差分与等距节点newton插值

计算x0点附近的值
f
[x0 , x1 ,, xk ]

k f0 k!hk
14
k 1
k 1
k 1
k (x) (x xj ) (x0 th x0 jh) (t j)h
j 0
j0
j0
则插值公式
n
Nn(x) f0 f [x0 , x1 ,, xk ]k (x) k 1
化为
Nn( x) f ( x0 ) f [x0, x1]( x x0 )
f [x0, x1, xn ]( x x0 )( x x1)( x xn1)

f0

1 h f0(x
x0)
2 f0 2!h2
(x
x0 )( x
x1)

n f0 n!hn
(0.00083) 0.54711
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例3 给出 f (x) cos x 在 xk kh, k 0,1,,6, h 0.1 处的函数值，试用4次等距节点插值公式计算 f (0.048) 及 f (0.566) 的近似值并估计误差.
解 根据题意，插值条件为
4!
0.00044
0.00876
0.0502.2949885. 26
由余项公式（4.11）得误差估计
R4 (0.048)

M5 5!
t(t 1)(t 2)(t 3)(t 4) h5
1.5845107 ,
Rn其(x中) Mt(t5(1n)sin1()t!0.6n)h0n.51 f6(5n.1) ( ), (x0, xn ). （4.11）
2 fk fk 1 fk 为f (x)在 xk 处的二阶向前差分
2 fk fk fk 1 为f (x)在 xk 处的二阶向后差分
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3
依此类推
m fk m1 fk 1 m1 fk 为f ( x)在 xk 处的m阶向前差分 m fk m1 fk m1 fk 1 为f ( x)在 xk 处的m阶向后差分
h
0.1
sin 0.57891 0.38942 1.7891 0.090001
1.7891 (1.7891 1) (0.00480) 2!
1.7891 (1.7891 1)(1.7891 2) 3!
(0.00083) 0.54711
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m fk
f f m1 k 1/2
m1 k 1/2
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4
差分
f k
f k
h
h
x k 1
x
k

1
2
xk
x
k

1
2
xk1
x
h
fk
符号，， 分别称为向前差分算子，
向后差分算子及中心差分算子
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引入下列常用算子符号：
Ifk fk Efk fk1
(
x

x0
)(
x

x1
)



(
x

xn1
)
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N n ( x0

th)

f0
tf0

t(t 1) 2!
2
f0

t(t
1)(t n!
n 1) n
f0
此公式为牛顿向前插值公式，其余项为
Rn( x)
f n1( )
(x (n 1)!
x0 )( x
已知 n 1个插值节点：
xk

x0
kh
(k
0,1,, n)
其中 h
xn x0 n
为步长
于是在差商中，分母部分将变得简单，
计算量主要集中在分子（两节点处函数值 的差）。
分析差商的形式，引入差分概念
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2
定义5.5.1. 设f (x)在等距节点xk x0 kh处的函数值为fk ,
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例2 给出正弦函数sinx由x=0.4到0.7的值(h=0.1), 试分别用牛顿前差和后差公式计算sin0.57891 的近似值。
解： 作差分表4―9。
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表 4―９
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利用牛顿前差公式
st x xo 0.57891 0.4 1.7891
f1
f2
x3 f3
f2
f3
x4 f4
f3 f4
二阶差分
2 f0
2 f2
2 f1 2 f3 2 f2 2 f4
三阶差分
3 f0
3 f3
3 f1
3 f4
四阶差分
4 f0
4 f4
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5.5.2、Newton插值公式
1.Newton向前(差分)插值公式
第四节 差分与等距节点newton插值
5.5.1、差分及其性质 5.5.2、等距节点插值公式 5.5.3、例题分析
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一、差分及其性质
在实际应用Newton插值多项式时，经常遇到插值 节点是等距的情况，此时可以简化Newton插值公式。
当插值节点x0,x1,…,xn分布等距时，也即 h=x k+1 -xk, k=0,1,2,…,n-1
1.00000
0.0015.0000000 0.48 (0.00500)
4 f (4 f )
5 f (5 f )
0.99500 0.98007 0.95534 0.92106 0.87758
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0.82534
0.01493
0.00993
(0.48)(0.480.001)0(130.00993)
0.00993 0.00980 0.00955 0.00920 0.00876
3 f (3 f )
0.00013 0.00025 0.00035 0.00044
4 f (4 f )
0.00012 0.00010 0.00009
5 f (5 f )
0.00002 0.00001
x1) ( x
xn )
t(t 1)(t n) hn1 f n1( )
(n 1)!
(x0, xn)
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等距节点插值公式
类似有牛顿向后插值公式
N n ( x) f ( xn ) f [ xn , xn1 ]( x xn ) f [ xn , xn1 , xn2 ]( x xn )( x xn1 ) f [ xn , xn1 , x0 ]( x xn ) ( x x1 )
利用牛顿后差公式
t x xn 0.57891 0.7 1.2109
h
0.1
sin 0.57891 0.64422 (1.2109) 0.07958
(1.2109) (1.2109 1) (0.00563) 2!
(1.2109) (1.2109 1) (1.2109 2) 3!
xkm ]
1 m!
1 hm
m
fk
(m 1,2,, n). (4.7)
同理，对向后差分有
f [ xk , xk1 ,, xkm ]
1 m!
1 hm
m
fk
差分与导数的关系：
f [x0 ,, xn ]
f (n) ( )
, n!
[a, b].
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并称I为恒等算子，E为移位算子，各算子之间如下关系
fk fk1 fk Efk Ifk (E I ) fk
故 (E I ) 同理
1
1
E2 E 2
(I E1)
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差分的性质
性质5.5 常数的差分等于零 性质5.6 函数值可以表示各阶差分
(n 1)!
其中 ( x0 , xn ) . 等距节点插值公式:牛顿向前插值公式、牛 顿向后插值公式。
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三、例题分析
例1 分别作出 f(x)=x2+x+1 的前差和后差表。 解: 前差表见表4―7; 后差表见表4―8
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表 4―7
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表 4―8
xk
0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
f (xk ) 1.00000 0.99500 0.98007 0.95534 0.92106 0.87758 0.82534
为使用牛顿插值公式，先构造差分表.
由于 x 0.048 接近 x0，所以应用牛顿向前插值公式计算
f (0.048) 的近似值.
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性质5.7 各阶差分可以表示函数值.
fnk En fk (I )n fk
n
( Cn j j ) fk . j0
n
fnk En fk Cn j j fk . j0
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性质5.8 均差与差分的关系，
例如， 对向前差分，由定义
11
又
f [xk ,,
xkn ]
1 n!
1 hn
n
fk
f [xk ,, xkn ]
f (n) ( )
n!
n fk hn f n ,

f
n



n fk hn
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差分表
xk fk 一阶差分
x0 f0 x1 f1
f0
f1
x2 f2
k 0,1,, n , 称
fk fk 1 fk k 0,1,,n 1 为f (x)在 xk 处的一阶向前差分
fk fk fk1 k 1,2,,n 为f (x)在 xk 处的一阶向后差分

f
(xi )
f
( xi

h) 2
f
(xi

h) 2
一阶中心差分
f [ xk , xk1]
fk1 fk xk1 xk

fk h
,
f [xk , xk1, xk2 ]
f [xk1, xk2 ] f [xk , xk1] xk2 xk
fk1 fk h h
2h

1 2h2
2
fk ,
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一般地有 f [xk ,,
(注意：表中带下划线的数据为 x0 点的各阶向前差分，双下
划线为 x6点的各阶向后差分 .)
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取 x 0.048, h 0.1, 则 t x x0 0.048 0 0.48,
h
0.1
用表2-4上半部的各阶向前差分，得
f ( xfk )(0.048f) (cfo)s 0.0428f (N2 f4 ()0.0438f) (3 f )
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f ( xk ) 1.00000 0.99500 0.98007 0.95534 0.92106 0.87758 0.82534
f (f ) 0.00500 0.01493 0.02473 0.03428 0.04348 0.05224
2 f (2 f )
0.00980 2
0.00012
0.02473 0.03428 0.04348
0.0310! 9(05.548)(000.4..0080000132)55(0.48
0.00002
0.200)(001.000013)
0.00001
0.010(902.048)(0.48 1)(0.48 0.20)0(000.498 3)(0.00012)
如果节点 x0 , x1 ,, xn是等距节点 ,即
xk

x0

k h, k

0,1,, n, h

b
a n
Newton插值基本公式为
n
Nn(x) f0 f [x0 , x1 ,, xk ]k (x) k 1
如果假设
x x0 th
由差商与向前差分的关系
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作变换x xn th(1 t 0)得：
Nn( x0
th)
fn
tfn

t(t 1) 2 2!
fn

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t(t

1)(t n!

n

1)

n
fn
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余项为：
Rn ( x) f ( x) N n ( xn th)
t(t 1)(t n)hn1 f (n1) ( )
n fk (E I )n fk
n
(1) j Cnj En j fk j0
n
(1) j Cnj fnk j
j0
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n fk (I E1)n fk
n
(1)n j Cnj E jn fk j0
n
(1)n j Cnj fk jn j0