《直角三角形的性质》 学习任务单

《直角三角形的性质》学习任务单
一、学习目标
1、理解并掌握直角三角形的定义和基本元素。

2、熟练掌握直角三角形的两个锐角互余的性质。

3、掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质。

4、能够运用勾股定理解决直角三角形边长的计算问题。

5、理解直角三角形中 30°角所对的直角边等于斜边的一半这一特殊性质。

二、学习重点
1、勾股定理及其应用。

2、直角三角形斜边中线的性质。

3、直角三角形中特殊角度（30°、60°）所对边的关系。

三、学习难点
1、勾股定理的灵活运用，尤其是在复杂图形中的应用。

2、理解和证明直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质。

四、知识讲解
（一）直角三角形的定义
有一个角为直角的三角形叫做直角三角形。

直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角所对的边称为斜边，其余两条边称为直角边。

（二）直角三角形的性质
1、两个锐角互余
因为三角形的内角和为 180°，直角为 90°，所以另外两个锐角的和为 90°。

例如，在直角三角形 ABC 中，∠C ＝ 90°，则∠A ＋∠B ＝ 90°。

2、勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

如果直角三角形的两条直角边分别为 a、b，斜边为 c，那么 a²＋ b²＝ c²。

比如，一个直角三角形的两条直角边分别为 3 和 4，那么斜边 c 的长度为：
＼
＼begin{align}
c&＝＼sqrt{3^2 ＋ 4^2}＼＼
＆＝＼sqrt{9 ＋ 16}＼＼
＆＝＼sqrt{25}＼＼
＆＝5
＼end{align}
＼
3、斜边中线等于斜边的一半
在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半。

如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB ＝ 90°，D 是斜边 AB 的中点，则
CD ＝ 1/2 AB。

证明：延长 CD 到 E，使 DE ＝ CD，连接 AE、BE。

因为 AD ＝ BD，CD ＝ DE，所以四边形 ACBE 是平行四边形。

又因为∠ACB ＝ 90°，所以平行四边形 ACBE 是矩形，所以 AB ＝CE，又因为 CD ＝ 1/2 CE，所以 CD ＝ 1/2 AB。

4、 30°角所对的直角边等于斜边的一半
在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等
于斜边的一半。

例如，在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，∠A ＝ 30°，则 BC ＝ 1/2 AB。

证明：延长 BC 到 D，使 CD ＝ BC，连接 AD。

因为∠ACB ＝ 90°，所以∠ACD ＝ 90°，又因为 AC ＝ AC，BC ＝CD，所以△ABC ≌△ADC（SAS），所以 AB ＝ AD，又因为∠B ＝60°，所以△ABD 是等边三角形，所以 AB ＝ BD，又因为 BC ＝ 1/2 BD，所以 BC ＝ 1/2 AB。

（三）直角三角形性质的应用
1、已知直角三角形的两条边，求第三条边。

例如，已知直角三角形的两条直角边分别为6 和8，求斜边的长度。

根据勾股定理，斜边的长度为：
＼
＼begin{align}
c&＝＼sqrt{6^2 ＋ 8^2}＼＼
＆＝＼sqrt{36 ＋ 64}＼＼
＆＝＼sqrt{100}＼＼
＆＝10
＼end{align}
＼
2、证明线段之间的关系
例如，已知在△ABC 中，∠B ＝ 90°，D 是斜边 AC 的中点，证明BD ＝ 1/2 AC。

因为∠B ＝ 90°，所以△ABC 是直角三角形，又因为 D 是斜边 AC
的中点，所以根据直角三角形斜边中线的性质，BD ＝ 1/2 AC。

3、求角度
例如，在直角三角形中，已知一个锐角是另一个锐角的 2 倍，求这
两个锐角的度数。

设较小的锐角为 x，则较大的锐角为 2x，因为两个锐角互余，所以
x ＋ 2x ＝ 90°，解得 x ＝ 30°，2x ＝ 60°。

五、例题讲解
例 1：在直角三角形 ABC 中，∠C ＝ 90°，a ＝ 3，b ＝ 4，求 c 的
长度。

解：根据勾股定理，c²＝ a²＋ b²＝ 3²＋ 4²＝ 9 ＋ 16 ＝ 25，所以
c ＝ 5。

例 2：在直角三角形 ABC 中，∠C ＝ 90°，∠A ＝ 30°，AB ＝ 10，求 BC 的长度。

解：因为∠A ＝ 30°，所以 BC ＝ 1/2 AB ＝ 1/2 × 10 ＝ 5。

例 3：已知在△ABC 中，∠B ＝ 90°，D 是斜边 AC 的中点，若 AC ＝ 10，求 BD 的长度。

解：因为∠B ＝ 90°，D 是斜边 AC 的中点，所以 BD ＝ 1/2 AC ＝
1/2 × 10 ＝ 5。

六、练习巩固
1、在直角三角形中，若两直角边分别为 5 和 12，求斜边的长度。

2、已知直角三角形的斜边为 13，一条直角边为 5，求另一条直角
边的长度。

3、在直角三角形中，若一个锐角为 45°，求另一个锐角的度数。

4、若直角三角形的斜边中线为 6，求斜边的长度。

5、已知在直角三角形中，30°角所对的直角边为3，求斜边的长度。

七、拓展提升
1、在△ABC 中，∠A ＝ 90°，AD⊥BC 于 D，若 AB ＝ 3，AC ＝4，求 AD 的长度。

2、如图，在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，D、E 分别是 AB、AC 的
中点，若 BC ＝ 8，DE ＝ 5，求 AB 的长度。

八、学习反思
通过本次学习，对直角三角形的性质有了更深入的理解。

在应用勾
股定理和斜边中线性质等解决问题时，要注意仔细分析题目条件，选
择合适的方法。

对于一些较复杂的问题，需要灵活运用多个性质进行
综合推理。

同时，在练习中发现自己在计算方面还需要更加细心，避
免出错。

希望通过不断的学习和练习，能够更加熟练地掌握直角三角形的相
关知识，提高解决问题的能力。