24.1.2垂径定理及推论教学设计

24.1.2 垂径定理及其推论教学设计
【教材分析】
本节是《圆》这一章的重要内容，也是本章的基础。

它揭示了垂直于弦的直径和这条弦
及这条弦所对的弧之间的内在关系，是圆的轴对称性的具体化；也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据；同时也为进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据；
由垂径定理的得出，使学生的认识从感性到理性，从具体到抽象，有助于培养学生思维的严谨
性。

同时，通过本节课的教学，对学生渗透类比、转化、数形结合、方程、建模等数学思
想和方法，培养学生实验、观察、猜想、抽象、概括、推理等逻辑思维能力和识图能力。

所
以它在教材中处于非常重要的位置。

【教学目标】
根据新课程标准的要求，课改应体现学生身心发展特点；应有利于引导学生主动探索和发
现；有利于进行创造性的教学。

因此，我把本节课的教学目标确定为以下三个方面：知识目标：
使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。

培养学生观察能力、分析能力及联想能力。

方法与过程目标：
经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及推论的过程，锻炼学生的思维品质，学习证明的方法。

情感态度与价值观目标:
在学生通过观察、操作、变换和研究的过程中进一步培养学生的思维能力，创新意识和良好
的运用数学的习惯和意识。

【重点与难点】
重点：垂径定理及其推论的发现、记忆与证明。

难点：对垂径定理及其推论的探索和证明，并能应用垂径定理及推论进行简单计算或证明。

【学生分析】
九年级学生已了解圆的有关概念；但根据皮亚杰的认知发展理论：这个阶段的学生思维正处
于具体思维向抽象思维发展、逻辑思维向形式思维发展、内部心理上逐步朝着自我反省的思维发展。

虽然他们具有一定的数学活动经验、生活经验和操作技能，会进行简单的说理，但他们的逻辑思维能力和抽象思维能力还比较薄弱。

对如何从实际问题中抽象出数学问题，建立数学模型的能力较差。

【教学方法】
鉴于教材特点及九年级学生的知识基础，根据教学目标和学生的认知水平，让学生在课堂上
多活动、多观察、多合作、多交流，主动参与到整个教学活动中来，组织学生参与“实
验--- 观察 ---猜想 ---证明”的活动，最后得出定理，这符合新课程理念下的“要把学生学习知识
当作认识事物的过程来进行教学” 的观点，也符合教师的主导作用与学生的主体地位相统
一的原则。

同时，在教学中，我充分利用教具和课件，提高教学效果，在实验、演示、操作、观察、练习等师生的共同活动中启发学生，让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生
直觉思维能力，这符合新课程理念下的直观性与可接受性原则。

【设计理念】
在教学设计和课堂教学中应充分了解学生，研究学生，我们不仅要备教材，而且还要备学生。

要真正树立以学生的发展为本的教学理念。

只有这样，才能为学生提供充分的教学活动和交
流的机会，使学生从单纯的的知识接受者变为数学学习的主人。

【教师准备】
《问题导读 --- 评价单》、《问题生成 --- 评价单》、《问题训练 --- 评价单》
【教学过程的设计】
问题情境
创设情境，导入新课
1.将你手中的圆沿圆心对折，你会
发现圆是一个什么图形？
2.将手中的圆沿直径向上折，你会
发现折痕是圆的一条弦，这条弦
被直径怎样了？
3.一个残缺的圆形物件，你能找到
它的圆心吗？
4.赵州桥是我国古代桥梁史的骄
傲，我们能求出主桥拱的半径吗？师生活动
上课之前先检查学生对《问题导
读评价单》的完成情况
将学生分组，然后由小组长发放
《问题生成评价单》，然后小组
根据评价单中的问题进行讨论，交
流。

然后由组长进行汇总，选出
小组代表进行发言
我们一起来完成这个结论的证
明
教师出示问题，前两个问题可
以由学生动手操作，并观察结果，
得到初步结论。

后两个问题作为问题情境，激发
学生学习兴趣，引导学生进一步
的学习。

设计意图
教师循序渐进地将
一个个的问题抛出，
引导学生一步步地进
行思考和总结，调动
学生的学习积极性，
培养学生的学习习惯。

合作交流，探究新知
1.圆的对称性
（探究）圆是轴对称图形吗？它有几
条对称轴？分别是什么？圆的对称性由学生发现并总结，2. 垂径定理
教师进行板书。

（思考）如图：
C
AB 是⊙ O 的一条
弦，作直径 CD ，
O
教师出示问题
使 CD⊥ AB，垂足 E。

E 学生小组讨论，发现垂径定理的
A B
证明方法，并由学生代表发言。

培养学生的观察能力，概括能力，分析能力，从而调动学生学习积极性，使学生主动的获得知识
D
①这个图形是对
称图形吗
②你能发现图中有哪些相等的线段
和弧？请说明理由。

③你能用一句话
概括这些结论吗？
垂径定理：垂直于弦的直径平分
弦，并且平分弦所对的两条弧。

④你能用几何方法证明这些结论
吗？
⑤ 你能用符号语言表达这个结论
吗？学生尝试将文字转变为符号语
言，用几何符号表达定理的逻
辑关系。

教师更正。

教师明确定理中的条件和结论，
初步理解“知二得三” 口诀的
含义。

让学生进一步熟悉
垂径定理的条件与
结论，并为探索垂
径定理的推论打基
础
3．垂径定理的推论教师提出问题，引导学生进行思
如上图，若直径 CD平分弦 AB则考和讨论。

让学生亲自探索出①直径 CD是否垂直且平分弦所对的学生尝试得出垂径定理和推论，各条推论，以使学两条弧？如何证明？教师规范并板书。

生以后在应用中可②你能用一句话总结这个结论吗？教师提醒学生此中的弦一定不明明白白不加怀疑（即推论：平分弦的直径也垂直于能是直径。

的应用知二推三，弦，并且平分弦所对的两条弧）并培养学生的团队③如果弦 AB 是直径，以上结论还成意识及资源共享的立吗？意识
例题示范，变式练习
例 1. 如图。

在⊙ O 中弦 AB 的长为
8cm，圆心 O 到 AB 的距离 OD=3cm ，则在例 1 中教师可通过问题设置,引导学生联系弦、半径、弦心距
⊙O 的半径为cm
O
A D B
或者拱高等因素，从而构成直角
三角形，利用勾股定理解决问
（1）连结什么可
得到一个直角三形？
（2）利用什么知识可以解得半
径。

（3）从中你可总结出利用垂径定
理计算的什么技巧？
例 2. 如图，是赵州桥的几何示意图，若其中题。

这也是解决计算问题的主要
方法，教师一定要重点重申。

垂径定理的应用，了
解圆中辅助线的添法，
并规范论证书写过程，
能利用图形迅速获取
信息，并找出垂径定
理所需的条件，巩固
并熟练垂径定理的使
用方法
C
AB是桥
的跨度
D
A
B
为37.4
O
米, 桥拱
高 CD为
7.2 米 , 你能求出它所在的圆的主桥拱半径吗 ?此题是垂径定理计算题中另一
种题型，主要利用将垂径定理、勾股定理、方程的知识进行综合应用。

教师在提示后让学生进行小组
讨论，然后进行总结，得出结论，让学生做好笔记，养成良好的学习习惯。

灵活应用，提高能力
1.已知：如图 ,AB 是⊙ O直径， CD是弦， AE⊥ CD， BF⊥ CD.
求证： EC＝DF
B
O
.
A
E C D
F 综合应用，巩固提高课本例题涉及的问题，因此设计该分层推进的补充题，巩固本节所学知识。

2、已知：如图，⊙O 中 AB 为弦 C 为AB 的中点，OC交AB 于D，
AB = 6cm ， CD=1cm. 求⊙ O 的半径OA.
C
A
B
D
O
轻松过关
发放《问题训练评价单》，让学生独立完成其练习题
归纳总结，形成体系
通过这堂课的学习你有什么收获 ?知道了哪些新知识？学会了做什么学生独立练习，而后再与同桌交
流，上讲台演示，教师要重点关
注“学困生” ．
生独立完成问题评价单中的练
习题，老师进行讲评，主要培养
学生独立解题能力
鼓励学生从数
学知识、数学方法学生畅所欲言，从知识、方和数学情感等方面法、情感态度等方面谈收获，谈进行自我评价，培体会，并结合本节教学目标，发养学生归纳和语言现在学习中学会了什么，还存在表达能力。

使学生
哪些问题。

的知识更加完整和
清晰，形成知识体
系。

《24.1.2 垂径定理及其推论教学设计问题导读——评价单》
设计者：班级：姓名：
【教学目标】
根据新课程标准的要求，课改应体现学生身心发展特点；应有利于引导学生主动探索和发
现；有利于进行创造性的教学。

因此，我把本节课的教学目标确定为以下三个方面：
知识目标：
使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。

培养学生观察能力、分析能力及联想能力。

方法与过程目标：
经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及推论的过程，锻炼学生的思维品质，学习证明的方法。

情感态度与价值观目标:
在学生通过观察、操作、变换和研究的过程中进一步培养学生的思维能力，创新意识和良好
的运用数学的习惯和意识。

【重点与难点】
重点：垂径定理及其推论的发现、记忆与证明。

难点：对垂径定理及其推论的探索和证明，并能应用垂径定理及推论进行简单计算或证明。

1．已知 AB是⊙ O的弦， AB＝8cm， OC⊥AB 与 C，OC=3cm，则⊙ O的半径
为cm
2．如图，⊙O的直径 AB垂直于弦 CD，垂足为 E，若∠ COD＝ 120°， OE＝
A
3 厘米，则 CD＝厘米
O
D
3.半径为 6cm的圆中，垂直平分半径OA的弦长为cm.C E
4.过⊙ O内一点 M的最长的弦长为6cm ，最短的弦长为4cm，则OM的长B
图 4
等于 cm
5.如图， AB为⊙ O 的弦，⊙ O的半径为 5， OC⊥ AB于点 D，交⊙ O于点 C，且 CD＝ l ，则弦AB的长是
通过预习本节内容你未解决的问题有：
自我评价：小组评价：教师评价：
《24.1.2 垂径定理及推论教学设计问题生成——评价单》
请同学们在预习的基础上，将生成的问题充分交流后，在单位时间内完成下列题目，并准备多元化展示 .
带着问题走进丰富多彩的数学世界
1.将你手中的圆沿圆心对折，你会发现圆是一个什么图形？
2.将手中的圆沿直径向上折，你会发现折痕是圆的一条弦，这条弦被直径怎样了？
3.一个残缺的圆形物件，你能找到它的圆心吗？
4.赵州桥是我国古代桥梁史的骄傲，我们能求出主桥拱的半径吗？
分析通过上述问题，学生自己动手操作可以得出圆是轴对称图形，而且对称轴是过直径的直线，由此我们可以得出垂径定理及推论
归纳垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

注意在推论里，平分的这条弦一定不能为直径，否则推论不成立。

例 1. 如图在⊙ O 中弦 AB 的长为 8cm，圆心 O 到 AB 的距离 OD=3cm ，则⊙ O 的半径为
cm
（1）连结什么可得到一个直角三形？
（2）利用什么知识可以解得半径。

（3）从中你可总结出利用垂径定理计算的什么技巧？
例2. 如图，是赵州桥的几何示意图，若
其中 AB是桥的跨度为 37.4 米, 桥拱高
C CD为 7.2 米 , 你能求出它所在的圆的主
O
A D B
桥拱半径吗 ?
D
A
B
O
小组评价：教师评价：
《24.1.2 垂径定理及推论教学设计问题训练——评价单》设计者：班级：姓名：
1．如图 1，⊙ O的直径为10，圆心 O到弦 AB的距离 OM的长为 3，那么弦AB 的长是（）
A．4B．6C．7D．8
2.如图，⊙ O的半径为 5，弦 AB的长为 8，M是弦 AB上
的一个动点，则线段 OM长的最小值为（）
A．2B．3C．4D．5
3．下列命题中，正确的是（）
A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径
B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心
D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心
4.如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24
米，拱的半径为13 米，则拱高为( )
A．5米B．8米C．7米D．53米
5．⊙ O的半径为
A． 1 cm B 5cm，弦
． 7cm
AB//CD，且 AB=8cm,CD=6cm,则 AB
与
C． 3 cm 或 4 cm D．1cm
CD之间的距离
为或 7cm
()
6.如图，在直角坐标系中，以点P 为圆心的圆弧与轴交于 A、B 两点，已知 P(4 ， 2) 和 A(2 ， 0) ，则点 B的坐标是
y
P
A
B x
O
7、已知⊙ O的半径长为50cm，弦 AB 长 50cm.
求：（ 1）点 O到 AB的距离；（2）∠ AOB的大小
《24.1.2 垂径定理及其推论教学设计问题导读——评价单》答案1、 5 cm 2、6 3 cm 3、6 3 cm4、55、6
《24.1.2 垂径定理及其推论教学设计问题训练——评价单》答案【夯实基础】
1、 D
2、 B
3、 D
4、 B
5、D
【拓展提升】
（ 2）600
6、(6 ，0)
7、（1）25
3。