高等数学同济第四版笔记
同济大学《高等数学》(第四版)1-8节 无穷小的比较
练 习 题
(1 ax ) 1 6、lim =_________. x 0 x
1 n
7、当 x 0 时， a x 3 a (a 0) 对于 x 是_______阶无穷小 . 8、当 x 0 时，无穷小 1 cos x 与 mx n 等价，则 m _______,n _______ . 二、求下列各极限： tan x sin x 1、lim ； 3 x 0 sin x e e 2、 lim ； sin x sin x 3、lim ； x 0 x tan x tan a lim 4、 ； x a xa
故当 x 时 f ( x ) 和 g( x ) 不能比较.
一、填空题： tan 3 x 1、lim =__________. x 0 sin 2 x arcsin x n 2、lim =________. x 0 (sin x ) m ln( 1 2 x ) 3、lim =_________. x 0 x 1 x sin x 1 4、lim =________. 2 x0 x arctan x x n 5、lim 2 sin n =________. n 2
例5 解
tan 5 x cos x 1 求 lim . x0 sin 3 x
tan x 5 x o( x ), sin 3 x 3 x o( x ),
1 2 1 cos x x o( x 2 ). 2 1 2 5 x o( x ) x o( x 2 ) 2 原式 lim x 0 3 x o( x )
sin x ~ x , tan x ~ x , ln(1 x ) ~ x ,
arcsin x ~ x , arctan x ~ x , e 1 ~ x,
同济大学《高等数学》(第四版)1-6节 极限的运算法则
3
x→2
小结: 小结: 1. 设 f ( x ) = a 0 x n + a1 x n −1 + ⋯ + a n , 则有
x → x0
lim f ( x ) = a 0 ( lim x ) n + a1 ( lim x ) n −1 + ⋯ + a n
x → x0
n
x → x0
= a 0 x 0 + a1 x 0
n −1
+ ⋯ + a n = f ( x 0 ).
P( x) 2. 设 f ( x ) = , 且Q( x 0 ) ≠ 0, 则有 Q( x )
P ( x0 ) lim f ( x ) = = f ( x 0 ). = x → x0 lim Q ( x ) Q( x0 )
x → x0 x → x0
由无穷小与无穷大的关系,得 由无穷小与无穷大的关系 得
4x − 1 lim 2 = ∞. x →1 x + 2 x − 3
x −1 例3 求 lim 2 . x →1 x + 2 x − 3
2
0 解 x → 1时, 分子 , 分母的极限都是零 . ( 型) 0
先约去不为零的无穷小 因子 x − 1后再求极限 . 后再求极限
1 2 n 1+ 2 +⋯+ n lim ( 2 + 2 + ⋯ + 2 ) = lim 2 n→ ∞ n n→ ∞ n n n
1 n( n + 1) 1 1 1 2 = lim = lim (1 + ) = . 2 n→ ∞ n→ ∞ 2 n n 2
sin x 例6 求 lim . x→∞ x
高等数学归纳笔记(全)
一、函数与极限 (2)1、集合的概念 (2)2、常量与变量 (3)2、函数 (4)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (5)5、复合函数 (6)6、初等函数 (6)7、双曲函数及反双曲函数 (7)8、数列的极限 (9)9、函数的极限 (10)10、函数极限的运算规则 (12)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。
如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。
⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。
⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。
同济大学高等数学知识点总结
同济大学高等数学知识点总结高考数学解答题部分主要考查七大主干知识：第一，函数与导数。
主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。
第二，平面向量与三角函数、三角变换及其应用。
这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。
第三，数列及其应用。
这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。
第四，不等式。
主要考查不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。
是高考的重点和难点。
第六，空间位置关系的定性与定量分析，主要是证明平行或垂直，求角和距离。
第七，解析几何。
是高考的难点，运算量大，一般含参数。
高考对数学基础知识的考查，既全面又突出重点，扎实的数学基础是成功解题的关键。
针对数学高考强调对基础知识与基本技能的考查我们一定要全面、系统地复习高中数学的基础知识，正确理解基本概念，正确掌握定理、原理、法则、公式、并形成记忆，形成技能。
以不变应万变。
对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时与数学知识相结合。
对数学能力的考查，强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，所有数学考试最终落在解题上。
考纲对数学思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识都提出了十分明确的考查要求，而解题训练是提高能力的必要途径，所以高考复习必须把解题训练落到实处。
训练的内容必须根据考纲的要求精心选题，始终紧扣基础知识，多进行解题的回顾、总结，概括提炼基本思想、基本方法，形成对通性通法的认识，真正做到解一题，会一类。
在临近高考的数学复习中，考生们更应该从三个层面上整体把握，同步推进。
1.知识层面也就是对每个章节、每个知识点的再认识、再记忆、再应用。
数学高考内容选修加必修，可归纳为12个章节，75个知识点细化为160个小知识点，而这些知识点又是纵横交错，互相关联，是“你中有我，我中有你”的。
同济大学《高等数学》(第四版)1-5节 无穷小与无穷大
x → x0
∴ f ( x ) = A + α( x ).
充分性 设 f ( x ) = A + α( x ),
其中 α( x )是当x → x 0时的无穷小,
则 lim f ( x ) = lim ( A + α( x )) = A + lim α( x ) = A.
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 关于无穷大的讨论 都可归结为关于无穷小 的讨论. 的讨论
四、小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 无穷小与无穷大是相对于过程而言的 1、主要内容: 两个定义 四个定理 三个推论 、主要内容 两个定义;四个定理 三个推论. 四个定理;三个推论 2、几点注意: 、几点注意
值f (x)都 足 等 f (x) > M, 满 不 式
x 称 数 则 函 f (x)当x →x0(或 →∞)时 无 小 为 穷 ,
作 记
x→x0
lim f (x) = ∞ (或 lim f (x) = ∞ ).
x→ ∞
特殊情形：正无穷大，负无穷大． 特殊情形：正无穷大，负无穷大．
x → x0 ( x→∞ )
练习题答案
一、1、0； 3、 3、 ⇔ ； 2、 2、 lim f ( x ) = C ；
x→∞ x → ±∞
1 4、 4、 . f ( x)
1 二、 0 < x < 4 . 10 + 2
思考题
若 f ( x ) > 0 ，且 lim f ( x ) = A，
x → +∞
问：能否保证有 A > 0 的结论？试举例说明 的结论？试举例说明.
思考题解答
不能保证. 不能保证
同济大学《高等数学》(第四版)3-2节 洛必达法则
∞ ( ) ∞
sec2 x 1 cos 2 3 x 解 原式 = lim = lim π 3 sec 2 3 x 3 x → π cos 2 x x→
2 2
1 − 6 cos 3 x sin 3 x sin 6 x = lim = lim π − 2 cos x sin x π 3 x→ x → sin 2 x
,
1 1 − ⋅ 2 1 Q lim+ ⋅ ln(cot x ) = lim+ cot x sin x 1 x →0 x → 0 ln x x −x = −1, = lim+ ∴ 原式 = e −1 . x → 0 cos x ⋅ sin x
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注意：洛必达法则的使用条件． 注意：洛必达法则的使用条件．
2
1 ln(1 + ) x ； 2、 2、 lim x → +∞ arctan x
3、lim x cot 2 x ；
x →0
2 1 )； 4、 − 4、lim( 2 x →1 x − 1 x −1
1 tan x 6、 6、 lim ( ) ； x → +0 x
5、 lim x
x → +0
sin x
；
解 原式 = lim e
x →1
x →0
1 ln x 1− x
= lim e
1 ln x
=e
ln x x →11− x lim
=e
1 lim x x → 1 −1
= e −1 .
例11 求 lim+ (cot x )
.
1 ln x
( ∞0 )
=e
1 ⋅ln(cot x ) ln x
解 运用对数恒等式得 (cot x)
同济大学高等数学知识点总结
同济大学高等数学知识点总结高考数学解答题部分主要考查七大主干知识：第一，函数与导数。
主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。
第二，平面向量与三角函数、三角变换及其应用。
这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。
第三，数列及其应用。
这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。
第四，不等式。
主要考查不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。
是高考的重点和难点。
第六，空间位置关系的定性与定量分析，主要是证明平行或垂直，求角和距离。
第七，解析几何。
是高考的难点，运算量大，一般含参数。
高考对数学基础知识的考查，既全面又突出重点，扎实的数学基础是成功解题的关键。
针对数学高考强调对基础知识与基本技能的考查我们一定要全面、系统地复习高中数学的基础知识，正确理解基本概念，正确掌握定理、原理、法则、公式、并形成记忆，形成技能。
以不变应万变。
对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时与数学知识相结合。
对数学能力的考查，强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，所有数学考试最终落在解题上。
考纲对数学思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识都提出了十分明确的考查要求，而解题训练是提高能力的必要途径，所以高考复习必须把解题训练落到实处。
训练的内容必须根据考纲的要求精心选题，始终紧扣基础知识，多进行解题的回顾、总结，概括提炼基本思想、基本方法，形成对通性通法的认识，真正做到解一题，会一类。
在临近高考的数学复习中，考生们更应该从三个层面上整体把握，同步推进。
1.知识层面也就是对每个章节、每个知识点的再认识、再记忆、再应用。
数学高考内容选修加必修，可归纳为12个章节，75个知识点细化为160个小知识点，而这些知识点又是纵横交错，互相关联，是“你中有我，我中有你”的。
大一下同济高数笔记
同济大学大一下学期高等数学笔记同济大学是我国知名高等学府之一，学生的学业生涯在这里步入了另一个新的阶段。
数学作为基础学科，在学生的整个学习过程中占有重要的地位。
本文笔记主要记录了同济大学大一下学期高等数学的重要内容。
第一章一元函数微积分学1.1 函数、极限和连续定义 1.1.1 函数若对于集合A中的任意一个元素x，都有唯一的实数y与其对应，那么就称y是x的函数，记作$y=f(x), x \\in A$，其中x称为自变量，y称为因变量或函数值。
A称为定义域，函数值的数集$B=\\{y|y=f(x), x \\in A\\}$称为值域。
定义 1.1.2 极限假设函数f(x)在x0左侧有定义，A是一个给定数，当自变量x无限接近x0且x属于x0的左侧时，函数值f(x)无限接近于A，这时数A称为f(x)当x趋于x0的极限，记为$\lim\limits_{x \to x_0^-}f(x) 或者\lim\limits_{x \to x_0^-}f(x)=A。
同理，当自变量x无限接近x_0且x属于x_0的右侧时，f(x)无限接近于另一个数B，这时数B称为f(x)当x趋于x_0的极限，记为\lim\limits_{x \to x_0^+}f(x)或者\lim\limits_{x \to x_0^+}f(x)=B。
当且仅当\lim\limits_{x \tox_0^-}f(x)$ 与$\\lim\\limits_{x \\to x_0^+}f(x)$存在且相等时，称函数f(x)在x0处的极限为$\\lim\\limits_{x \\to x_0}f(x)$，或者 $\lim\limits_{x \to x_0}f(x)= A $。
定义 1.1.3 连续一个函数f(x)在x0点连续，是指当x无限接近x0时，$\\lim\\limits_{x \\tox_0}f(x)$存在且等于f(x0)，这时函数f(x)在x0点连续。
同济大学《高等数学》（第四版）第2章答案
习题2－1 （P105）4. 解:（1）);())()((lim )()(lim0000000x f xx f x x f x x f x x f A x x ′−=∆−−∆−−=∆−∆−=→∆−→∆（2）);0(0)0()(lim )(lim 00f x f x f x x f A x x ′=−−==→→（3）h x f h x f x f h x f h h x f h x f A h h )]()([)]()([lim)()(lim 00000000−−−−+=−−+=→→ ).(2)()()()(lim )()(lim 000000000x f x f x f hx f h x f h x f h x f h h ′=′+′=−−−+−+=→→12. 解:（1） ,sin x y =,0sin lim lim ,0)sin (lim lim 0000===−=+→+→−→−→x y x y x x x x Q.0,0)0(处连续此函数在又=∴=x y;1sin lim 0)0()(lim)0(00−=−=−−=′−→−→−x xx y x y f x x 又;1sin lim 0)0()(lim )0(00==−−=′+→+→+xxx y x y f x x 处不可导。
此函数在0),0()0(=∴′≠′+−x f f （2）,0,00,1sin 2⎪⎩⎪⎨⎧=≠=x x xx y ，01sin lim 20=→x x x Q .0,0)0(处连续此函数在又=∴=x y ,01sin lim 1sinlim 0)0()(lim)0(0200===−−=′→→→xx x x x x f x f y x x x Q .0可导故此函数在=x13. 解:由函数在,1)1(,)(lim )(lim ,1lim )(lim 11211=+=+===+→+→−→−→f b a b ax x f x x f x x x x Q .11=+=b a x 处连续得：;211lim1)1()(lim )1(211=−−=−−=′−→−→−x x x f x f f x x 又 ,1;1lim 11lim1)1()(lim)1(111处可导要使函数在==−−=−−+=−−=′+→+→+→+x a x aax x b ax x f x f f x x x .1)(1,2.2),1()1(处连续且可导在时，故当即必须＋=−===′=′−x x f b a a f f 14. 解: ;100lim)0()(lim)0(00−=−−−=−−=′−→−→−x x x f x f f x x ;00lim 0)0()(lim)0(200=−=−−=′+→+→+xx x f x f f x x 不存在。
同济大学数学系《高等数学》笔记和课后习题(含考研真题)详解(向量代数与空间解析几何)【圣才出品】
图 8-1-3 4．利用坐标作向量的线性运算 设
，λ 为实数，则
注：当向量 时，向量 相当于
Hale Waihona Puke ，坐标表示式为5 / 77
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即
5．向量的模、方向角、投影 （1）向量的模 向量 r＝（x，y，z），则模
（2）两点距离公式
设点
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（2）性质
①
；
②a·b＝0⇔a⊥b（a、b 都为非零向量）．
（3）运算规律
①交换律 a·b＝b·a；
②分配律（a＋b）·c＝a·c＋b·c；
③结合律
．
（4）两向量夹角余弦的坐标表示式
2．两向量的向量积 （1）定义
①当 a、b、c 组成右手系时，α 为锐角，[abc]为正； ②当 a、b、c 组成左手系时，α 为钝角，[abc]为负． （5）a、b、c 共面⇔混合积[abc]＝0，即
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个平面上，称这 k 个向量共面．
2．向量的线性运算
（1）向量的加法
①定义
设有两个向量 a 与 b，任取一点 A，作
，再以 B 为起点，作
，连接
AC（图 8-1-2），则
向量
称为向量 a 与 b 的和，记作 a＋b，即 c＝a＋b．
设 a (ax , ay , az ), b (bx , by , bz ), c (cx , cy , cz ) ，则 ax ay az
高等数学知识点总结手写笔记
高等数学知识点总结手写笔记Higher mathematics, also known as advanced mathematics, is a fundamental and essential subject for many fields of study, including engineering, physics, computer science, and economics. It covers a wide range of topics, from calculus and differential equations to linear algebra and complex analysis. In order to understand and apply these concepts effectively, it is crucial to have a solid understanding of the key principles and techniques involved. In this hand-written summary, I will provide an overview of some of the most important concepts in higher mathematics.高等数学是许多领域的基础和必要学科，包括工程学、物理学、计算机科学和经济学。
它涵盖了广泛的主题，从微积分和微分方程到线性代数和复分析。
为了有效地理解和应用这些概念，具有对涉及的关键原理和技术的扎实理解至关重要。
在这篇手写摘要中，我将概述高等数学中一些最重要的概念。
One of the fundamental concepts in higher mathematics is calculus.It is the study of change, and it provides a framework for understanding how things change over time or in relation to one another. Calculus includes two main branches: differential calculus,which focuses on rates of change and slopes of curves, and integral calculus, which deals with accumulation and finding the area under a curve. These two branches of calculus are essential for solving problems in various fields of science and engineering.高等数学中的一个基本概念是微积分。
大学高等数学教材笔记
大学高等数学教材笔记一、函数与极限函数：1. 定义：函数是一种将一个集合的元素映射到另一个集合的关系。
2. 函数的表示：常用的表示方法有函数图像、函数表达式和函数关系式。
3. 基本函数类型：包括常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
4. 函数的性质：包括奇偶性、单调性、周期性等。
极限：1. 介绍：极限是数学中用来描述函数或数列趋近于某一值的概念。
2. 极限的定义：函数f(x)在x趋近于a时，如果对于任意给定的正数ε，都存在正数δ，使得当0＜|x-a|＜δ时，总有|f(x)-A|＜ε成立，就称函数f(x)当x趋近于a时极限为A。
3. 常用的极限计算方法：包括夹逼定理、洛必达法则、极限的性质等。
二、导数与微分导数：1. 介绍：导数是描述函数变化率的工具，也是函数在某一点上的切线斜率。
2. 导数的定义：函数f(x)在点x处的导数定义为极限lim(x→0)[f(x+h)-f(x)]/h。
3. 常见函数的导数公式：包括常数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导数等。
4. 导数的性质：包括可导性、导数的四则运算、导函数的几何意义等。
微分：1. 介绍：微分是导数的另一种表现形式，用于计算函数在某一点上的微小变化。
2. 微分的定义：函数f(x)在点x处的微分定义为df(x)=f'(x)dx。
3. 微分的应用：包括利用微分计算近似值、优化问题、微分中值定理等。
三、积分与定积分积分：1. 介绍：积分是对函数在一定区间上的累加，用于求解曲线下的面积、计算函数的平均值等。
2. 不定积分：表示不带上下限的积分，通常用∫f(x)dx表示。
3. 常见函数的不定积分：包括多项式函数的不定积分、幂函数的不定积分、三角函数的不定积分等。
定积分：1. 介绍：定积分是对函数在一定区间上的积分，表示函数在该区间上的累加结果。
2. 定积分的计算方法：包括分区间、近似求解法、定积分的性质等。
3. 定积分的应用：包括曲线下面积计算、物理学中的应用、求解平均值等。
同济大学《高等数学》(第四版)第一章习题课知识讲解
函数的分类
有 有理整函数(多项式函数) 理
代 数
函 数 有理分函数(分式函数)初 等来自函 数函无理函数
函数
数
超越函数
非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)
2、函数的性质
(1) 单值性与多值性:
若 对 于 每 一 个 x D ,仅 有 一 个 值 yf(x )与 之 对 应 ,则 称 f(x )为 单 值 函 数 ,否 则 就 是 多 值 函 数 .
一、主要内容
（一）函数的定义 （二）极限的概念 （三）连续的概念
1、函数的定义
定义设 x和y是两个变D量是，一个给定的 集．如果对于x每 D 个，数变量 y按照一定法 则总有确定的数对值应和，它则y是 称x的函数， 记作y f(x)．
数集 D叫做这个函数 ， x的 叫定 做义 自域 变量 y叫做因变量．
9、双曲函数与反双曲函数
双曲 si正 n xh ex 弦 ex 2
双曲 co 余 xse h x 弦 ex 2
双曲 tax n 正 sh ix n 切 e x h e x co xs e xh e x
双曲函数常用公式
sx i y n ) sh x i c n y ( o c h x s o sh y i ; s n h cx o y ) s cx h o cy o ( s sh x s i sn h y i ;n h co 2x s s hi2 n x h 1 ;si2 n x 2 h six n co h x ;s co 2 x s ch 2 o x s si 2 h x n . h 反双曲 ya正 rsi弦 nx;h
高等数学同济教材大一笔记
高等数学同济教材大一笔记高等数学作为大一学生必修的一门课程，是一门重要的数学基础课。
同济大学的教材是本学科的经典教材之一，具有较高的权威性和教育价值。
为了帮助同学们更好地理解和掌握高等数学这门课程的内容，下面我将总结并分享一些同济教材中的重要知识点和学习笔记。
1. 函数与极限1.1 函数的概念与分类函数是自变量和因变量之间的一种映射关系。
根据同济教材的定义，函数包括数列、数列的极限、连续函数等。
在实际问题中，我们常常需要通过分析函数的特性来解决具体的数学问题。
1.2 极限的定义与性质极限是高等数学中的重要概念，用于描述函数在某一点的趋势和变化规律。
同济教材对极限的定义十分清晰，通过引入邻域的概念，使得学生能够更好地理解和应用极限的性质。
2. 导数与微分2.1 导数的概念与计算导数是函数在某一点的变化率，也是函数的切线斜率。
同济教材详细介绍了导数的计算方法，如利用函数的极限、基本导数法则、导数的四则运算等。
2.2 微分学的应用微分学是导数的应用部分，它在自然科学和工程技术等领域起着重要的作用。
同济教材从几何应用角度，讲解了曲线的切线和法线、函数的单调性和极值等问题，使得学生能够将微分学知识真实地应用于实际情境。
3. 积分与计算3.1 积分的概念与计算积分是导数的逆运算，用于描述函数的面积与曲线之间的关系。
同济教材系统地介绍了定积分的定义和性质，以及各类基本积分公式和换元积分法等。
3.2 积分学的应用积分学作为微积分的重要分支，有着广泛的应用领域。
同济教材中介绍了积分学在几何学、物理学、经济学等方面的应用，培养了学生将数学知识与实际问题相结合的能力。
4. 级数与数项级数4.1 级数的概念与性质级数是无穷数列部分和的极限，同济教材详细介绍了几何级数与等比级数的性质，并给出了级数收敛和发散的判别法则。
4.2 数项级数的收敛性数项级数是数列部分和的极限，它在高等数学中有着广泛的应用。
同济教材系统讲解了正项级数的收敛性判别法则，并给出了收敛级数的性质和运算法则。
大学高等数学教材笔记整理
大学高等数学教材笔记整理第一章：函数与极限1. 函数的概念及表示方法函数是将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素的规则。
可以用关系式、图像、表格等形式表示函数。
2. 极限的定义和性质极限是函数在某一点或无穷远处的趋势或趋近状态。
极限的定义包括函数趋近于某个值、趋近于正无穷或负无穷等情况。
3. 函数的连续性函数连续性是指函数在定义域内的任意一点与其函数值之间的逻辑关系。
函数连续性的判断准则包括间断点、可导性等等。
第二章：导数与微分1. 导数的概念与运算法则导数表示函数在某一点的变化率。
导数的计算可以利用定义式、基本函数的导数、导数的四则运算等方法。
2. 高阶导数及其应用高阶导数是指导数的导数。
高阶导数的计算可以通过连续求导和高阶导数的运算法则来求得。
高阶导数在物理学、经济学等领域有广泛的应用。
3. 微分与线性近似微分是导数与自变量的微小增量之积。
微分的概念可以用来描述函数在某一点的线性近似。
第三章：积分与区域面积1. 不定积分与定积分的概念不定积分是对函数的反导数的概念，定积分是对函数在某一区间上的面积的概念。
2. 定积分的性质与计算方法定积分具有线性性、可加性、保号性等性质。
定积分的计算方法包括换元法、分部积分法等。
3. 定积分的几何应用定积分可以用来计算曲线下的面积、弧长、旋转体的体积等几何问题。
第四章：常微分方程1. 常微分方程的基本概念常微分方程是描述未知函数的导数和自变量之间关系的方程。
常微分方程的基本概念包括解的存在唯一性、一阶方程的可分离变量等。
2. 一阶常微分方程的解法一阶常微分方程的解法包括分离变量法、齐次方程法、一阶线性方程法等。
3. 高阶常微分方程的解法高阶常微分方程的解法包括特征方程法、待定系数法等。
第五章：无穷级数1. 数项级数的概念与性质数项级数是由一列数之和逐项得到的一种新的数列。
数项级数的性质包括收敛性、发散性等。
2. 幂级数的收敛域与展开幂级数是一种特殊的无穷级数，可以用来表示各种函数。
高等数学课堂笔记
高等数学课堂笔记
高等数学是大学数学课程中的一门重要课程，它是在初等数学的基础上进行深入的推广与拓展。
在高等数学课堂上，学生将学习一系列的数学概念、原理和方法，涉及到微积分、数学分析、线性代数、概率统计等内容。
在微积分部分，学生将学习函数的极限、连续性、导数和积分等概念。
通过学习微积分，学生能够理解数学在自然科学和工程学科中的应用，比如描述物体运动的速度、加速度，解决最优化问题等。
数学分析是微积分的理论基础，它主要研究实数集、数列、级数和函数等内容。
通过学习数学分析，学生将对微积分的概念和技巧有更深入的理解，同时也能够培养其分析问题和证明定理的能力。
线性代数是研究向量空间和线性变换的数学学科，它在科学与工程学科中有广泛的应用。
在高等数学课堂上，学生将学习向量空间的性质、线性方程组的解法、特征值与特征向量等内容，这些知识将有助于学生理解和解决实际问题中的线性关系。
概率统计是研究随机事件和随机变量的数学学科，它在现代科学和社会科学中扮演着重要的角色。
在高等数学课堂上，学生将学习概率的性质、统计方法和随机变量的分布等内容。
通过学习概率统计，学生
能够理解和应用概率与统计的基本原理，分析和解释实际问题中的不确定性和变异性。
除了以上几个重要的内容，高等数学课程还包括数学建模、数学思维方法等内容，这些都是培养学生数学思维和解决实际问题能力的重要环节。
总的来说，高等数学课程是大学数学教育中的一门基础课程，它为学生提供了更深入的数学知识和解决问题的方法。
通过高等数学的学习，学生将能够更好地理解和应用数学在各个学科中的原理和方法。
大一高数同济版知识点总结
大一高数同济版知识点总结高等数学作为大一必修课程，是理工科学生的基础课之一。
同济版高等数学是一本经典的教材，在许多高校使用广泛。
下面是对大一高数同济版的知识点进行了总结和梳理。
一、函数与极限1. 函数概念- 自变量与因变量的关系- 定义域、值域与像- 奇函数与偶函数- 反函数2. 函数的极限- 极限的定义与性质- 极限存在准则- 无穷大与无穷小3. 连续与间断- 连续函数定义- 连续函数的性质与运算 - 间断点与间断性质- 切线方程与曲线的连续性二、导数与微分1. 导数与导函数- 导数的定义与几何意义 - 导函数的概念与性质- 导函数的运算法则- 高阶导数与导数的应用2. 微分与微分近似- 微分的定义与性质- 微分近似与线性化- 高阶微分与泰勒展开3. 函数的凸凹性- 函数的凸凹性定义- 函数凹弧线与凸弧线- 切线判别法与曲率三、不定积分与定积分1. 不定积分- 不定积分的定义与性质 - 不定积分的基本公式- 积分换元法与分部积分法2. 定积分与反常积分- 定积分的定义与性质- 牛顿-莱布尼茨公式- 反常积分的概念与判敛 - 反常积分的性质与计算3. 积分应用- 曲线与曲面的长度与面积- 弧长与曲线参数方程- 旋转体体积与弧线旋转体四、微分方程1. 微分方程的基本概念- 微分方程的定义与解- 一阶微分方程与高阶微分方程 - 齐次与非齐次微分方程2. 常微分方程解法- 可分离变量方程- 齐次方程与一阶线性齐次方程 - Bernoulli方程与Riccati方程3. 高阶线性微分方程- 高阶线性常系数微分方程- 非齐次线性微分方程- 欧拉方程与常系数变易法以上是对大一高数同济版的知识点进行的总结。
在学习高等数学过程中，对这些知识点的掌握至关重要，在解题时需要熟练运用相关的定理和公式。
掌握了这些基本知识，就能够打下坚实的数学基础，为后续的学习打下良好的基础。
希望同学们能够深入理解这些知识点，并能在实际问题中灵活运用。
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பைடு நூலகம்
第一章 函数与极限.......................................................................................................................1 一、函数...................................................................................................................................1 1.1、注意以前所学习的一些概念 ..................................................................................1 1.2、函数概念 ..................................................................................................................1 1.3、函数的几种特性 ......................................................................................................1 1.4、反函数......................................................................................................................1 1.5、几种特殊的函数 ......................................................................................................1 二、初等函数...........................................................................................................................2 2.1、基本初等函数 ..........................................................................................................2 2.2、双曲函数 ..................................................................................................................2 三、数列的极限.......................................................................................................................3 3.1、数列极限的定义 ......................................................................................................3 3.2、收敛数列的特性 ......................................................................................................3 四、函数的极限.......................................................................................................................4 4.1、定义..........................................................................................................................4 4.2、函数极限的特性 ......................................................................................................5 五、无穷小与无穷大 ...............................................................................................................8 5.1、无穷小的定义 ..........................................................................................................8 5.2、无穷大的定义 ..........................................................................................................8 5.3、相关定理 ..................................................................................................................8 六、极限的运算法则 ...............................................................................................................9 极限的叠代求法 .............................................................................................................10 七、极限存在准则：两个重要极限 .....................................................................................12 7.1、准则I：夹逼准则 ..................................................................................................12 7.2、准则II：单调有界数列必有极限 .........................................................................12 7.3、两个重要极限 ........................................................................................................12 八、无穷小的比较 .................................................................................................................15 8.1、无穷小的阶 ............................................................................................................15 8.2、等阶无穷小的性质 ................................................................................................15 8.3、一些常用的等阶无穷小 ........................................................................................15 九、函数的连续性与间断点 .................................................................................................17 9.1、函数的连续性 ........................................................................................................17 9.2、函数的间断点 ........................................................................................................17 十、连续函数的运算与初等函数的连续性 .........................................................................18 10.1、连续函数的和、积及商的连续性 ......................................................................18 10.2、反函数与复合函数的连续性 ..............................................................................18 10.3、初等函数的连续性 ..............................................................................................20 十一、闭区间上的连续函数的性质 .....................................................................................21 11.1、最大值和最小值定理 ..........................................................................................21 11.2、介值定理 ..............................................................................................................21 11.3、一致连续性 ..........................................................................................................21 第二章 导数与微分.....................................................................................................................23