中考数学总复习课件：第15讲 二次函数的性质及其图象
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第15讲 二次函数 的性质及其图象
• 1.根据具体情境分析和建立两个变量之 间的二次函数关系，能用表格、表达式、 图象表示变量之间的二次函数关系，并 能根据具体问题，选取适当的方法表示 变量之间的函数关系.
• 2.能根据二次函数的表达式确定二次函 数的开口方向、对称轴和顶点坐标;会作 二次函数的图象，并能根据图象对二次 函数的性质进行分析，逐步积累研究函 数性质的经验.
a>0
a<0
a>0
a<0
性 质
抛物线=x2﹣6x+5的顶点坐标为（ ） A.（3,﹣4） Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ（3,4） C.（﹣3,﹣4） D.（﹣3,4）
点A（2，y1）、B（3，y2）是二次函数y=x2－2x＋1的图象 上两点，则y1与y2的大小关系为y1 ＜ y2（填“＞”、“ ＜”、“=”）． 解析：∵二次函数y=x2﹣2x+1的图象的对称轴是x=1，在对 称轴的右面y随x的增大而增大，∵点A（2，y1）、B（3，y2 ）是二次函数y=x2﹣2x+1的图象上两点，1＜2＜3，∴y1＜ y2。
b
对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
2a
抛物线的主要特征：
①有开口方向；②有对称轴；③有顶点
3、二次函数图像的画法(五点法)：（1）先根据函数解析 式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用 虚线画出对称轴。
（2）求抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴的交点： ①当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A，B
2、二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）中， a、b 、c的含义：
a决定开口方向：a>0时，抛物线开口向上，a<0时，抛 物线bc开表与口示对向抛称下物轴线有与关y：轴对的称交轴点为坐x标 ： 2b（a 0，c） 3、二次函数与一元二次方程的关系：一元二次方程的解是 其对应的二次函数的图像与x轴的交点的横坐标。 因此一元二次方程中的判别式 △ =b2-4ac，决定了二次函 数的图像与x轴是否有交点： 当 △>0时，图像与x轴有两个交点； 当 △=0时，图像与x轴有一个交点； 当 △<0时，图像与x轴没有交点；
x1
x
x2
，那么，首先要看
b 2a
是否在自变量取值范围 x1 x x2 内，若在此范围内，则
当x= b
2a
时，y最值
4ac 4a
b2
；若不在此范围内，则需要考虑函
数在 x1 x x2 范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的
增大而增大，则当 x x2时，y最大 ax22 bx2 c ，当 x x1时，
“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么
一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据
你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关
于x的方程1﹣(x﹣a)(x﹣b)=0的两根，且a＜b，则a、b、m
、n的大小关系是（ ）
A.m＜a＜b＜n
B.a＜m＜n＜b
及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D.将这五个
点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得 到二次函数的图象.
②当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物 线与y轴的交点C及对称点D，由C，M，D三点可粗略地画 出二次函数的草图.如果需要画出比较精确的图象，可再描 出一对对称点A，B，然后顺次连接五点，画出二次函数的 图象.
y最大 ax12 bx1 c；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则
当 x x1 时，y最小 ax12 bx1 c ，当 x x2 时，y最小 ax22 bx2 c .
考点四、二次函数的性质
1 函数 、
二
次
函
数
的 性
图象
质
二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）
二次函数的表达式有三种形式： （1）一般式： y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0） （2）顶点式： y=a(x-h)2+k（a,h,k是常数，a≠0） （3）当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二
次方程ax2+bx+c=0有两个实根x1和x2 ，根据二次三项式 的分解因式 ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，二次函数 y=ax2+bx+c可转化为两根式y=a(x-x1)(x-x2)。如果没有交 点，则不能这样表示。
• 3.理解一元二次方程与二次函数的关系， 并能利用二次函数的图象求一元二次方 程的近似根，并能利用二次函数的相关 知识解决实际问题.
考点一、二次函数的概念和图像
1、二次函数的概念：一般地，如果y=ax2+bx+c（a,b,c是常
数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
2、二次函数的图像：二次函数的图像是一条关于 x
C.a＜m＜b＜n
D.m＜a＜n＜b
解析：解：依题意，画出函数y=(x﹣a)(x﹣b)的图象，
函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分
别为a，b（a＜b）．
方程1﹣(x﹣a)(x﹣b)=0转化为(x﹣a)(x﹣b)=1，方程的两
根是抛物线y=（x﹣a）（x﹣b）与直线y=1的两个交点．
由m＜n，可知对称轴左侧交点横坐标为m，右侧为n．
如果将抛物线y=x2向右平移1个单位，那么所得的抛物线
的表达式是（
）
A.y=x2﹣1
B.y=x2+1
C.y=(x﹣1)2
D.y=(x+1)2
解析：解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0 ，0）向右平移1个单位得到点的坐标为（1，0）， 所以所得的抛物线的表达式为y=(x﹣1)2．
考点二、二次函数的表达式
由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y随x增大而减少，则
有m＜a；在对称轴右侧，y随x增大而增大，则有b＜n．
综上所述，可知m＜a＜b＜n．
考点三、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处
取得最大值（或最小值），即当
x
b 2a
时，y最值
4ac b2 .
4a
如果自变量的取值范围是
补充： 1、平面内两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可 用此方法拓展思路，以寻求解题方法）
如图：点A坐标为（x1，y1） 点B坐标为（x2，y2）
则AB间的距离，即线段AB的长度为
• 1.根据具体情境分析和建立两个变量之 间的二次函数关系，能用表格、表达式、 图象表示变量之间的二次函数关系，并 能根据具体问题，选取适当的方法表示 变量之间的函数关系.
• 2.能根据二次函数的表达式确定二次函 数的开口方向、对称轴和顶点坐标;会作 二次函数的图象，并能根据图象对二次 函数的性质进行分析，逐步积累研究函 数性质的经验.
a>0
a<0
a>0
a<0
性 质
抛物线=x2﹣6x+5的顶点坐标为（ ） A.（3,﹣4） Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ（3,4） C.（﹣3,﹣4） D.（﹣3,4）
点A（2，y1）、B（3，y2）是二次函数y=x2－2x＋1的图象 上两点，则y1与y2的大小关系为y1 ＜ y2（填“＞”、“ ＜”、“=”）． 解析：∵二次函数y=x2﹣2x+1的图象的对称轴是x=1，在对 称轴的右面y随x的增大而增大，∵点A（2，y1）、B（3，y2 ）是二次函数y=x2﹣2x+1的图象上两点，1＜2＜3，∴y1＜ y2。
b
对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
2a
抛物线的主要特征：
①有开口方向；②有对称轴；③有顶点
3、二次函数图像的画法(五点法)：（1）先根据函数解析 式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用 虚线画出对称轴。
（2）求抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴的交点： ①当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A，B
2、二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）中， a、b 、c的含义：
a决定开口方向：a>0时，抛物线开口向上，a<0时，抛 物线bc开表与口示对向抛称下物轴线有与关y：轴对的称交轴点为坐x标 ： 2b（a 0，c） 3、二次函数与一元二次方程的关系：一元二次方程的解是 其对应的二次函数的图像与x轴的交点的横坐标。 因此一元二次方程中的判别式 △ =b2-4ac，决定了二次函 数的图像与x轴是否有交点： 当 △>0时，图像与x轴有两个交点； 当 △=0时，图像与x轴有一个交点； 当 △<0时，图像与x轴没有交点；
x1
x
x2
，那么，首先要看
b 2a
是否在自变量取值范围 x1 x x2 内，若在此范围内，则
当x= b
2a
时，y最值
4ac 4a
b2
；若不在此范围内，则需要考虑函
数在 x1 x x2 范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的
增大而增大，则当 x x2时，y最大 ax22 bx2 c ，当 x x1时，
“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么
一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据
你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关
于x的方程1﹣(x﹣a)(x﹣b)=0的两根，且a＜b，则a、b、m
、n的大小关系是（ ）
A.m＜a＜b＜n
B.a＜m＜n＜b
及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D.将这五个
点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得 到二次函数的图象.
②当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物 线与y轴的交点C及对称点D，由C，M，D三点可粗略地画 出二次函数的草图.如果需要画出比较精确的图象，可再描 出一对对称点A，B，然后顺次连接五点，画出二次函数的 图象.
y最大 ax12 bx1 c；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则
当 x x1 时，y最小 ax12 bx1 c ，当 x x2 时，y最小 ax22 bx2 c .
考点四、二次函数的性质
1 函数 、
二
次
函
数
的 性
图象
质
二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）
二次函数的表达式有三种形式： （1）一般式： y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0） （2）顶点式： y=a(x-h)2+k（a,h,k是常数，a≠0） （3）当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二
次方程ax2+bx+c=0有两个实根x1和x2 ，根据二次三项式 的分解因式 ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，二次函数 y=ax2+bx+c可转化为两根式y=a(x-x1)(x-x2)。如果没有交 点，则不能这样表示。
• 3.理解一元二次方程与二次函数的关系， 并能利用二次函数的图象求一元二次方 程的近似根，并能利用二次函数的相关 知识解决实际问题.
考点一、二次函数的概念和图像
1、二次函数的概念：一般地，如果y=ax2+bx+c（a,b,c是常
数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
2、二次函数的图像：二次函数的图像是一条关于 x
C.a＜m＜b＜n
D.m＜a＜n＜b
解析：解：依题意，画出函数y=(x﹣a)(x﹣b)的图象，
函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分
别为a，b（a＜b）．
方程1﹣(x﹣a)(x﹣b)=0转化为(x﹣a)(x﹣b)=1，方程的两
根是抛物线y=（x﹣a）（x﹣b）与直线y=1的两个交点．
由m＜n，可知对称轴左侧交点横坐标为m，右侧为n．
如果将抛物线y=x2向右平移1个单位，那么所得的抛物线
的表达式是（
）
A.y=x2﹣1
B.y=x2+1
C.y=(x﹣1)2
D.y=(x+1)2
解析：解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0 ，0）向右平移1个单位得到点的坐标为（1，0）， 所以所得的抛物线的表达式为y=(x﹣1)2．
考点二、二次函数的表达式
由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y随x增大而减少，则
有m＜a；在对称轴右侧，y随x增大而增大，则有b＜n．
综上所述，可知m＜a＜b＜n．
考点三、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处
取得最大值（或最小值），即当
x
b 2a
时，y最值
4ac b2 .
4a
如果自变量的取值范围是
补充： 1、平面内两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可 用此方法拓展思路，以寻求解题方法）
如图：点A坐标为（x1，y1） 点B坐标为（x2，y2）
则AB间的距离，即线段AB的长度为