随机振动--第7章-功率谱密度

Cx

2 x

2 Rx x 2 x
2 2 Rx x x
0时， 1随机变量与它自身是完全相关的
2 2 2 Rx 0 x x x
时，两个随机变量之间将不再相关 前提：不是周期函数
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自相关函数Rx(τ)描述“平均功率”随时差τ的变化 →“平均功率”的时间结构。 功率谱密度S x(f)：描述“平均功率”在频域（谱 域）的分布→频率结构。 二者在不同的域（时域或频域）反映着同一个统计 特性。在不同的场合，各有所长，相辅相成。
一、自功率谱密度函数 二、互功率谱密度函数
9
自相关函数的傅里叶变换

对于平稳过程：
1 * sxy lim E X Y T T T T
S ( f ) R ( )e i 2f d yx yx R yx ( ) S yx ( f )e i 2f df
31
定义：
S xy f Rxy e j 2 f d



S yx Ryx e j d
2
25
7.3 窄带随机过程与宽带随机过程
窄带过程是功率谱Sx(ω)具有尖峰特性 ,并且只 在该尖峰附近的一个窄频带内 Sx(ω) 才取有意 义的量级。
典型的例子是随机信号通过窄带滤波器后所得到的结 果。窄带过程最极端的情形是相位随机变化的正弦 波，他的谱线是对称分布的两个δ函数。
26
宽带过程是指功率谱Sx(ω)在相当宽的频带上取有意义的 量级。
22
例如。。。
例 2 ：如图的自功率 谱函数，求其自相关 函数。
f f i 2f Rxx ( ) S 0 e df e i 2f df f f
1 2 2 1
f f i 2f df ei 2f df S0 e f f f 2S 0 cos2f df f 2S 0 sin ( f 2 f1 ) cos ( f1 f 2 )
1 lim T T

T 2 T 2
1 1 xT t dt lim T 2 T
2



X T d
2
1 = 2
1 E X t 2
2 x 2
2 1 X T d Tlim T

2 1 E X T d Tlim T
30
7.4 互功率谱密度函数
类似于自功率谱 的定义，定义互 相关的傅氏变换 为互功率谱密度 函数，相应地， 互功率谱密度函 数的傅氏逆变换 为互相关函数
S ( f ) R ( )e i 2f d xy xy R xy ( ) S xy ( f )e i 2f df
1 Rx 2


维纳—辛钦关系式

S x e j d

自然频率形式
S x f Rx e j 2 f d Rx S x f e j 2 f df

存在上述傅立叶变换的条件： Rx d 一般地，τ↑，Rx(τ) ↓ ∴ Rx(τ)的傅立叶变换一般是存在的。
宽带过程最极端的情形是理想白噪声，它的谱密度是均匀的并且具有 无限的带宽。
理想白噪声：数学抽象，谱密度均匀并且具有无限的带宽，这意味着该 随机过程将具有无限大的能量，这实际是不可能得到的。 实际的随机过程往往是宽带的，并具有大致均匀的分布，但带宽却是有 限的，这类过程常称为限带白噪声。
27
28
典型信号的自谱
（1）Sx(f)≥0 2）

Sx f 是f 的偶函数
j 2 f
S x f Rx e
u
d Rx e j 2 f d


＝


Rx u e
j 2 fu
du Rx u e j 2 fu du S x f
正弦：为一δ函数 窄带：功率谱具有尖峰 宽带：功率谱较宽 白噪声：某一平稳随机过 程包含有0～∝的所有频率 成分，且每个频率所具有 的平均功率大小相等，即 功率谱为平行于横轴的直 线，这样的平稳随机过程 称为白噪声
29
自谱带宽与时间信号衰减的关系？
自相关函数衰减 越快，则自功率 谱带宽越宽 相反，自功率谱 带宽越宽，自相 关函数衰减越快
1 lim T T

T 2 T 2
f x
22
tt dt S x f df

一方面，此式表示平均功率 的时间结构，即各个瞬时的功 率x 2 t 对于平均功率的贡献。 另一方面，又表示了平均功率的频率结构，即各种频率的功 率成分Sx(f)df对于平均功率的贡献，因此称为功率谱。
11

为什么称为“功率谱” ？
2 x t x 设 是作用在R＝1上的电压信号，则 t 是瞬
时功率信号，而平均功率
1 T lim T2 x 2 t dt Rx 0 x2 T T 2
而 Rx 0 S x f df

3
自相关函数的性质1：
⑴ 自相关函数是偶函数
Rx E X t X t E X t X t Rx
4
自相关函数的性质2：
⑵ 周期平稳过程的自相关函数也是周期函数， 其周期与过程的周期相同。
Rx T E X t X t T E X t X t Rx
相似程度 表达随机过程两个不同截口处的两个随机变量之间的 相关程度 自相关函数与原始信号具有相同的周期（频率）、衰 减率（阻尼）动态特性 可用来检测随机过程中是否含有周期成分，或者其信 号特征 自功率谱计算的依据 自相关函数既包含了一个随机过程间隔时间的相关程 度和依赖性，同时也包含了能量大小的信息。不过要 注意，相关性再也不是象相关系数那样能够用-1到1 这样的数来表示相关大小了
12
为什么称为功率谱“密度”




S x ( f ) df

Sx f df
量纲： 功率 频率
x t A sin t Rx Sx f
单位：m 单位：m
2 2
单位：m /Hz
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自谱密度Sx(f)的性质：
S 0 ( )
24
1 2
d R R x x 2 d 2 Sx S x
1 2 E X S d x 2 1 2 4 E X S d x 2 2
5
自相关函数的性质3：
⑶τ=0时的自相关函数就是均方值
Rx E X t X t X t X t Rx 0 E
2 x
6
自相关函数的性质4：
2 ⑷ 如果随机过程不是周期过程，则： lim Rx x
2 2 1 1 1 2

23
例如。。。
例 3 ：如图的自功率 谱函数，求其自相关 f 函数 i 2 f
R xx ( ) S 0 e
f2
2
df

S0

sin 2f 2
若f2趋于无穷大，则为一个 白噪声随机过程：
Rxx ( ) S 0 ei 2f df

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（5） 导数过程的自谱
Sx S x
2
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从Parseval 定理角度来定义功率谱密度
——信号在时域的总能量等与它在频域的总能量



x t dt X f

2

2
2 1 df X d 2
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设 x t 是平稳随机过程的一个样本函数，一般情 况下它不一定能满足绝对可积的条件，为此引入 辅助函数： T T x t , - t 2 2 xT t T 0 , t 2
1 = 2



S x d
2 1 sx lim E X T T T
20
对于各态历经过程：
2 1 sx lim X T T T
21
例如。。。
例1：初相位是随机的正弦随机过程x=x0sin(2πf0t+φ)， 其中 φ是随机变量，取值在0～ 2π范围的等概率密度 的随机变量，求自谱。 由前面自相关函数的求解方法得： 2 x0 Rxx ( ) cos 2f 0 2 2 x S xx ( f ) 0 cos 2f 0e 2fi d 2 2 x0 [ ( f f 0 ) ( f f 0 )] 4
若 x 0，则Rx 0
7
自相关函数的性质5：
⑸ 自相关函数是一个有界函数
1 1
2 2 2 2 2 x x Rx Rx 0 x x x
一般τ越大，则两时刻的随机变量X(t1)和X(t1+τ)之 间的相关性愈差。 τ↑，Rx(τ)↓。
0
功率谱密度
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（3）随机过程的自谱在整个频域上的积分等于 随机过程的均方值。
Rx 0 S x f df
2 x
（4） 双边谱 S x f ，f ， 工程上，把自谱定义在正半轴上，称为单边谱。
2 S x f , Gx f 0, f 0 f 0
S x Rx e


j
d
j
1 Rx 2



S x e
d
维纳—辛钦关系式
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7.2 自功率谱密度函数
定义：用符号Sx(ω)记作Rx(τ)的傅立叶变换 S x Rx e j d



14
S x f Rx cos 2 f j sin 2 f d Rx cos 2 f d



Rx 是实函数 S x f 也是实函数
相应地，
Rx ＝2 S x f cos 2 f df
根据Parseval 定理



xT t dt
2
T 2 T 2
1 xT t dt 2
2



X T d
2
2 1 T 1 1 2 2 X T d T xT t dt 2 T T 2
19
T , xT t x t
第7章 功率谱密度函数
7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 自相关的物理意义及其傅里叶变换 自功率谱密度函数及其性质 窄带随机过程与宽带随机过程 互功率谱密度函数及其性质 共相谱、正交谱和相干函数
1
7.1 自相关的物理意义及其傅里叶变换
2
自相关函数的物理意义
可以表达现在的波形与时间坐标平移后的波形之间的