高一数学下学期期末考试试题含解析 25

第HY 学2021-2021学年高一数学下学期期末考试试题〔含解析〕
一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分. 在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.
1.集合A ＝｛x N ∈｜0≤x≤3｝，B ＝｛x ∈R ｜－2＜x ＜2｝那么A ∩B ( ) A. {0,1} B. {1}
C. [0,1]
D. [0,2)
【答案】A 【解析】 【分析】
可解出集合A ，然后进展交集的运算即可．
【详解】A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x∈R |﹣2＜x ＜2}； ∴A∩B＝{0，1}． 应选：A ．
【点睛】此题考察交集的运算，是根底题，注意A 中x N ∈.
110,1 ()=lg ,1
x x f x x x -⎧≤⎨>⎩，那么()()10f f =〔 〕
A. 9
B. 1
C.
110
D. 0
【答案】B 【解析】 【分析】
根据()f x 的解析式即可求出()10f ，进而求出()()10f
f 的值．
【详解】∵()110,1
lg ,1x x f x x x -⎧≤=⎨>⎩
，∴()10lg101f ==，
故()()()11
10110
1f
f f -===，应选B.
【点睛】此题主要考察分段函数的概念，以及函数求值的方法，属于根底题.
(3,2)M -且与直线290x y +-=平行的直线方程是〔 〕
A. 280x y -+=
B. 270x y -+=
C. 240x y ++=
D. 210x y +-=
【答案】D 【解析】 【分析】
先由题意设所求直线为：20x y m ++=，再由直线过点(3,2)M -，即可求出结果. 【详解】因为所求直线与直线290x y +-=平行，因此，可设所求直线为：20x y m ++=， 又所求直线过点(3,2)M -， 所以340-++=m ，解得1m =-， 所求直线方程为：210x y +-=. 应选：D
【点睛】此题主要考察求直线的方程，熟记直线方程的常见形式即可，属于根底题型.
22:2410C x y x y +-++=，那么与圆C 有一样的圆心，且经过点(2,2)-的圆的方程是〔 〕．
A. 22
(1)(2)5x y -++= B. 22
(1)(2)25x y -++= C. 2
2
(1)(2)5x y ++-= D. 2
2
(1)(2)25x y ++-=
【答案】B 【解析】
圆C 的HY 方程为2
2
(1)(2)4x y -++=，圆心(1,2)C -，故排除C 、D ，
代入(2,2)-点，只有B 项经过此点，也可以设出要求的圆的方程：2
2
2
(1)(2)x y r -++=，
再代入点()2,2-． 应选B ．
点睛：这个题目主要考察圆的HY 方程，因为这是一道选择题，故根据与条件中的圆的方程可以得到圆心坐标，进而可以排除几个选项，假如正规方法，就可以按照圆心，写出HY 方程，代入点求出HY 方程即可。

{}n a ，假设2
510,1a
a ==，那么{}n a 的前7项的和是〔 〕
A. 112
B. 51
C. 28
D. 18
【答案】C 【解析】
由等差数列的通项公式结合题意有：215
110
41a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，
求解关于首项、公差的方程组可得：113
3
a d =⎧⎨=-⎩，
那么数列的前7项和为：()7176
7713213282
S a d ⨯=+=⨯+⨯-=. 此题选择C 选项.
6.0.20.3
2log 0.2,2,0.2a b c ===，那么
A. a b c <<
B. a c b <<
C. c a b <<
D.
b c a <<
【答案】B 【解析】 【分析】
运用中间量0比拟,a c ，运用中间量1比拟,b c 【详解】
22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=那么
01,c a c b <<<<．应选B ．
【点睛】此题考察指数和对数大小的比拟，浸透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．
()cos f x x x =-的图象向左平移
56π
个单位得到函数()y g x =的图象，那么7(
)12
g π的值是〔 〕 A .
C.
【答案】A 【解析】
(
)cos 2sin()6
f x x x x π
=-=-，向左平移56
π个单位得到函数
()y g x ==22sin()3x π+
，故7722sin()12123g πππ⎛⎫
=+= ⎪
⎝⎭
8.圆锥的高为3
，假设该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，那么这个球的体积等于〔 〕
A. 83
π B.
323
π C. 16π D. 32π
【答案】B 【解析】
如图：
设球心到底面圆心的间隔 为x ，那么球的半径为3x -，由勾股定理得()2
233x x +=- 解得1x =，故半径2r =，343233
V r ππ==球 应选B
a ，
b ，
c 为ABC 的内角所对的边，假设()()3a b c b c a bc +++-=，且3a =那么ABC
外接圆的半径为( ) A. 1 2
C. 2
D. 4
【答案】A 【解析】 【分析】
由()()3a b c b c a bc +++-= 得b 2
+c 2
-a 2
=bc ．利用余弦定理，可得A=
3
π
．再利用正弦定理可得 2R=
a
sin A
，可得R. 【详解】∵()()3a b c b c a bc +++-= ,∴()2
23b c a bc +-=, 整理得b 2+c 2-a 2=bc ，
根据余弦定理cosA=222
2b c a bc
+- ，可得cosA=12
∵A∈〔0，π〕，∴A=
3
π
由正弦定理可得2R=a sin A
32
3= ,解得R=1，应选：A
【点睛】三边关系，可转化为接近余弦定理的形式，直接运用余弦定理理解三角形，注意整体代入思想.
4()2
x x
a
f x +=是奇函数，假设(21)(2)0f m f m -+-≥，那么m 的取值范围是〔 〕 A. 1m B. 1m <
C. m 1≥
D. 1m
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意首先求得m 的值，然后结合函数的性质求解不等式即可. 【详解】函数为奇函数，那么()()0f x f x +-=恒成立，
即44022x x x x a a --+++=恒成立，整理可得：414022
x x x x
a a ++⋅+=， 据此可得：4140x x a a +++⋅=，即()
()4110x
a ++=恒成立，
据此可得：1a =-.函数的解析式为：()41222
x x x x
f x -+==+， ()()
'2ln 22ln 2ln 2222ln 20x x x x f x --=⋅-⋅=⨯+≥>，
当且仅当221x x -==时等号成立，故奇函数()f x 是定义域内的单调递增函数， 不等式()()2120f m f m -+-≥即()()212f m f m -≥--，
据此有：()()212f m f m -≥-，由函数的单调性可得：212m m -≥-， 求解不等式可得m 的取值范围是1m ≥. 此题选择C 选项.
【点睛】对于求值或者范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f 〞，转化为解不等式(组)的问题，假设f (x )为偶函数，那么f (－
x )＝f (x )＝f (|x |)．
220ax bx ++>的解集为{12}x x -<<，那么不等式220x bx a ++>的解集为〔 〕
A. {1x <-或者1}2x >
B. 1{1}2
x x -<< C. {21}x x -<< D. {2
x <-或者1}x >
【答案】A 【解析】
不等式220ax bx ++>的解集为{}|12x x -<<, 220ax bx ∴++=的两根为1-，2，且0a <， 即()2
12,12b a a
-+=-
-⨯=,解得1,1,a b =-= 那么不等式可化为2210x x +-> 解得112x x ⎧
⎫-⎨⎬⎩⎭
或 应选A
12.数列{a n }为等差数列，1(*)n a n N ≠∈,12019a a +=1，假设2()1
x
f x x =
-，那么122019()()()f a f a f a ⨯⨯⨯＝( )
A. 2
2021
B. 2
2021
C. 2
2021
D. 2
2021
【答案】A 【解析】 【分析】
根据等差数列的性质和函数的性质即可求出. 【详解】由题知()()()212141x x f x f x x x
-⨯-=
⨯=-- ∵数列{a n }为等差数列，a n ≠1〔n∈N *〕，a 1+a 2021＝1， ∴a 1+a 2021＝a 2+a 2021＝a 3+a 2021＝…＝a 1009+a 10112=a 1010=1, ∴a 10101
2
=
∴f〔a 1〕×f〔a 2〕×…×f〔a 2021〕＝41009
×〔﹣2〕＝﹣2
2021
．
应选：A ．
【点睛】此题考察了等差数列的性质和函数的性质，考察了运算才能和转化才能，属于中档题，注意：假设{a n }为等差数列，且m+n=p+q,那么a m n p q a a a +=+ ，性质的应用. 二、填空题〔此题一共4道小题，每一小题5分，一共20分〕
(1,2),(2,)==-a b t ，且//a b ，那么||a b +=_______．
【解析】 【分析】
先由向量一共线，求出t ，再由向量模的坐标表示，即可得出结果. 【详解】因为(1,2),(2,)==-a b t ，且//a b ， 所以2(2)0-⨯-=t ，解得4t =-，
所以(1,2)+=--a b ，因此2||(1)+=-=a b
【点睛】此题主要考察求向量的模，熟记向量一共线的坐标表示，以及向量模的坐标表示即可，属于根底题型.
3
cos()45
πα-=，那么sin 2α=_________________
【答案】7
25
-
【解析】
分析：由二倍角公式求得cos(2)2
π
α-，再由诱导公式得结论．
详解：由2237
cos(
2)2cos ()12()124525π
παα-=--=⨯-=-， ∴7
sin 2cos(2)225παα=-=-．
故答案为7
25
-．
点睛：三角函数恒等变形中，公式很多，如诱导公式、同角关系，两角和与差的正弦〔余弦、正切〕公式、二倍角公式，先选用哪个公式后选用哪个公式在解题中尤其重要，但其中最重要的是“角〞的变换，要分析出角与未知角之间的关系，通过这个关系都能选用恰当的公式．
{}n a 的前n 项和为n S ，假设2163S =，那么71115a a a ++=_______．
【答案】9 【解析】 【分析】
先由题意，得到21112163S a ==，求出113a =，再由等差数列的性质，即可得出结果.
【详解】因为等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，假设2163S =， 那么21112163S a ==，所以113a =， 因此711151139++==a a a a . 故答案为：9
【点睛】此题主要考察等差数列的性质的应用，熟记等差数列的求和公式，以及等差数列的性质即可，属于常考题型.
16.【普通高中2021届高三质量监测〔三〕】腰长为2的等腰直角△ABC 中，M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，假设2PC =，那么()()4PA PB PC PM ⋅+⋅的最小值
________．
【答案】48322- 【解析】
如图建立平面直角坐标系，()((P 2cos θ2sin θA 22B 22M 02-，
，，，，，，
∴(
)()(
(4
2cos θ2θ2
2cos θ2θ24PA PB PC PM ⎡⎤⋅+⋅=++
+⎣⎦
，，
()(2
2cos θ2sin θ2cos θ2sin θ216sin θ322sin θ32⎡⎤=++⎣
⎦
，，，
当sin θ1=-时，得到最小值为48322-48322-
三、解答题：本大题一一共6小题,17题满分是为10分，其余小题满分是为12分，一共80分．解容许写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤． 17.αβ，为锐角，45
sin ,cos()55
ααβ=+=-
. 〔1〕求cos2α的值； 〔2〕求sin β的值．
【答案】〔1〕725
-；〔2〕25
5.
【解析】 【分析】
〔1〕由二倍角公式，结合题意，可直接求出结果；
〔2〕先由题意求出2
43cos 155α⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，2
525sin()155αβ⎛⎫+=--= ⎪ ⎪⎝⎭
， 根据()sin sin βαβα=+-⎡⎤⎣⎦，由两角差的正弦公式，即可求出结果. 【详解】〔1〕因为4sin 5
α
，所以2
327cos 212sin 12525αα=-=-=-； 〔2〕因为αβ，为锐角，所以0αβ<+<π，02
πα<<
，
又45sin ,cos()55ααβ=+=-，所以2
43cos 155α⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
，
2
525
sin()155αβ⎛⎫+=--= ⎪ ⎪⎝⎭
， 所以()()()sin sin sin cos cos sin β
αβααβααβα=+-=+-+⎡⎤⎣⎦
253542555555
=
⨯+⨯=
. 【点睛】此题主要考察三角恒等变换给值求值的问题，熟记二倍角公式，以及两角差的正弦公式即可，属于常考题型.
18.如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．
2
BAC π
∠=
，2AB =，23AC =，2PA =.求：
(1)三棱锥P ­-ABC 的体积；
(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．
【答案】(1)
43
3
. (2)
34
. 【解析】
分析：(1)由题意结合三棱锥的体积公式可得三棱锥的体积为
43
3
； (2)取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，那么∠ADE (或者其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角．结合余弦定理计算可得异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34
. 详解：
(1)S △ABC ＝×2×2
＝2
，三棱锥P ­ABC 的体积为V ＝S △ABC ·PA ＝×2
×2＝
.
(2)取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，那么ED ∥BC ，
所以∠ADE (或者其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝
，AD ＝2，
cos ∠ADE ＝＝.
故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为.
点睛：此题主要考察三棱锥的体积公式，异面直线所成的角等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.
ABC ∆中，三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足(2)cos cos 0c a B b C -+=.
〔1〕 求角B 的大小；
〔2〕 假设12,7BA BC b ⋅==a ，c 的值.〔其中a c <〕 【答案】〔1〕3
π
；〔2〕4，6 【解析】 【分析】
〔1〕等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，求出cos B 的值，即可确定出B 的度数；
〔2〕根据平面向量数量积的运算法那么计算得到一个等式cos 12ac B =，记作①，把B 的度数代入求出ac 的值,记作②,然后利用余弦定理表示出2b ，
把,b ac 及cos B 的值代入求出22a c +的值，利用完全平方公式表示出()2a c +，把相应的值代入，开方求出a c +的值,由②③可知a 与c 为一个一元二次方程的两个解,求出方程的解,根据c 大于a ，可得出a ，c 的值.
【详解】〔1〕等式()2cos cos 0c a B b C -+=，
利用正弦定理化简得
()sin 2sin cos sin cos 0C A B B C -+=， 整理得sin cos sin cos 2sin cos C B B C A B +=，
即()sin
sin 2sin cos B C A A B +==， 1sin 0,cos 2A B ≠∴=
， 那么3B π
=.
〔2〕由12BA BC ⋅=，得cos 12ac B =， ①
又由〔1〕60,24B ac =∴= ，②
由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，
将b =2252a c +=，
()2
22252224100a c a c ac ∴+=++=+⨯=， 10a c ∴+=，③
由②③可知a 与c 为一个一元二次方程210240t t -+=的两个根，
解此方程，并由c 大于a ，可得4,6a c ==.
【点睛】以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进展考察是近几年高考考察的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要纯熟掌握并灵敏应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.
()cos sin()34
f x x x π=-+()x R ∈. 〔1〕求()f x 的最小正周期及单调递增区间；
〔2〕求()f x 在区间[,]44
ππ-上的最大值和最小值．
【答案】〔1〕T π=；单调递增区间为：5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦
；〔2〕最大值14；最小值12
-. 【解析】
【分析】
〔1〕先将函数化简整理，得到1()sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭，由22π=T 得到最小正周期；根据正弦函数的对称轴，即可列式，求出对称轴；
〔2〕先由,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得到52,366x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，根据正弦函数的性质，即可得出结果.
【详解】〔1〕因为21()cos sin()sin cos 32π
=-=-f x x x x x x
2111sin 22cos )sin 22sin 24342π⎛⎫=+-==- ⎪⎝⎭
x x x x x ， 所以最小正周期为：22T ππ=
=； 由222,232k x k k Z π
π
π
ππ-+≤-≤+∈得5,1212
k x k k Z π
πππ-+≤≤+∈， 即单调递增区间是：5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦
； 〔2〕因为,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以52,366x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣
⎦， 因此1sin 21,32x π⎛⎫⎡⎤-
∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 当232x ππ-
=-即12x π=-时，取最小值12-； 当236x ππ-=即4x π
=时，取最大值
14； 【点睛】此题主要考察正弦型三角函数的周期、对称轴，以及给定区间的最值问题，熟记正弦函数的性质，以及辅助角公式即可，属于常考题型.
{}n a 的公比12321,14,1q a a a a >++=+是13,a a 的等差中项，数列{}n n a b 的前n 项和为2n S n n =+.
〔1〕求数列{}n a 的通项公式；
〔2〕求数列{}n b 的前n 项和n T ．
【答案】〔1〕2n n a =，*n N ∈；〔2〕1
242n n n T -+=-. 【解析】
【分析】
〔1〕先由题意，列出方程组，求出首项与公比，即可得出通项公式；
〔2〕根据题意，求出2⋅=n n a b n ，再由〔1〕的结果，得到1
222-=
=n n n n b n ，利用错位相减法，即可求出结果.
【详解】〔1〕因为等比数列{}n a 的公比1q >，12314++=a a a ，21a +是13,a a 的等差中项， 所以12321314221a a a a a a q ++=⎧⎪+=+⎨⎪>⎩，即2111211114221a a q a q a q a a q q ⎧++=⎪+=+⎨⎪>⎩
，解得122a q =⎧⎨=⎩， 因此2n n a =，*n N ∈；
〔2〕因为数列{}n n a b 的前n 项和为2n S n n =+，
所以()
221(1)(1)2-⎡⎤⋅=-=+--+-=⎣⎦n n n n a b S S n n n n n ，〔2n ≥〕 又当1112==a b S 也满足上式，所以2⋅=n n a b n ，*n N ∈；
由〔1〕，1
222-==n n n n b n ； 所以其前n 项和21231...222-=+
+++n n n T ① 因此231123 (22222)
=++++n n n T ② ①式减去②式可得：2311
111111221...212222222212--
+=++++-=-=--n n n n n n
n n n T ， 因此1
242n n n T -+=-.
【点睛】此题主要考察等差数列与等比数列的综合应用，以及错位相减法求数列的和，熟记等差数列与等比数列的通项公式以及求和公式即可，属于常考题型.
22.如下图，经过村庄A 有两条夹角为60的公路,AB AC ，根据规划要在两条公路之间的区域内修建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库,M N 〔异于村庄A 〕，要求
2PM PN MN ===〔单位：千米〕，记AMN θ∠=.
〔1〕将,AN AM 用含θ的关系式表示出来；
〔2〕如何设计〔即,AN AM 为多长时〕，使得工厂产生的噪声对居民影响最小〔即工厂与村庄的间隔 AP 最大〕？
【答案】〔1〕43θ=
AN ，()43120θ︒-AM ；〔2〕2==AN AM . 【解析】
【分析】
〔1〕根据正弦定理，得到()sin 60sin sin 120θθ︒︒==-MN AN AM ，进而可求出结果； 〔2〕由余弦定理，得到2222cos =+-⋅⋅∠AP AM MP AM MP AMP ，结合题中数据，得到()22016sin 215033
θ︒=-+AP ， 2AP 取最大值时，噪声对居民影响最小，即可得出结果. 【详解】〔1〕因为AMN θ∠=，在AMN ∆中，由正弦定理可得：()
sin 60sin sin 120θθ︒︒==-MN AN AM ， 所以43θ=AN ，()43120θ︒-AM ； 〔2〕由题意60θ︒∠=+AMP ，由余弦定理可得：
()()()2222161632cos sin 1204120cos 603θθθ︒︒=+-⋅⋅∠=
-+-+AP AM MP AM MP AMP ()()()()()216163883sin 60460cos 601cos 21204212033θθθθθ︒︒︒︒⎡⎤=++++=-+++⎣⎦()()()82020163sin 2120cos 2120sin 21503333
θθθ︒︒︒⎡⎤=-++++=-+⎣⎦， 又由〔1〕可得0120θ︒︒<<，所以()2150150,390θ︒︒︒+∈，
当且仅当2150270θ︒︒+=，即60θ︒=时，2AP 获得最大值，工厂产生的噪声对居民影响最小，此时2==AN AM .
【点睛】此题主要考察正弦定理与余弦定理的应用，熟记正弦定理与余弦定理即可，属于常考题型.
励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

厚积薄发，一鸣惊人。

关于努力学习的语录。

自古以来就有许多文人留下如头悬梁锥刺股的经典的，而近代又有哪些经典的高中励志赠言出现呢?小编筛选了高中励志赠言句经典语录，看看是否有些帮助吧。

好男儿踌躇满志，你将如愿;真巾帼灿烂扬眉，我要成功。

含泪播种的人一定能含笑收获。

贵在坚持、难在坚持、成在坚持。

功崇惟志，业广为勤。

耕耘今天，收获明天。

成功，要靠辛勤与汗水，也要靠技巧与方法。

常说口里顺，常做手不笨。

不要自卑，你不比别人笨。

不要自满，别人不比你笨。

高三某班，青春无限，超越梦想，勇于争先。

敢闯敢拼，**协力，争创佳绩。

丰富学校体育内涵，共建时代校园文化。

奋勇冲击，永争第一。

奋斗冲刺，誓要蟾宫折桂;全心拼搏，定能金榜题名。

放心去飞，勇敢去追，追一切我们为完成的梦。

翻手为云，覆手为雨。

二人同心，其利断金。

短暂辛苦，终身幸福。

东隅已逝，桑榆非晚。

登高山，以知天之高;临深溪，以明地之厚。

大智若愚，大巧若拙。

聪明出于勤奋，天才在于积累。

把握机遇，心想事成。

奥运精神，永驻我心。

“想”要壮志凌云，“干”要脚踏实地。

**燃烧希望，励志赢来成功。

楚汉名城，喜迎城运盛会，三湘四水，欢聚体坛精英。

乘风破浪会有时，直挂云帆济沧海。

不学习，如何养活你的众多女人。

不为失败找理由，要为成功想办法。

不勤于始，将悔于终。

不苦不累，高三无味;不拼不搏，高三白活。

不经三思不求教不动笔墨不读书，人生难得几回搏，此时不搏，何时搏。

不敢高声语，恐惊读书人。

不耻下问，学以致用，锲而不舍，孜孜不倦。

博学强识，时不我待，黑发勤学，自首不悔。

播下希望，充满**，勇往直前，永不言败。

保定宗旨，砥砺德行，远见卓识，创造辉煌。

百尺高梧，撑得起一轮月色;数椽矮屋，锁不住五夜书声。