高考数学(文)大一轮复习检测：第八章 平面解析几何 课时作业49 Word版含答案

课时作业49 直线的交点与距离公式
一、选择题
1．已知过点A (m ＋1,0)，B (－5，m )的直线与过点C (－4,3)，D (0,5)的直线平行，则m 的值为( )
A ．－1
B ．－2
C ．2
D ．1
解析：由题意得：k AB ＝
m －0
－5－m ＋＝
m
－6－m ，k CD ＝5－3
0－－
＝1
2
.由于AB ∥CD ，即k AB ＝k CD ，所以
m
－6－m ＝1
2
，所以m ＝－2. 答案：B
2．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( ) A.12 B.32 C.32
2
D.22
解析：由点到直线的距离公式， 得d ＝|1－－＋1|12＋－2
＝322. 答案：C
3．当0<k <1
2时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析：由⎩⎪⎨
⎪⎧
kx －y ＝k －1，
ky －x ＝2k ，
且0<k <12，得两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫k k －1，2k －1k －1.因为
0<k <12，所以k k －1<0，2k －1
k －1
>0，故两直线的交点在第二象限．
答案：B
4．直线l ：4x ＋3y －2＝0关于点A (1,1)对称的直线的方程为( ) A ．4x ＋3y －4＝0 B ．4x ＋3y －12＝0 C ．4x －3y －4＝0
D ．4x －3y －12＝0
解析：在所求直线上任取一点P (x ，y )，则点P 关于点A 对称的点P ′(x ′，y ′)必在直线l 上．由⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＋x ＝2，y ′＋y ＝2，
得P ′(2－x,2－y )，所以4(2－x )＋3(2－y )－2＝0，即4x
＋3y －12＝0.
答案：B
5．不论m 为何值时，直线l ：(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过定点( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12 B ．(－2,0) C ．(2,3)
D ．(9，－4)
解析：直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5，化为(mx ＋2my －m )＋(－x －y ＋5)＝0，即直线
l 过x ＋2y －1＝0与－x －y ＋5＝0的交点，解方程组⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋2y －1＝0，
－x －y ＋5＝0，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝9，
y ＝－4.
答案：D
6．已知A ，B 两点分别在两条互相垂直的直线2x －y ＝0和x ＋ay ＝0上，且AB 线段的
中点为P ⎝
⎛⎭
⎪⎫0，10a ，则线段AB 的长为( )
A ．11
B ．10
C ．9
D ．8
解析：依题意，a ＝2，P (0,5)，设A (x,2x )，B (－2y ，y )，故⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －2y ＝0，
2x ＋y ＝10，则A (4,8)，
B (－4，2)，
∴|AB |＝＋
2
＋－
2
＝10.
答案：B 二、填空题
7．若直线(m －1)x ＋3y ＋m ＝0与直线x ＋(m ＋1)y ＋2＝0平行，则实数m ＝________. 解析：易知当m ＝－1时，两直线不平行． 当m ≠－1时，由m －1
1
＝
3m ＋1≠m
2
，解得m ＝－2. 答案：－2
8．已知实数x 、y 满足2x ＋y ＋5＝0，那么x 2
＋y 2
的最小值为________．
解析：x 2
＋y 2
表示点(x ，y )到原点的距离．根据数形结合得x 2
＋y 2
的最小值为原点到直线2x ＋y ＋5＝0的距离，即d ＝
55
＝ 5.
答案： 5
9．过两直线7x ＋5y －24＝0与x －y ＝0的交点，且与点P (5,1)的距离为10的直线的方程为________．
解析：设所求的直线方程为7x ＋5y －24＋λ(x －y )＝0，即(7＋λ)x ＋(5－λ)y －24＝0.
∴
＋λ
＋
－λ－24|
＋λ
2
＋
－λ
2
＝10， 解得λ＝11.
故所求直线方程为3x －y －4＝0. 答案：3x －y －4＝0
10．已知l 1，l 2是分别经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，则直线l 1的方程是________________．
解析：当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2间的距离最大．因为A (1,1)，B (0，－1)，所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以两平行直线的斜率为k ＝－12，所以直线l 1的方程是y －1＝－1
2(x
－1)，即x ＋2y －3＝0.
答案：x ＋2y －3＝0 三、解答题
11．已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4)． (1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标． (2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程．
解：(1)证明：直线l 的方程可化为a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0，
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－2，
y ＝3，
∴直线l 恒过定点(－2,3)．
(2)设直线l 恒过定点A (－2,3)，当直线l 垂直于直线PA 时，点P 到直线l 的距离最大．
又直线PA 的斜率k PA ＝4－33＋2＝1
5，
∴直线l 的斜率k l ＝－5.
故直线l 的方程为y －3＝－5(x ＋2)， 即5x ＋y ＋7＝0.
12．(1)过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程．
(2)光线沿直线l 1：x －2y ＋5＝0射入，遇直线l ：3x －2y ＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程．
解：(1)设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，∴a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.
(2)法1：由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －2y ＋5＝0，3x －2y ＋7＝0，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－1，
y ＝2.
∴反射点M 的坐标为(－1,2)．又取直线x －2y ＋5＝0上一点P (－5，0)，设P 关于直线l 的对称点P ′(x 0，y 0)，由PP ′⊥l 可知，
k PP ′＝－2
3
＝
y 0
x 0＋5
.
而PP ′的中点Q 的坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫x 0－52
，y 02，又Q 点在l 上，∴3·x 0－52－2·y 02＋7＝0.
由⎩⎪⎨⎪⎧
y 0
x 0
＋5＝－2
3
，32x 0
－－y 0
＋7＝0.
得⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝－1713，y 0
＝－32
13
.
根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x －2y ＋33＝0. 法2：设直线x －2y ＋5＝0上任意一点P (x 0，y 0)关于直线l 的对称点为P ′(x ，y )，则
y 0－y x 0－x ＝－23，又PP ′的中点Q ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋x 02，y ＋y 02 在l 上，∴3×x ＋x 0
2－2×y ＋y
2＋7＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧
y 0－y x 0
－x ＝－2
3，3×x ＋x
2－y ＋y
＋7＝0.
可得P 点的横、纵坐标分别为
x 0＝－5x ＋12y －42
13，
y 0＝
12x ＋5y ＋28
13
，
代入方程x －2y ＋5＝0中，化简得29x －2y ＋33＝0， ∴所求反射光线所在的直线方程为29x －2y ＋33＝0.
1．若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )
A ．3 2
B ．2 2
C ．3 3
D ．4 2
解析：依题意知，AB 的中点M 的集合为与直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0距离相等的直线，则M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．
设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0，根据平行线间的距离公式得|m ＋7|2＝
|m ＋5|
2⇒|m ＋7|＝|m ＋5|⇒m ＝－6，即l ：x ＋y －6＝0，根据点到直线的距离公式，得中点M 到原点的距离的最小值为|－6|
2
＝3 2.
答案：A
2．(2017·长治模拟)已知P 1(a 1，b 1)与P 2(a 2，b 2)是直线y ＝kx ＋1(k 为常数)上两个不
同的点，则关于x 和y 的方程组⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1x ＋
b 1y ＝1，
a 2x ＋
b 2y ＝1的解的情况是( )
A ．无论k ，P 1，P 2如何，总是无解
B ．无论k ，P 1，P 2如何，总有唯一解
C ．存在k ，P 1，P 2，使之恰有两解
D ．存在k ，P 1，P 2，使之有无穷多解
解析：因为P 1(a 1，b 1)与P 2(a 2，b 2)是直线y ＝kx ＋1(k 为常数)上两个不同的点，所以
⎩
⎪⎨
⎪⎧
b 1＝ka 1＋1，
b 2＝ka 2＋1，即⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1k ＋
b 1
－＝－1，a 2k ＋b 2－
＝－1，
因此关于x 和y
的方程组⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1x ＋
b 1y ＝1，
a 2x ＋
b 2y ＝1有一组解为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－k ，
y ＝1.
答案：B
3．在平面直角坐标系内，到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．
解析：如图，设平面直角坐标系中任一点P ，P 到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和为PA ＋PB ＋PC ＋PD ＝PB ＋PD ＋PA ＋PC ≥BD ＋AC ＝QA ＋QB ＋QC ＋QD ，故四边形ABCD 对角线的交点Q 即为所求距离之和最小的点．∵A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)，∴直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)．由
⎩
⎪⎨
⎪⎧
y －2＝x －，
y －5＝－x －
，
得Q (2,4)．
答案：(2,4)
4．已知直线l 1：x ＋a 2
y ＋1＝0和直线l 2：(a 2
＋1)x －by ＋3＝0(a ，b ∈R )． (1)若l 1∥l 2，求b 的取值范围； (2)若l 1⊥l 2，求|ab |的最小值．
解：(1)因为l 1∥l 2，所以－b －(a 2＋1)a 2＝0，即b ＝－a 2(a 2＋1)＝－a 4－a 2
＝－⎝
⎛⎭⎪⎫a 2＋122
＋14
，因为a 2≥0，所以b ≤0.又因为a 2
＋1≠3，所以b ≠－6.故b 的取值范围是(－∞，－6)∪(－6,0]．
(2)因为l 1⊥l 2，所以(a 2＋1)－a 2
b ＝0，显然a ≠0，所以ab ＝a ＋1a
，|ab |＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪a ＋1a ≥2，
当且仅当a ＝±1时等号成立，因此|ab |的最小值为2.。