最新-甘肃省武威六中高中数学论文《妙构函数巧用单调

妙构函数巧用单调性解题举例
关键词：妙构函数，巧用单调性，证题，求最值，求范围
有些数学习题，所给的并不是函数，如果按常规来做，有一定的难度，而且过程复杂，这时分析所给题的特点，若能换个角度, 构造一个函数，可能会起到事半功倍之功效，不仅能使学生感受到数学的美妙以及构造法的神奇，而且更能激发起学生探索的意识和创新欲望，突破思维的常规，使思路更简捷、明快。

下面就妙构函数f(х)=ⅹ＋χ
a (a>0)的形式，巧用f(х)在(0,a ]上为减函数，在[a ,＋∞)为增函数这一单调性在证明、求最值、求范围等问题的应用，举例供大家参考。

一、构造函数巧证题
例1.已知a∈R ＋，求证a ＋a 4＋a a 41+≥
47 证明：设ⅹ=a＋a 4则构造函数f(ⅹ)=ⅹ＋χ
1 ∵a∈R ＋ ∴ⅹ=a＋a 4≥4 即ⅹ∈[4,＋∞) 又∵f(ⅹ)在[1,＋∞)上为增函数。

∴f(ⅹ)在[4,＋∞）上仍为增函数。

∴当ⅹ=4时,f(х)有最小值 即f(ⅹ)min =4＋
41=417 ∴х∈[4,＋∞)时 f(ⅹ)≥4
17 故a∈R ＋时 a ＋a 4＋a 4a 1+≥47 例2.设a 、b 为正数，求证1a +>b ①成立的充要条件是：对于任意实数ⅹ>1，恒有
aⅹ＋1
－χχ>b;② 分析：只要证不等式②对任意的ⅹ>1恒成立的充要条件是不等式①成立。

证明：设f(ⅹ)=aⅹ+1
－χχ(ⅹ>1)，即构造了一个函数f(ⅹ) ∵ⅹ>1 ∴х-1>0 又a>0
∴f(х)=a ⅹ＋1－χχ=a х＋1＋11－χ=a(ⅹ-1)＋1
1－χ＋a ＋1≥2+a a ＋1=(a +1)2 ∴f(х)min =(a +1)2
∵对任意х>1有a х+
1－χχ>b 成立的充要条件是f(ⅹ)min >b ∴(a +1)2>b 又∵b>0 ∴a +1>b
故①成立的充要条件是②
由以上两例可知，利用不等式不便解决或者无法解决的问题，一般回到函数方法来解决，效果比较好。

二、构造函数巧求最值
例3.已知х≥0，求χ＋31
＋χ＋3的最小值 解：设χ＋3＝t,则构造函数f(t)=t+t 1
∵х≥0,∴t≥3即t ∈[3,＋∞)
∵f(t)在[1,＋∞)上仍为增函数
∴f(t)在[3,＋∞)上为增函数
∴当t=3时,f(t)min =
310 故х=0时 χ＋31
＋χ＋3的最小值是3
10 例4.在△ABC 中，D 是BC 边上一点，AD⊥BC，垂足为D ，且AD ＝BC ＝a ，求
b c c b +的最大
值。

解：设c b ＝ⅹ，则构造函数f(ⅹ)=ⅹ＋χ
1 当D 与C 重合时，即AC 与AD 重合。

∴a=b
∴C=b 2 ∴22c b = 即ⅹ＝2
2 当D 与B 重合时，即AB 与AD 重合 ∴a=c ∴b=c 2 ∴
2c b =即ⅹ＝2 由题意可知
22≤ⅹ≤2 ∵f(ⅹ)＝ⅹ＋
χ1在（0,1］上为减函数，在［1，＋∞）为增函数 ∴当ⅹ∈［,12
2］时，f(ⅹ)为减函数 只有ⅹ＝2
2时，f(ⅹ)max =223222＝＋ 当ⅹ∈［1，2］时，f(ⅹ)为增函数 只有ⅹ＝2时，f(ⅹ)max =223222＝＋
∴b c c b +的最大值为2
23 通过上两例，可以明显看出，如果直接应用均值不等式求最值时，则不满足条件。

如若注意到所求的是ⅹ＋
χa （a>0）的形式的最值，从而妙构函数f(ⅹ)＝ⅹ＋χa （a>0）进而联想函数y=x+)0(>a x
a 的单调性,就可以是问题迎刃而解。

三、构造函数巧求范围
例5.已知f(ⅹ)=log a (ⅹ+1),点P 是函数y=f(ⅹ)图象上的任意点，点P 关于原点的对称点Q 的轨迹是函数y=g(ⅹ)，当a>1且ⅹ∈[0,1）时总有2f(ⅹ)+g(ⅹ)≥m 恒成立。

解：由题意可知，函数y=f(ⅹ)的图象与函数y=g(ⅹ)的图象关于原点对称
∵y=f(ⅹ)关于原点对称的函数为－y=f(－ⅹ)
∴y=－f(－ⅹ)＝－log a (1－ⅹ)
即g(ⅹ)＝－log a (1－ⅹ)
由2f(ⅹ)+g(ⅹ)≥m 得 m ≤log a χχ－）
＋（112对a>1且ⅹ∈[0,1)恒成立
设F （ⅹ）＝log a χχ－）
＋（112则m ≤F(ⅹ)min ∵4141141411122－－＋－＝－）＋－（－）－（＝－）＋（χ
χχχχχχ 设t=1-ⅹ,则构造函数H(t)=t+t
4-4 ∵ⅹ∈［0,1），即0≤ⅹ<1 ∴0<1－ⅹ≤1 即t ∈(0,1]
又∵H （t ）在（0,2］上为减函数，又t ∈(0,1]
∴当t=1时 H(t)min =1
∵a>1 ∴F(ⅹ)min =0, 即m ≤0
故m 的取值范围是m ≤0
此例的解法体现了等价转化的数学思想，两次转化最终化为函数f(ⅹ)＝ⅹ＋
χa （a>0）的形式，再利用它的单调性就实现了化难为易从而解决问题的目的。

综上所述，优美、自然的构造法常常是建立在学生已有的知识基础之上的，它生成于认知结构的最顶端，确实给学生的创新思维提供有益的培养和训练空间，也能引导学生在平凡、简洁的数学问题思考中，构筑完整的知识网络，发展学生的创新能力。