高二数学同步检测 2-3-1《圆的标准方程》 新人教B版必修2

2.3.1 圆的标准方程
一、选择题
1．已知圆的方程是(x －2)2＋(y －3)2＝4，则点P (3,2)满足( )
A ．是圆心
B ．在圆上
C ．在圆内
D ．在圆外
[答案] C
[解析] 因为(3－2)2＋(2－3)2＝2<4，
故点P (3,2)在圆内．
2．已知A (3，－2)，B (－5,4)，则以AB 为直径的圆的方程是( )
A ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝25
B ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝25
C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝100
D ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝100
[答案] B
[解析] 圆心为(－1,1)，
半径r ＝(－1－3)2＋(1＋2)2＝5，故选B.
3．点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 2，1－t 21＋t 2与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是( ) A ．在圆内
B ．在圆外
C ．在圆上
D ．与t 有关 [答案] C
[解析] |PO |＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 21＋t 22＝1，故点P 在圆上． 4．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程是( )
A ．(x －2)2＋y 2＝5
B ．x 2＋(y －2)2＝5
C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5
D ．x 2＋(y ＋2)2＝5
[答案] A
[解析] 圆(x ＋2)2＋y 2＝5的圆心为(－2,0)，圆心关于原点的对称点为(2,0)，即对称圆的圆心为(2,0)，对称圆的半径等于已知圆的半径，故选A.
5．若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( )
A ．x －y －3＝0
B ．2x ＋y －3＝0
C ．x ＋y －1＝0
D ．2x －y －5＝0
[答案] A
[解析] ∵点P (2，－1)为弦AB 的中点，又弦AB 的垂直平分线过圆心(1,0)，
∴弦AB 的垂直平分线的斜率k ＝0－(－1)1－2
＝－1， ∴直线AB 的斜率k ′＝1，
故直线AB 的方程为y －(－1)＝x －2，即x －y －3＝0.
6．过点A (1,2)，且与两坐标轴同时相切的圆的方程为( )
A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1或(x －5)2＋(y －5)2＝25
B ．(x －1)2＋(y －3)2＝2
C ．(x －5)2＋(y －5)2＝25
D ．(x －1)2＋(y －1)2＝1
[答案] A
[解析] 由题意可设圆心为(a ，a )，则半径r ＝a ，圆方程为(x －a )2＋(y －a )2＝a 2， 又点A (1,2)在圆上，
∴(1－a )2＋(2－a )2＝a 2，解得a ＝1或a ＝5.
∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1或(x －5)2＋(y －5)2＝25.
7．圆(x ＋3)2＋(y －1)2＝25上的点到原点的最大距离是( )
A ．5－10
B ．5＋10 C.10
D ．10
[答案] B
[解析] 圆(x ＋3)2＋(y －1)2＝25的圆心为A (－3,1)，半径r ＝5，O 为坐标原点，|OA |＝(－3)2＋12＝10，如图所示，
显然圆上的点到原点O 的最大距离为|OA |＋r ＝10＋5.
8．方程|x |－1＝2y －y 2表示的曲线为( )
A ．两个半圆
B ．一个圆
C ．半个圆
D ．两个圆
[答案] A
[解析] 两边平方整理得：(|x |－1)2＋(y －1)2＝1，
由|x |－1≥0得x ≥1或x ≤－1，
∴(x －1)2＋(y －1)2＝1(x ≥1)或(x ＋1)2＋(y －1)2＝1(x ≤－1)，
∴为两个半圆，故选A.
二、填空题
9．若点P (－1，3)在圆x 2＋y 2＝m 2上，则实数m ＝________.
[答案] ±2
[解析] ∵点P (－1，3)在圆x 2＋y 2＝m 2上，∴1＋3＝m 2，∴m ＝±2.
10．圆心既在直线x －y ＝0上，又在直线x ＋y －4＝0上，且经过原点的圆的方程是__________________．
[答案] (x －2)2＋(y －2)2
＝8 [解析] 由⎩⎨⎧ x －y ＝0x ＋y －4＝0，得⎩⎨⎧ x ＝2y ＝2.
∴圆心坐标为(2,2)，半径r ＝22＋22＝22，
故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8.
11．经过原点，圆心在x 轴的负半轴上，半径等于2的圆的方程是
__________________．
[答案] (x ＋2)2＋y 2＝2
[解析] ∵圆过原点，圆心在x 轴的负半轴上，∴圆心的横坐标的相反数等于圆的半径，又半径等于2，故圆心坐标为(－2，0)，所求圆的方程为(x ＋2)2＋y 2＝2.
12．半径为5，圆心在y 轴上，且与直线y ＝6相切的圆的方程为________________．
[答案] x 2＋(y －1)2＝25
或x 2＋(y －11)2＝25
[解析] 如图所示，可知有两个圆，上圆圆心为(0,11)，下圆圆心为(0,1)．
三、解答题
13．已知△ABC 三个顶点的坐标为A (1,3)、B (－1，－1)、C (－3,5)，求这个三角形外接圆的方程．
[解析] 解法一：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则
⎩⎨⎧ (1－a )2＋(3－b )2＝r 2(－1－a )2＋(－1－b )2＝r
2(－3－a )2＋(5－b )2＝r 2，
整理得⎩⎨⎧ a ＋2b －2＝02a －b ＋6＝0， 解得a ＝－2，b ＝2，∴r 2＝10，
故所求圆的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝10.
解法二：AB 的中垂线方程为y －1＝－12(x －0)，BC 的中垂线方程为y －2＝13
(x ＋2)，联立解得圆心坐标为(－2,2)．设圆半径为r ，则r 2＝(1＋2)2＋(3－2)2＝10，故所求圆的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2
＝10.
解法三：∵k AB ＝－1－3－1－1＝2，k AC ＝5－3－3－1＝－12
，∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC ，故△ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形，∴外接圆圆心为BC 的中点，即(－2,2)，半径r ＝12
|BC |＝10，所以圆的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝10. 14．已知隧道的截面是半径为4m 的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7m ，高为3m 的货车能不能驶入这个隧道？
[解析] 以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB 所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，如图，那么半圆的方程为
x 2＋y 2＝16(y ≥0)．将x ＝2.7代入，得y ＝16－2.72＝8.71<3.即在离中心线2.7m 处，隧道的高度低于货车的高度．因此，货车不能驶入这个隧道．
15．根据下列条件，求圆的方程：
(1)过点A (1,1)，B (－1,3)且面积最小；
(2)圆心在直线2x －y －7＝0上且与y 轴交于点A (0，－4)，B (0，－2)．
[解析] (1)过A 、B 两点且面积最小的圆就是以线段AB 为直径的圆，
∴圆心坐标为(0,2)，半径r ＝12
|AB |
＝12(－1＋1)2＋(1－3)2＝12×8＝2， ∴所求圆的方程为x 2＋(y －2)2＝2.
(2)由圆与y 轴交于点A (0，－4)，B (0，－2)可知，圆心在直线y ＝－3上，由⎩⎨⎧ 2x －y －7＝0y ＝－3，得⎩⎨⎧ x ＝2y ＝－3.
故圆心坐标为(2，－3)，
半径r ＝(2－0)2＋(－3＋2)2＝5，
∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.
16．经过A (6,5)，B (0,1)两点，并且圆心在直线3x ＋10y ＋9＝0上，求圆的方程．
[解析] 设所求的圆的圆心为C (a ，－3a －910
)，则|CA |＝|CB |， 即
(a －6)2＋(－3a －910－5)2 ＝a 2＋(－3a －910
－1)2. 解得a ＝7.
∴圆心C (7，－3)，半径r ＝|CB |＝49＋16＝65.
∴所求圆的方程为(x －7)2＋(y ＋3)2
＝65.。