湘教版九年级多媒体课堂教学课件专项提分练五 锐角三角函数

∴BC＝
AB2＋CD2
＝
21
，∴cos C＝DBCC
＝2 3 21
＝2 7 7 .
【变式1】如图，在Rt△ABC中，BD⊥AC，cos C＝31 ，AB＝6，CD＝ 3 .求S△ABC.
【解析】在Rt△ABD中，∠ADB＝90°， ∵∠C＋∠CBD＝90°，∠CBD＋∠ABD＝90°，∴∠C＝∠ABD， ∴cos ∠ABD＝cos C＝13 ，∴cos ∠ABD＝BADB ＝31 ， ∵AB＝6，∴BD＝2， 在Rt△ABD中，根据勾股定理得：AD＝ AB2－BD2 ＝4 2 ， ∵CD＝ 3 ，∴AC＝4 2 ＋ 3 ， ∴S△ABC＝12 BD·AC＝12 ×2×(4 2 ＋ 3 )＝4 2 ＋ 3 .
角α的邻边
作cot
α，即cot
α＝ 角α的对边
＝BACC
.根据上述角的余切定义，解下列问题：
(1)cot 30°＝________； (2)如图，已知tan A＝34 ，其中∠A为锐角，试求cot A的值．
【解析】(1)∵Rt△ABC中，α＝30°，∴BC＝21 AB，即AB＝2BC， ∴AC＝ AB2－BC2 ＝ （2BC）2－BC2 ＝ 3 BC，∴cot 30°＝ABCC ＝ 3 . (2)∵tan A＝BACC ＝43 ，∴设BC＝3k，AC＝4k，∴cot A＝BACC ＝43kk ＝43 .
又∵tan A＝BACC
，∴BC＝AC·tan
A＝30×
3 3
＝10
3.
即BC的长为10 3 .
【变式1】如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan ∠BAD ＝34 ，求sin C的值．
【解析】∵在直角△ABD中，tan ∠BAD＝BADD ＝34 ， ∴BD＝AD·tan ∠BAD＝12×34 ＝9， ∴CD＝BC－BD＝14－9＝5， ∴AC＝ AD2＋CD2 ＝ 122＋52 ＝13， ∴sin C＝AADC ＝1123 .
【变式2】如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tan ∠B＝cos ∠DAC.
(1)求证：AC＝BD； (2)若sin ∠C＝1123 ，BC＝12，求AD的长．
【解析】(1)证明：∵AD是BC上的高， ∴AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在Rt△ABD和Rt△ADC中，∵tan ∠B＝ABDD ，cos ∠DAC＝AADC ， 又∵tan ∠B＝cos ∠DAC，∴ABDD ＝AADC ，∴AC＝BD.
·类型三 正切
【典例3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，tan
A＝
3 3
，AD＝20.
求BC的长
【解析】∵tan A＝
3 3
，∴∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，
又∵BD平分∠ABC，AD＝20，
∴∠A＝∠ABD＝∠CBD＝30°，∴AD＝BD＝20，∴DC＝10，
即AC＝AD＋DC＝30，
cos ∠BAC 的值为(C )
A．12
B．1
C．
2 2
D．
3 2
13 【变式3】如图，是由边长为1的正三角形组成的网格，则sin ∠AOB＝___1_3____．
10 【变式4】如图，△ABC的三个顶点均在正方形网格格点上，则sin ∠BAC＝__1_0___．
·类型二 余弦 【典例2】如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB＝6，AC＝5 3 ，∠A＝30°
(1)求AD； (2)求cos C.
【解析】(1)在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，AB＝6，∠A＝30°，∴BD＝12 AB＝3，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：AD＝ AB2－BD2 ＝3 3 ；
(2)∵AC＝5 3 ，AD＝3 3 ，∴CD＝AC－AD＝2 3 ，
在Rt△CBD中，∵∠CDB＝90°，BD＝3，CD＝2 3 ，
(2)在Rt△ADC中，sin ∠C＝1123 ，故可设AD＝12k，AC＝13k， ∴CD＝ AC2－AD2 ＝5k， ∵BC＝BD＋CD，AC＝BD，∴BC＝AC＋CD＝13k＋5k＝18k， ∵BC＝12，∴18k＝12，∴k＝23 ，∴AD＝12k＝12×23 ＝8.
拓展：新概念问题
如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记
【变式 2】如图，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，BD⊥AC，AB＝5，BD＝3，求 sin ∠CBD，cos ∠CBD.
【解析】在Rt△ABC中，BD⊥AC，∴∠ADB＝∠CDB＝90°， ∵在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝5，BD＝3， ∴AD＝4，∴cos ∠BAD＝AADB ＝45 ， ∵∠A＋∠ABD＝90°，∠CBD＋∠ABD＝90°， ∴∠A＝∠CBD，∴cos ∠CBD＝cos ∠BAD＝45 ，∴sin ∠CBD＝53 .
【变式3】已知△ABC的一边AC为关于x的一元二次方程x2＋mx＋4＝0的两个正整 数根之一，且另两边长为BC＝4，AB＝6，求cos A.
【解析】x1·x2＝4， 又∵x1，x2为正整数解，∴x1，x2可为1，4或2，2 又∵BC＝4，AB＝6，∴2＜AC＜10，∴AC＝4， ∴AC＝BC＝4，△ABC为等腰三角形， 过点C作CD⊥AB，∴AD＝3，cos A＝AADC ＝34 .
·类型一 正弦
【典例1】(2020·天水中考)如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角， 2
则sin ∠AOB的值是_____2____．
【变式 1】在正方形网格中，小正方形的边长均为 1，∠ABC 如图放置，则 sin ∠ABC
的值为(B )
A．
5 2
B．
5 5
C．
3 3
D．1
【变式 2】如图，A，B，C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为 1，则
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ