工程力学第九章梁的应力及强度计算

工程力学第九章梁的应力及强度计算-标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII课时授课计划掌握弯曲应力基本概念；掌握弯曲正应力及弯曲剪应力的计算；掌握弯曲正应力的强度计算；掌握弯曲剪应力强度校核。

教学过程：复习：1、复习刚架的组成及特点。

2、复习平面静定刚架内力图的绘制过程。

新课：第九章梁的应力及强度计算第一节纯弯曲梁横截面上的正应力一、纯弯曲横梁截面上的正应力计算公式平面弯曲时，如果某段梁的横截面上只有弯矩M，而无剪力Q = 0，这种弯曲称为纯弯曲。

1、矩形截面梁纯弯曲时的变形观察现象：（1）变形后各横向线仍为直线，只是相对旋转了一个角度，且与变形后的梁轴曲线保持垂直，即小矩形格仍为直角；（2）梁表面的纵向直线均弯曲成弧线，而且，靠顶面的纵线缩短，靠底面的纵线拉长，而位于中间位置的纵线长度不变。

2、假设（1）平面假设：梁变形后，横截面仍保持为平面，只是绕某一轴旋转了一个角度，且仍与变形后的梁轴曲线垂直。

中性层：梁纯弯曲变形后，在凸边的纤维伸长，凹边的纤维缩短，纤维层中必有一层既不伸长也不缩短，这一纤维层称为中性层。

中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。

中性轴将横截面分为两个区域——拉伸区和压缩区。

注意：中性层是对整个梁而言的；中性轴是对某个横截面而言的。

中性轴通过横截面的形心，是截面的形心主惯性轴。

（2）纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维之间无挤压。

各纵向纤维只产生单向的拉伸或压缩。

3、推理纯弯曲梁横截面上只存在正应力，不存在剪应力。

二、纯弯曲横梁截面上正应力分布规律由于各纵向纤维只承受轴向拉伸或压缩，于是在正应力不超过比例极限时，由胡克定律可知ρεσyEE =⋅=通过上式可知横截面上正应力的分布规律，即横截面上任意一点的正应力与该点到中性轴之间的距离成正比，也就是正应力沿截面高度呈线性分布，而中性轴上各点的正应力为零。

三、纯弯曲横梁截面上正应力计算公式梁在纯弯曲时的正应力公式：ZI My=σ 式中：σ——梁横截面上任一点的正应力；M ——该点所在横截面的弯矩；Iz ——横截面对其中性轴z 的惯性矩；矩形Z I =123bh ；圆形Z I =644D πy ——所求正应力点到中性轴的距离。

正应力的单位为：Pa 或MPa ，工程上常用MPa 。

公式表明：梁横截面上任一点的正应力σ与截面上的弯矩M 和该点到中性轴的距离成正比，而与截面对中性轴的惯性矩 IZ 成反比。

在中性轴上（y=0），正应力为零。

离中性轴越远，正应力越大。

在横截面上、下边缘各点处（y=ymax ），正应力达到最大值。

应力σ的正负号直接由弯矩M 的正负来判断。

M 为正时，中性轴上部截面为压应力，下部为拉应力；M 为负时，中性轴上部截面为拉应力，下部为压应力。

第二节 梁的正应力强度条件一、弯曲正应力的强度条件等直梁的最大弯曲正应力，发生在最大弯矩所在横截面上距中性轴最远的各点处，即zW M max max=σ对于工程上的细长梁，强度的主要控制因素是弯曲正应力。

为了保证梁能安全、正常地工作，必须使梁内最大正应力σmax 不超过材料的许用应力[σ]，故梁的正应力强度条件为：][max maxσσ≤=zW M二、常用截面的惯性矩与抗弯截面系数1、常用截面的惯性矩I Z惯性矩是截面各微元面积与各微元至截面上某一指定轴线距离二次方乘积的积分。

它是与截面的形状及尺寸相关的几何量。

123bh I Cz =123hb I Cy =644D I I C C y z π==2、常见截面的抗弯截面系数(d D I I工字型的抗弯截面系数5mm3（2）截面设计当已知荷载和所用材料（即已知M 和 [σ]）时，可根据强度条件，设计截面尺寸。

][maxσM W z ≥求出W Z 后，进一步根据所用梁的截面形状来确定尺寸。

若采用型钢时，则可由型钢表查得所用型钢的型号。

（3）计算许可载荷若已知梁的材料及截面尺寸（即已知[σ]和W Z ），则可根据强度条件确定梁的许用弯矩[M]。

z W M ⋅≤][][σ根据[M]，用平衡条件确定许用外载荷。

在进行上列各类计算时，为了保证既安全可靠又节约材料的原则，设计规范还规定梁内的最大正应力允许稍大于[σ]，但以不超过[σ]的5%为限。

即%5%100][][max <⨯-σσσ3、进行强度计算时应遵循的步骤（1）分析梁的受力，依据平衡条件确定约束力，分析梁的内力（画出弯矩图）。

（2）依据弯矩图及截面沿梁轴线变化的情况，确定可能的危险截面：对等截面梁，弯矩最大截面即为危险截面。

（3）确定危险点（4）依据强度条件，进行强度计算。

第三节 梁的剪应力强度条件一、概念梁在横弯曲作用下，其横截面上不仅有正应力，还有剪应力。

对剪应力的分布作如下假设：(1)横截面上各点处剪应力均与剪力Q 同向且平行； (2)横截面上距中性轴等距离各点处剪应力大小相。

根据以上假设，可推导出剪应力计算公式：bI QS z z*=τ式中:τ—横截面上距中性轴z距离为y处各点的剪应力；Q—该截面上的剪力；b—需求剪应力作用点处的截面宽度；Iz—横截面对其中性轴的惯性矩；Sz*—所求剪应力作用点处的横线以下(或以上）的截面积A*对中性轴的面积矩。

剪应力的单位与正应力一样。

剪应力的方向规定与剪力的符号规定一样。

二、矩形截面横梁截面上的剪应力如图所示高度h大于宽度b的矩形截面梁。

横截面上的剪力Q沿y轴方向作用。

)4(2)]2(21[)2(22*yhbyhyyhbSz-=-+⋅-=将上式带入剪应力公式得：)4(222yhIQz-=τ上式表明矩形截面横梁截面上的剪应力，沿截面高度呈抛物线规律变化。

在截面上、下边缘处y=±h/2,则=0；在中性轴上，y=0，剪应力值最大，其值为AQbhQbhQhIQhyhIQzz5.1231288)4(232222max==⨯==-=τ即AQ5.1max=τ式中：*maxzS——工字形截面中性轴一侧面积对中性轴的惯性矩；max/zzSI——可以直接由型钢表中查取（书P261），代入上式进行计算；b——腹板的宽度，可以查型钢表确定。

四、圆形截面横梁截面上的最大剪应力圆形截面横梁截面上的最大竖向剪应力也都发生在中性轴上，沿中性轴均匀分布。

AQ⋅=34maxτ其它形状的截面上，一般地说，最大剪应力也出现在中性轴上各点。

结合书P161-162 例8-3进行详细讲解。

例1矩形截面简支梁如图,已知：l=2m，h=15cm，b=10cm，h1=3cm，q=3kN/m。

试求A支座截面上K点的剪应力及该截面的最大剪应力。

3*43323625.55.410281012151012cmyScmbhczz=⨯⨯=A==⨯==IMPabSQzzAk252.01010102810102361031433=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=I=τMPaAQ3.01010151035.15.123max=⨯⨯⨯⨯==τ解：1.求剪力：QA=3kN2.求K点剪应力：3.求最大剪应力：A Blqyzohbh1ycK3kN3kNQ图五、梁的剪应力强度校核梁的剪应力强度条件为：][*max max max ττ≤⋅=b I S Q z z在梁的强度计算时，必须同时满足弯曲正应力强度条件和剪应力强度条件。

但在一般情况下，满足了正应力强度条件后，剪应力强度都能满足，故通常只需按正应力条件进行计算。

但在下列几种情况下，还需作剪应力强度校核：（1）梁的跨度很短而又受到很大的集中力作用，或在支座附近作用有较大的集中荷载，此时梁的最大弯矩较小，但最大剪力却很大。

（2）工字梁的腹板宽度很小，或某些铆接或焊接的组合截面钢梁中，其腹板宽度与高度之比小于一般型钢截面的相应值时，此时腹板上的剪应力可能较大。

（3）木梁。

由于木材在顺纹方向的抗剪强度很差，当横截面中性轴上有较大的剪应力时，根据剪应力互等定理，梁的中性层上也产生较大的剪应力，可能使木材沿顺纹方向破坏。

第四节 提高梁弯曲强度的措施一、提高梁弯曲强度的措施根据弯曲正应力的强度公式，减小梁的工作应力的途径：A 、降低最大弯矩值MmaxB 、增加截面的抗弯截面系数W Z（1）合理安排梁的支座与荷当荷载一定时，梁的最大弯矩Mmax 与梁的跨度有关，因此，应合理安排支座。

如果结构允许，应尽可能合理地布置梁上的荷载。

把梁所受的一个集中力分为几个较小的集中力，梁的最大弯矩就会明显减小。

（2）采用合理的截面形1）从应力分布规律考虑应使截面面积较多的部分布置在离中性轴较远的地方。

从应力分布情况看，工字形、槽形等截面形状比面积相等的矩形截面更合理，而圆形截面又不如矩形截面。

凡是中性轴附近用料较多的截面就是不合理截面。

2）从抗弯截面系数W Z考虑应在截面面积相等的条件下，使得抗弯截面系数W Z尽可能地增大(I Z越大越好)，由式Mmax=[σ] W Z可知，梁所能承受的最大弯矩Mmax与抗弯截面系数W Z成反比。

所以，从强度角度看，当截面面积一定时，W Z值越大越有利。

3）从材料的强度特性考虑应合理的布置中性轴位置，使截面上的最大拉应力和最大压应力同时达到材料的容许应力。

对抗拉和抗压强度相等的材料，一般采用对称于中性轴的截面形状，如矩形、工字形、槽形、圆形等。

对抗拉和抗压强度不相等的材料，一般采用菲对称截面形状，使中性轴偏向强度较低的一边，如T字形、槽形等。

（3）等强度梁将梁制成变截面梁，使各截面上的最大弯曲正应力与材料的许用应力[σ]相等或接近。

小结：1、纯弯曲横梁截面上正应力分布规律2、纯弯曲横梁截面上正应力计算公式3、常用截面的惯性矩与抗弯截面系数4、梁的正应力强度条件及应用5、梁的剪应力强度校核6、提高梁弯曲刚度和强度的措施课后作业：书P170 8-1、8-3（d）。