2024-2025学年北师版中学数学九年级上册2.2用配方法求解一元二次方程(第2课时)教学课件
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负数和的形式
即a=0，b=2
随堂训练
1．如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方式，
则m等于（ C ）
A．1
B．-1
C．1或9
D．-1或9
随堂训练
2.解下列方程：
（1）4x2-6x-3=0；
3
2
3
4
解：x 2 x 0,
3
21
( x )2 .
为1的前提下进行的.
配方法解方程的基本思路
把方程化为（x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为两个一元一
次方程求解．
新课导入
配方法解方程的基本步骤
一般步骤
方法
将常数项移到右边，含未
知数的项移到左边
一移
移项
二化
二次项系数 左、右两边同时除以二次
化为1
项系数
三配
配方
左、右两边同时加上一次
知识讲解
例2 解方程：(1) 3x2 + 8x -3 = 0.
解：两边同除以3,得
8
2
x +
x - 1=0.
3
配方,得
4 2
8
4 2
x2 +
x+(
) -(
) - 1 = 0,
3
3
3
25
4
2
即（x + ） =0.
9
3
移项,得
4
5
x+
=±
,
3
3
5
4
5
4
即
x+
=
或 x+
= .
3
3
3
3
1
所以
x1=
, x2 = -3 .
解：移项，得
3x2－6x=-4,
二次项系数化为1，得
x2－2x=－
配，得
,
x2－2x+12=－ +12，
即 (x－1)2=－
.
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x－1)2都
是非负数，即上式都不成立，所以原方程无实数根．
知识讲解
★ 配方法的应用
例3 试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5的值必定大于零.
其最大值
完全平方式中
的配方
如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以一次项系数一半
的平方等于16，即m2=16，m=±4
对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破
利用配方构成非 口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为
0，各项均为0，从而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0,则a2＋(b－2)2=0,
3
知识讲解
（2）2x2− x−1＝0 ；
解：移项，得2x2− x＝ 1.
1
2
二次项系数化为1，得x −
1
x＝ .
2
2
1
2
配方，得x −
x+
2
即
1 2
−
4
1 2 1
−
=
4
2
=
9
16
,
1
4
3
4
由此可得 − ＝± ，
1
2
∴ x1＝ 1，x2＝− .
+
1 2
−
,
4
知识讲解
3
3x2 6x 4 0.
五解两个一元一次方程
应 用
求代数式的最值或证明
特别提醒：在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式.
解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1
=（k－2）2＋1
因为（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1.
所以k2－4k＋5的值必定大于零.
知识讲解
类别
解题策略
求最值或证明
代数式的值为
恒正（或负）
对于一个关于x的二次多项式通过配方转化成a(x+m)2＋n的形式后，
(x+m)2≥0，n为常数，当a＞0时，可知其最小值；当a＜0时，可知
解：方程两边同时除以3,得
x2 + 6x + 8 = 0 .
移项，得
配方, 得
开平方, 得
解得
x2 + 6x = -8 ,
（x + 3）2 = 1.
x + 3 = ±1.
x1 = -2 , x2= -4 .
结论：在使用配方法过程中若二次项的系数不为1时，需要将二次项系
数化为1后，再根据配方法步骤进行求解.
项系数一半的平方
利用平方根的意义直接开
平方
四开
开平方
五解
解两个一元 移项，合并
一次方程
2
3 1
即 x
4 16
知识讲解
★
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
问题1：观察下面两个一元二次方程的联系和区别：
① x2 + 6x + 8 = 0 ;
② 3x2 +18x +24 = 0.
4
16
3 21
3 21
x1
, x2
.
4
4
（2） 3x2+6x-9=0.
解：x2+2x-3=0，
(x+1)2=4.
x1=-3,x2=1.
随堂训练
3.应用配方法求最值.
(1) 2x2 - 4x+5的最小值；
(2) -3x2 + 5x +1的最大值.
解：（1） 2x2 - 4x +5 = 2(x - 1)2 +3 ,
问题2：用配方法来解 x2 + 6x + 8 = 0 .
解：移项，得
x2 + 6x = -8 ,
配方，得 （x + 3）2 = 1.
开平方, 得
解得
x + 3 = ±1.
x1 = -2 , x2= -4.
想一想怎么来解
3x2 +18x +24 = 0.
知识讲解
例1 用配方法解方程： 3x2 +18x +24 = 0.
所以当x =1时，有最小值，为3.
（2） -3x2 + 12x - 16 = -3(x - 2)2 - 4 ,
所以当x =2时,有最大值，为-4.
课堂小结
方 法
在方程两边都配上二次项系数一半的平方
一移常数项；
二配方[配上 （二次项系数）2
]；
2
配方法
步 骤
三写成（x+n)2=p (p ≥0);
四直接开平方
第 二 章 一元二次方程
第二章 一元二次方程
2.1
用配方法求解一元二次方程
第2课时
用配方法求解复杂的一元二次方程
学习目标
1 会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程. (重点）
2 能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程.（难点）
新课导入
复 习
方程配方的方法
在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是在二次项系数
即a=0，b=2
随堂训练
1．如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方式，
则m等于（ C ）
A．1
B．-1
C．1或9
D．-1或9
随堂训练
2.解下列方程：
（1）4x2-6x-3=0；
3
2
3
4
解：x 2 x 0,
3
21
( x )2 .
为1的前提下进行的.
配方法解方程的基本思路
把方程化为（x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为两个一元一
次方程求解．
新课导入
配方法解方程的基本步骤
一般步骤
方法
将常数项移到右边，含未
知数的项移到左边
一移
移项
二化
二次项系数 左、右两边同时除以二次
化为1
项系数
三配
配方
左、右两边同时加上一次
知识讲解
例2 解方程：(1) 3x2 + 8x -3 = 0.
解：两边同除以3,得
8
2
x +
x - 1=0.
3
配方,得
4 2
8
4 2
x2 +
x+(
) -(
) - 1 = 0,
3
3
3
25
4
2
即（x + ） =0.
9
3
移项,得
4
5
x+
=±
,
3
3
5
4
5
4
即
x+
=
或 x+
= .
3
3
3
3
1
所以
x1=
, x2 = -3 .
解：移项，得
3x2－6x=-4,
二次项系数化为1，得
x2－2x=－
配，得
,
x2－2x+12=－ +12，
即 (x－1)2=－
.
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x－1)2都
是非负数，即上式都不成立，所以原方程无实数根．
知识讲解
★ 配方法的应用
例3 试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5的值必定大于零.
其最大值
完全平方式中
的配方
如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以一次项系数一半
的平方等于16，即m2=16，m=±4
对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破
利用配方构成非 口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为
0，各项均为0，从而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0,则a2＋(b－2)2=0,
3
知识讲解
（2）2x2− x−1＝0 ；
解：移项，得2x2− x＝ 1.
1
2
二次项系数化为1，得x −
1
x＝ .
2
2
1
2
配方，得x −
x+
2
即
1 2
−
4
1 2 1
−
=
4
2
=
9
16
,
1
4
3
4
由此可得 − ＝± ，
1
2
∴ x1＝ 1，x2＝− .
+
1 2
−
,
4
知识讲解
3
3x2 6x 4 0.
五解两个一元一次方程
应 用
求代数式的最值或证明
特别提醒：在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式.
解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1
=（k－2）2＋1
因为（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1.
所以k2－4k＋5的值必定大于零.
知识讲解
类别
解题策略
求最值或证明
代数式的值为
恒正（或负）
对于一个关于x的二次多项式通过配方转化成a(x+m)2＋n的形式后，
(x+m)2≥0，n为常数，当a＞0时，可知其最小值；当a＜0时，可知
解：方程两边同时除以3,得
x2 + 6x + 8 = 0 .
移项，得
配方, 得
开平方, 得
解得
x2 + 6x = -8 ,
（x + 3）2 = 1.
x + 3 = ±1.
x1 = -2 , x2= -4 .
结论：在使用配方法过程中若二次项的系数不为1时，需要将二次项系
数化为1后，再根据配方法步骤进行求解.
项系数一半的平方
利用平方根的意义直接开
平方
四开
开平方
五解
解两个一元 移项，合并
一次方程
2
3 1
即 x
4 16
知识讲解
★
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
问题1：观察下面两个一元二次方程的联系和区别：
① x2 + 6x + 8 = 0 ;
② 3x2 +18x +24 = 0.
4
16
3 21
3 21
x1
, x2
.
4
4
（2） 3x2+6x-9=0.
解：x2+2x-3=0，
(x+1)2=4.
x1=-3,x2=1.
随堂训练
3.应用配方法求最值.
(1) 2x2 - 4x+5的最小值；
(2) -3x2 + 5x +1的最大值.
解：（1） 2x2 - 4x +5 = 2(x - 1)2 +3 ,
问题2：用配方法来解 x2 + 6x + 8 = 0 .
解：移项，得
x2 + 6x = -8 ,
配方，得 （x + 3）2 = 1.
开平方, 得
解得
x + 3 = ±1.
x1 = -2 , x2= -4.
想一想怎么来解
3x2 +18x +24 = 0.
知识讲解
例1 用配方法解方程： 3x2 +18x +24 = 0.
所以当x =1时，有最小值，为3.
（2） -3x2 + 12x - 16 = -3(x - 2)2 - 4 ,
所以当x =2时,有最大值，为-4.
课堂小结
方 法
在方程两边都配上二次项系数一半的平方
一移常数项；
二配方[配上 （二次项系数）2
]；
2
配方法
步 骤
三写成（x+n)2=p (p ≥0);
四直接开平方
第 二 章 一元二次方程
第二章 一元二次方程
2.1
用配方法求解一元二次方程
第2课时
用配方法求解复杂的一元二次方程
学习目标
1 会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程. (重点）
2 能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程.（难点）
新课导入
复 习
方程配方的方法
在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是在二次项系数