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M知足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你以为是正确的条件即可)
解析：∵底面四边相等，∴BD⊥AC.
∵PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA.
∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.
∴BD⊥PC.
故当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，有PC⊥平面MBD，
从而有平面PCD⊥平面MBD.
4．设l，m，n为三条不同的直线，α为一个平面，以下命题中正确的选项是________．
①假设l⊥α，那么l与α相交；
②假设m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，那么l⊥α；
③假设l∥m，m∥n，l⊥α，那么n⊥α；
④假设l∥m，m⊥α，n⊥α，那么l∥n.
解析：由于直线与平面垂直是相交的特殊情形，故命题①正确；由于不能确信直线m，n是不是相交，不符合线面垂直的判定定理，命题②不正确；依照平行线的传递性，l∥n，故当l⊥α时，必然有n⊥α，命题③正确；m⊥α，n⊥α，那么m∥n，又l∥m，即l∥n，命题④正确．
答案：①③④
1．(2021·新课标全国卷Ⅱ)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l知足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，那么( )
A．α∥β且l∥α
B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l
D ．α与β相交，且交线平行于l
解析：显然α与β相交，不然由α∥β⇒m ∥n ，与m ，n 为异面矛盾，排除选项A ；当α与β相交时，设交线为l ′，由m ⊥平面α，n ⊥平面β知，l ′⊥m ，l ′⊥n ，而l ⊥m ，l ⊥n ，于是易知l ′∥l .应选D.
答案：D
2．(2021·广东卷)如图1，在边长为1的等边三角形ABC 中，D ，E 别离是AB ，AC 边上的点，AD ＝AE ，
F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点
G ，将△ABF 沿AF 折起，取得如图2所示的三棱锥A －BCF ，其中BC ＝
22
. (1)证明：DE //平面BCF ； (2)证明：CF ⊥平面ABF ；
(3)当AD ＝2
3时，求三棱锥F －DEG 的体积V F －DEG .
(1)证明：在等边三角形ABC 中，AD ＝AE .
∴
AD DB
＝
AE EC
，在折叠后的三棱锥ABCF 中也成立，
∴DE ∥BC ，∵DE ⊄平面BCF,
BC ⊂平面BCF ，∴DE ∥平面BCF .
(2)证明：在等边三角形ABC 中，F 是BC 的中点，因此AF ⊥BC ，①
BF ＝CF ＝1
2
.
∵在三棱锥A －BCF 中，BC ＝
2
2
，∴BC 2＝BF 2＋CF 2， ∴CF ⊥BF ，②
∵BF ∩CF ＝F ，∴CF ⊥平面ABF .
(3)解析：由(1)可知GE ∥CF ，结合(2)可得GE ⊥平面DFG .
∴V F －DEG ＝V E －DFG ＝13×12·DG ·FG ·GE ＝13×12×13×⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫13×32×13＝3324. 1．(2021·惠州一模)已知集合A 、B 、C ，A ＝{直线}，B ＝{平面}，C ＝A ∪B.假设a ∈A ，b ∈B ，c ∈C ，给出以下四个命题：
①⎩⎪⎨⎪⎧ a ∥b c ∥b ⇒a ∥c ，②⎩⎪⎨⎪⎧ a ⊥b c ⊥b ⇒a ∥c ，③⎩⎪⎨⎪⎧
a ∥b
c ⊥b
⇒a ⊥c ， ④⎩⎪⎨⎪⎧
a ⊥
b
c ∥b
⇒a ⊥c . 其中所有正确命题的序号是________．
解析：关于①，当c 表示平面时，依照a ∥b 且c ∥b ，不必然有a ∥c 成立，可能a ⊂c ，故①不正确； 关于②，以正方体过同一个极点的三条棱为a ，b ，c ，可得a ⊥b ，c ⊥b ，可是a ，c 是相交直线，故②不正确；
关于③，当c 表示平面时，由a ∥b 且c ⊥b 不能推出a ⊥c 成立，故③不正确； 关于④，用与③相同的方式，可证出a ⊥c 成立，故④正确． 综上，正确命题的序号为④. 答案：④
2．(2021·惠州二模)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，AA 1＝2，E 为棱CC 1的中点． (1) 求证：B 1D 1⊥AE ； (2) 求证：AC ∥平面B 1DE ； (3) 求三棱锥A －BDE 的体积． (1)证明：连接BD ，那么BD ∥B 1D 1， ∵ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD .
∵CE ⊥面ABCD ，∴CE ⊥BD . 又AC ∩CE ＝C ，∴BD ⊥面ACE . ∵AE ⊂平面ACE ，∴BD ⊥AE ， ∴B 1D 1⊥AE .
(2)证明：连接AF 、CF 、EF .
∵E 、F 是CC 1、BB 1的中点，∴CE 綊B 1F ， ∴四边形B 1FCE 是平行四边形，
∴CF ∥B 1E ，CF ⊄平面B 1DE ，B 1E ⊂平面B 1DE ， ∴CF ∥平面B 1DE ，
∵E ，F 是CC 1、BB 1的中点，∴EF 綊BC ， 又BC 綊AD ，∴EF 綊AD .
∴四边形ADEF 是平行四边形，∴AF ∥ED ， ∵AF ⊄平面B 1DE ，ED ⊂平面B 1DE ， ∴AF ∥平面B 1DE ，
∵AF ∩CF ＝F ，∴平面ACF ∥平面B 1DE . 又∵AC ⊂平面ACF ，∴AC ∥平面B 1DE .
(3)解析：三棱锥A －BDE 的体积，即为三棱锥E －ABD 的体积，∴V ＝13×12×AD ·AB ·EC ＝13×12×2×2×1＝2
3
.。