苏教版九年级数学上册 期末试卷综合测试(Word版 含答案)

苏教版九年级数学上册 期末试卷综合测试（Word 版 含答案）
一、选择题
1．已知34
a b
=（0a ≠，0b ≠），下列变形错误的是（ ）
A ．
34
a b = B ．34a b = C ．
43
b a = D ．43a b =
2．抛物线y ＝2(x ﹣2)2﹣1的顶点坐标是( ) A ．(0，﹣1)
B ．(﹣2，﹣1)
C ．(2，﹣1)
D ．(0，1) 3．抛物线2
y 3(x 1)1=-+的顶点坐标是( ) A ．()1,1
B ．()1,1-
C ．()1,1--
D ．()1,1-
4．某中学篮球队12名队员的年龄情况如下： 年龄(单位：岁)
14 15 16 17 18 人数
1
5
3
2
1
则这个队队员年龄的众数和中位数分别是( ) A ．15，16
B ．15，15
C ．15，15.5
D ．16，15
5．二次函数2
2y x x =-+在下列（ ）范围内，y 随着x 的增大而增大．
A ．2x <
B ．2x >
C ．0x <
D ．0x >
6．某天的体育课上，老师测量了班级同学的身高，恰巧小明今日请假没来，经过计算得知，除了小明外，该班其他同学身高的平均数为172cm ，方差为k 2cm ，第二天，小明来到学校，老师帮他补测了身高，发现他的身高也是172cm ，此时全班同学身高的方差为
'k 2cm ，那么'k 与k 的大小关系是（ ）
A ．'k k >
B ．'k k <
C ．'k k =
D ．无法判断
7．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC 的顶点都在格点上，将△ABC 绕点C 顺时针旋转60°，则顶点A 所经过的路径长为( )
A ．10π
B ．103
C ．
103
π D ．π
8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2
1y ax bx =++的图象经过点A ，B ，对系
数a 和b 判断正确的是（ ）
A ．0,0a b >>
B ．0,0a b <<
C ．0,0a b ><
D ．0,0a b <>
9．2的相反数是（ ） A ．12
-
B ．
12
C ．2
D ．2-
10．受益于电子商务发展和法治环境改普等多重因素，“快递业”成为我国经济发展的一匹“黑马”，2018年我国快递业务量为600亿件，预计2020年快递量将达到950亿件，若设快递平均每年增长率为x ，则下列方程中，正确的是（ ） A ．600（1+x ）＝950 B ．600（1+2x ）＝950 C ．600（1+x ）2＝950 D ．950（1﹣x ）2＝600
11．用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ）
A ．2(1)6x -=
B ．2(1)6x +=
C ．2(1)9x +=
D ．2(1)9x -=
12．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac ﹣b 2＜0；②4a+c ＜2b ；③3b+2c ＜0；④m （am+b ）+b ＜a （m≠﹣1），其中正确结论的个数是（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
二、填空题
13．如图是测量河宽的示意图，AE 与BC 相交于点D ，∠B=∠C=90°，测得BD=120m ，DC=60m ，EC=50m ，求得河宽AB=______m ．
14．若a b
b
-
＝
2
3
，则
a
b
的值为________．
15．某企业2017年全年收入720万元，2019年全年收入845万元，若设该企业全年收入的年平均增长率为x，则可列方程____．
16．关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，则m满足的条件是_____. 17．在英语句子“Wish you success”（祝你成功）中任选一个字母，这个字母为“s”的概率是．
18．若点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，则AC＝_____AB（用含无理数式子表示）．
19．如图，曲线AB是顶点为B，与y轴交于点A的抛物线y＝﹣x2+4x+2的一部分，曲线
BC是双曲线
k
y
x
=的一部分，由点C开始不断重复“A﹣B﹣C”的过程，形成一组波浪
线，点P（2018，m）与Q（2025，n）均在该波浪线上，则mn＝_____．
20．△ABC是等边三角形，点O是三条高的交点．若△ABC以点O为旋转中心旋转后能与原来的图形重合，则△ABC旋转的最小角度是____________．
21．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，且a≠0）的图像上部分点的横坐标x和纵坐标y的对应值如下表
x…－10123…
y…－3－3－139…
关于x的方程ax2＋bx＋c＝0一个负数解x1满足k＜x1＜k+1（k为整数），则k＝
________．
22．如图，将二次函数y＝1
2
(x－2)2＋1的图像沿y轴向上平移得到一条新的二次函数图
像，其中A(1，m)，B(4，n)平移后对应点分别是A′、B′，若曲线AB所扫过的面积为12(图中阴影部分)，则新的二次函数对应的函数表达是__________________．
23．某公园平面图上有一条长12cm的绿化带．如果比例尺为1：2000，那么这条绿化带的
实际长度为_____．
24．如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，∠A=110°，则∠BOD 等于________°.
三、解答题
25．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，求两辆车经过这个十字路口时，下列事件的概率： （1）两辆车中恰有一辆车向左转； （2）两辆车行驶方向相同．
26．⊙O 中，直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE ＝1cm ，EB ＝5cm ，且60DEB ∠=︒，求CD 的长．
27．如图，四边形OABC 为矩形，OA =4，OC=5，正比例函数y=2x 的图像交AB 于点D ，连接DC ，动点Q 从D 点出发沿DC 向终点C 运动，动点P 从C 点出发沿CO 向终点O 运动．两点同时出发，速度均为每秒1个单位，设从出发起运动了t s ．
（1）求点D 的坐标；
（2）若PQ ∥OD ，求此时t 的值？ （3）是否存在时刻某个t ，使S △DOP =5
2
S △PCQ ？若存在，请求出t 的值，若不存在，请说明理由；
（4）当t 为何值时，△DPQ 是以DQ 为腰的等腰三角形? 28．解方程： （1）x 2﹣2x ﹣1＝0；
（2）（2x ﹣1）2＝4（2x ﹣1）．
29．如图，矩形OABC 中，O 为原点，点A 在y 轴上，点C 在x 轴上，点B 的坐标为（4,3），抛物线2
38
y x bx c =-
++与y 轴交于点A ，与直线AB 交于点D ，与x 轴交于C E ，两点.
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1个单位长度的速度向点B 运动，与此同
时，点Q 从点A 出发，在线段AC 上以每秒5
3
个单位长度的速度向点C 运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动.连接DP DQ PQ 、、，设运动时间为t （秒）.
①当t 为何值时，DPQ ∆得面积最小？
②是否存在某一时刻t ，使DPQ ∆为直角三角形？若存在，直接写出t 的值；若不存在，请说明理由.
30．如图，在ABC ∆中，90B ∠=︒，5cm AB =，7cm BC =，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，同时，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动(到达点C ，移动停止).
(1)如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，那么几秒后，PQ 的长度等于210cm ？ (2)在(1)中，PQB ∆的面积能否等于27cm ？请说明理由.
31．如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，点A 在x 轴的正半轴上，B 为⊙O 上一点，过点A 、B 的直线与y 轴交于点C ，且OA 2＝AB •AC ．
（1）求证：直线AB 是⊙O 的切线；
（2）若AB 3AB 对应的函数表达式．
32．一个四边形被一条对角线分割成两个三角形，如果被分割的两个三角形相似，我们被称为该对角线为相似对角线．
（1）如图1，正方形ABCD 的边长为4，E 为AD 的中点，1AF =，连结CE .CP ，求
证：EF 为四边形AECF 的相似对角线．
（2）在四边形ABCD 中，120BAD ︒∠=，3AB =，6AC =
，AC 平分BAD ∠，且
AC 是四边形ABCD 的相似对角线，求BD 的长．
（3）如图2，在矩形ABCD 中，6AB =，4BC =，点E 是线段AB （不取端点A ．B ）上的一个动点，点F 是射线AD 上的一个动点，若EF 是四边形AECF 的相似对角线，求BE 的长．（直接写出答案）
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】
根据两内项之积等于两外项之积对各项分析判断即可得解. 【详解】 解：由
34
a b
=，得出，3b=4a, A.由等式性质可得：3b=4a ，正确； B.由等式性质可得：4a=3b ，错误； C. 由等式性质可得：3b=4a ，正确； D. 由等式性质可得：4a=3b ，正确. 故答案为：B. 【点睛】
本题考查的知识点是等式的性质，熟记等式性质两内项之积等于两外项之积是解题的关键.
2．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据二次函数顶点式顶点坐标表示方法，直接写出顶点坐标即可.
【详解】
解：∵顶点式y＝a(x﹣h)2+k，顶点坐标是(h，k)，
∴y＝2(x﹣2)2﹣1的顶点坐标是(2，﹣1)．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数顶点式，解决本题的关键是熟练掌握二次函数顶点式中顶点坐标的表示方法.
3．A
解析：A
【解析】
【分析】
已知抛物线顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）．
【详解】
∵抛物线y=3（x﹣1）2+1是顶点式，∴顶点坐标是（1，1）．
故选A．
【点睛】
本题考查了由抛物线的顶点式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
由题意直接根据众数和中位数的定义求解可得．
【详解】
解：∵这组数据中15出现5次，次数最多，
∴众数为15岁，
中位数是第6、7个数据的平均数，
+÷=15.5岁，
∴中位数为(1516)2
故选：C．
【点睛】
本题考查众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．5．C
解析：C
【解析】
【分析】
先求函数的对称轴，再根据开口方向确定x的取值范围.
【详解】
222(1)1y x x x =-+=--+，
∵图像的对称轴为x=1，a=-10<， ∴当x 1<时，y 随着x 的增大而增大， 故选：C. 【点睛】
此题考查二次函数的性质，当a 0a 0<时，对称轴左增右减，当＞时，对称轴左减右增.
6．B
解析：B 【解析】 【分析】
设该班的人数有n 人，除小明外，其他人的身高为x 1，x 2……x n-1，根据平均数的定义可知：算上小明后，平均身高仍为172cm ，然后根据方差公式比较大小即可． 【详解】
解：设该班的人数有n 人，除小明外，其他人的身高为x 1，x 2……x n-1， 根据平均数的定义可知：算上小明后，平均身高仍为172cm 根据方差公式：()()()22
2
12111721721721n k x x x n -⎡⎤=
-+-++-⎣
⎦
-
()()()()22
22
'1211172172172172172n x x k x n -⎡⎤=-+-++-+-⎣
⎦
()()()22
2
1211172172172n x x x n -⎡⎤=
-+-++-⎣⎦
∵111
n n <- ∴
()()()()()()22
222
2
1211
21111721721721721721721n n x x x x x x n
n --⎡⎤⎡⎤
-+-++-<-+-++-⎣⎦⎣⎦
-即'k k < 故选B ． 【点睛】 此题考查的是比较方差的大小，掌握方差公式是解决此题的关键．
7．C
解析：C 【解析】 【分析】 【详解】 如图所示：
在Rt △ACD 中，AD=3，DC=1， 根据勾股定理得：AC=
2210AD CD +=，
又将△ABC 绕点C 顺时针旋转60°， 则顶点A 所经过的路径长为l=601010
ππ⨯=．
故选C.
8．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据二次函数y=ax 2+bx+1的图象经过点A ，B ，画出函数图象的草图，根据开口方向和对称轴即可判断． 【详解】
解：由二次函数y=ax 2+bx+1可知图象经过点（0，1）， ∵二次函数y=ax 2+bx+1的图象还经过点A ，B ， 则函数图象如图所示，
抛物线开口向下， ∴a ＜0，，
又对称轴在y 轴右侧，即02b
a
-> ， ∴b ＞0， 故选D
9．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据相反数的概念解答即可． 【详解】
2的相反数是-2，
故选D．
10．C
解析：C
【解析】
【分析】
设快递量平均每年增长率为x，根据我国2018年及2020年的快递业务量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】
设快递量平均每年增长率为x，
依题意，得：600(1+x)2=950．
故选：C．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
11．A
解析：A
【解析】
【分析】
方程常数项移到右边，两边加上1变形即可得到结果．
【详解】
方程移项得：x2−2x＝5，
配方得：x2−2x＋1＝6，
即（x−1）2＝6．
故选：A．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
12．B
解析：B
【解析】
【分析】
【详解】
解：∵抛物线和x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，∴①正确；
∵对称轴是直线x﹣1，和x轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，
∴抛物线和x轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a﹣2b+c＞0，
∴4a+c＞2b，∴②错误；
∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c＜0，
∴2a+2b+2c＜0，
∵b=2a，
∴3b，2c＜0，∴③正确；
∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，
∴y=a﹣b+c的值最大，
即把（m，0）（m≠0）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c，
∴am2+bm+b＜a，
即m（am+b）+b＜a，∴④正确；
即正确的有3个，
故选B．
考点：二次函数图象与系数的关系
二、填空题
13．100
【解析】
【分析】
由两角对应相等可得△BAD∽△CED，利用对应边成比例即可得两岸间的大致距离AB的长．
【详解】
解：∵∠ADB=∠EDC，∠ABC=∠ECD=90°，
∴△ABD∽△E
解析：100
【解析】
【分析】
由两角对应相等可得△BAD∽△CED，利用对应边成比例即可得两岸间的大致距离AB的长．
【详解】
解：∵∠ADB=∠EDC，∠ABC=∠ECD=90°，
∴△ABD∽△ECD，
∴AB BD EC CD
=，
即
BD EC AB
CD
⨯
=，
解得：AB=12050
60
⨯
=100（米）．
故答案为100．【点睛】
本题主要考查了相似三角形的应用，用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．
14．【解析】
【分析】
根据条件可知a与b的数量关系，然后代入原式即可求出答案．
【详解】
∵＝，
∴b=a,
∴=,
故答案为：.
【点睛】
本题考查了分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则．
解析：5 3
【解析】
【分析】
根据条件可知a与b的数量关系，然后代入原式即可求出答案．【详解】
∵a b
b
-
＝
2
3
，
∴b=3
5 a,
∴a
b
=
5
33
5
a
a
=
,
故答案为：5 3 .
【点睛】
本题考查了分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则．
15．720（1+x）2=845．
【解析】
【分析】
增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果该企业全年收入的年平均增长率为x，根据2017年全年收入720万元，2019 解析：720（1+x）2=845．
【解析】
【分析】
增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果该企业全年收入的年平均增长率为x，根据2017年全年收入720万元，2019年全年收入845万元，即可得出方程．
【详解】
解：设该企业全年收入的年平均增长率为x，
则2018的全年收入为：720×（1+x）
2019的全年收入为：720×（1+x）2．
那么可得方程：720（1+x）2=845．
故答案为：720（1+x）2=845．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的运用，解此类题的关键是掌握等量关系式：增长后的量=增长前的量×（1+增长率）．
16．【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义ax2+bx+c=0(a≠0),列含m的不等式求解即可.
【详解】
解：∵关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，
∴m-2≠0,
∴m≠
m
解析：2
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义ax2+bx+c=0(a≠0),列含m的不等式求解即可.
【详解】
解：∵关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，
∴m-2≠0,
∴m≠2.
故答案为：m≠2.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念，满足二次项系数不为0是解答此题的关键.
17．【解析】
试题解析：在英语句子“Wishyousuccess!”中共14个字母，其中有字母“s”4个．故其概率为.
考点：概率公式．
解析：
【解析】
试题解析：在英语句子“Wishyousuccess!”中共14个字母，其中有字母“s”4个．故其概率为
42
=
147
.
考点：概率公式．
18．【解析】
【分析】
直接利用黄金分割的定义求解．
【详解】
解：∵点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，
∴AC＝AB．
故答案为:．
【点睛】
本题考查了黄金分割的定义，点C是线段AB的黄金分
【解析】
【分析】
直接利用黄金分割的定义求解．
【详解】
解：∵点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，
∴AC＝
1
2
AB．
故答案为．【点睛】
本题考查了黄金分割的定义，点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，则
1
2
AC
BC
=，
正确理解黄金分割的定义是解题的关键.
19．24
【解析】
【详解】
点B是抛物线y=﹣x2+4x+2的顶点，
∴点B的坐标为（2，6），
2018÷6=336…2，故点P离x轴的距离与点B离x轴的距离相同，∴点P的坐标为（2018，6），
解析：24
【解析】
点B是抛物线y=﹣x2+4x+2的顶点，
∴点B的坐标为（2，6），
2018÷6=336…2，故点P离x轴的距离与点B离x轴的距离相同，∴点P的坐标为（2018，6），
∴m＝6；
点B（2，6）在
k
y
x
=的图象上，
∴k＝6；
即
12
y
x
=，
2025÷6=337…3，故点Q离x轴的距离与当x＝3时，函数
12
y
x
=的函数值相等，
又x＝3时，12
4
3
y==，
∴点Q的坐标为（2025，4），
即n＝4，
∴mn=6424.
⨯=
故答案为24．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征以及二次函数的图象与性质．本题是一道找规律问题．找到点P、Q在A﹣B﹣C段上的对应点是解题的关键．
20．120°．
【解析】
试题分析：若△ABC以O为旋转中心，旋转后能与原来的图形重合，根据旋转变化的性质，可得△ABC旋转的最小角度为180°﹣60°=120°．故答案为120°．
考点：旋转对称图形
解析：120°．
【解析】
试题分析：若△ABC以O为旋转中心，旋转后能与原来的图形重合，根据旋转变化的性质，可得△ABC旋转的最小角度为180°﹣60°=120°．故答案为120°．
考点：旋转对称图形．
21．－3
【解析】
【分析】
首先利用表中的数据求出二次函数，再利用求根公式解得x1，再利用夹逼法可确定x1 的取值范围，可得k．
解:把x=0,y=-3,x=1,y=-1,x=-1,y=-3
解析：－3
【解析】
【分析】
首先利用表中的数据求出二次函数，再利用求根公式解得x1，再利用夹逼法可确定x1的取值范围，可得k．
【详解】
解:把x=0,y=-3,x=1,y=-1,x=-1,y=-3代入y＝ax2＋bx＋c得
3 1 3c
a b c a b c
-=⎧
⎪
-=++⎨
⎪-=-+⎩，解得
1
1
3
a
b
c
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=-
⎩
，∴y=x²+x-3,
∵△=b2-4ac=12-4×1×（-3）=13，
∴
=
，
∵1x<0,
∴1x=−1
＜0，
∵-4≤
-3，
∴
3
2
2 -≤≤-，
∴-
≤ 2.5 -，
∵整数k满足k＜x1＜k+1，
∴k=-3，
故答案为:-3．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是求出二次函数的解析式.
22．y=0.5(x-2)+5
【解析】
解：∵函数y=（x﹣2）2+1的图象过点A（1，m），B（4，n），∴m=（1﹣2）2+1=1，n=（4﹣2）2+1=3，∴A（1，1），B（4，3），过A作AC
解析：y=0.5(x-2)2+5
【解析】
解：∵函数y=1
2
（x﹣2）2+1的图象过点
A（1，m），B（4，n），∴m=1
2
（1﹣2）2+1=11
2
，n=1
2
（4﹣2）2+1=3，∴A（1，11
2
），B（4，3），过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则
C（4，11
2
），∴AC=4﹣1=3．∵曲线段AB扫过的面积为12（图中的阴影部
分），∴AC•AA′=3AA′=12，∴AA′=4，即将函数y=1
2
（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移4
个单位长度得到一条新函数的图象，∴新图象的函数表达式是y=1
2
（x﹣2）2+5．故答案
为y=0.5（x﹣2）2+5．
点睛：本题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识，根据已知得出AA′是解题的关键．
23．240m
【解析】
【分析】
根据比例尺＝图上距离∶实际距离可得实际距离，再进行单位换算．
【详解】
设这条公路的实际长度为xcm，则：
1：2000＝12：x，
解得x＝24000，
24000c
解析：240m
【解析】
【分析】
根据比例尺＝图上距离∶实际距离可得实际距离，再进行单位换算．
【详解】
设这条公路的实际长度为xcm，则：
1：2000＝12：x，
解得x＝24000，
24000cm＝240m．
故答案为240m．
【点睛】
本题考查图上距离实际距离与比例尺的关系，解题的关键是掌握比例尺＝图上距离∶实际距离．
24．140
【解析】
试题解析：：∵∠A=110°
∴∠C=180°-∠A=70°
∴∠BOD=2∠C=140°．
解析：140
【解析】
试题解析：：∵∠A=110°
∴∠C=180°-∠A=70°
∴∠BOD=2∠C=140°．
三、解答题
25．（1）4
9
；（2）
1
3
【解析】
【分析】
此题可以采用列表法求解．可以得到一共有9种情况，两辆车中恰有一辆车向左转的有4种情况，两辆车行驶方向相同有3种情况，根据概率公式求解即可．
【详解】
解：列表得：
相同有3种情况
（1）P（两辆车中恰有一辆车向左转）=4
9
；
（2）P（两辆车行驶方向相同）=31 93 ．
【点睛】
列表法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，列举法适合于两步完成的事件，树状图法适合于两步或两步以上完成的事件．解题时注意看清题目的要求，要按要求解题．概
率=所求情况数与总情况数之比．
26．26（cm）
【解析】
【分析】
先求出圆的半径，再通过作OP⊥CD于P，求出OP长，再根据勾股定理求出DP长，最后利用垂径定理确定CD长度.
【详解】
解：作OP⊥CD于P，连接OD，
∴CP＝PD，
∵AE＝1，EB＝5，∴AB＝6，∴OE＝2，
在Rt△OPE中，OP＝OE•sin∠DEB3，
∴PD22
00
D P
-6，
∴CD＝2PD＝6（cm）．
【点睛】
本题考查了垂径定理，勾股定理及直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造直角三角形及构造出符合垂径定理的条件是解答此题的关键.
27．（1）D（2，4）；（2）
5
2
t=；（3）存在，t的值为2 ；（4）当
1
5
t=或
2
25
11
t=或
325 6
t=时，△DPQ是一个以DQ为腰的等腰三角形
【解析】
【分析】
（1）由题意得出点D的纵坐标为4，求出y=2x中y=4时x的值即可得；
（2）由PQ∥OD证△CPQ∽△COD，得CQ CP
CD CO
=，即
5
55
t t
-
=，解之可得；
（3）分别过点Q、D作QE⊥OC，DF⊥OC交OC与点E、F，对于直线y=2x，令y=4求出x 的值，确定出D坐标，进而求出BD，BC的长，利用勾股定理求出CD的长，利用两对角相等的三角形相似得到三角形CQE与三角形CDF相似，由相似得比例表示出QE，由底PC，
高QE表示出三角形PQC面积，再表示出三角形ODP面积，依据S△DOP=5
2
S△PCQ列出关于t
的方程，解之可得；
（4）由三角形CQE与三角形CDF相似，利用相似得比例表示出CE，PE，进而利用勾股定理表示出PQ2，DP2，以及DQ，分两种情况考虑：①当DQ=DP；②当DQ=PQ，求出t的值
即可． 【详解】 解：（1）∵OA =4
∴把4y =代入2y x =得2x = ∴D （2，4）．
（2）在矩形OABC 中，OA =4，OC=5
∴AB =OC =5，BC =OA =4 ∴BD =3，DC =5 由题意知：DQ =PC =t ∴OP =CQ =5-t ∵PQ ∥OD ∴CQ CP
CD CO =
∴
555
t t
-= ∴52
t =
． （3）分别过点Q 、D 作QE ⊥OC ， DF ⊥OC 交OC 与点E 、F
则DF =OA =4 ∴DF ∥QE ∴△CQE ∽△CDF ∴QE CQ
DF CD
= ∴
545
QE t
-= ∴455
t QE -=
（）
∵ S △DOP =
5
2
S △PCQ
∴151********
t t =t （）（）--⨯⨯⨯ ∴12t =，25t =
当t =5时，点P 与点O 重合，不构成三角形，应舍去
∴t 的值为2．
（4）∵△CQE ∽△CDF
∴QE CQ DF CD
= ∴4(5)5
QE t =- 38(5)355
PE t t t =--=- ∴222216(5)816(3)16252555
t PQ t t t -=+-=-+ 2224(3)DP t =+-
2DQ t =
①当DQ PQ =时，221616255t t t =
-+， 解之得：1225511
t ,t == ②当DQ DP =时，2224(3)t t +-=
解之得：256
t = 答：当15t =或22511t =
或3256t =时，△DPQ 是一个以DQ 为腰的等腰三角形． 【点睛】
此题属于一次函数的综合问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及勾股定理是解本题的关键．
28．（1）x ＝22；（2）x ＝
52
或x ＝12． 【解析】
【分析】
（1）根据配方法即可求出答案．
（2）根据因式分解法即可求出答案．
【详解】
解：（1）∵x 2﹣2x ﹣1＝0，
∴x 2﹣2x +1＝2，
∴（x ﹣2）2＝2，
∴x ＝
．
（2）∵（2x ﹣1）2＝4（2x ﹣1），
∴（2x ﹣1﹣4）（2x ﹣1）＝0，
∴x ＝
52
或x ＝12. 【点睛】 此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知一元二次方程的解法.
29．（1）233384y x x =-
++；（2）① 32t =；
②1234531724,3,,,2617t t t t t ===== 【解析】
【分析】
（1）根据点B 的坐标可得出点A ，C 的坐标，代入抛物线解析式即可求出b ，c 的值，求得抛物线的解析式；
（2）①过点Q 、P 作QF ⊥AB 、PG ⊥AC ，垂足分别为F 、G ，推出△QFA ∽△CBA ，
△CGP ∽△CBA ，用含t 的式子表示OF ，PG ，将三角形的面积用含t 的式子表示出来，结合二次函数的性质可求出最值；②由于三角形直角的位置不确定，需分情况讨论，根据点的坐标，再结合两点间的距离公式用勾股定理求解即可．
【详解】
解：（1）由题意知：A (0,3),C (4,0)，
∵抛物线经过A 、B 两点， ∴3316408
c b c =⎧⎪⎨-⨯++=⎪⎩，解得，343b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的表达式为：233384
y x x =-++． (2)① ∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠B =90O ， ∴AC 2=AB 2+BC 2=5； 由2333384
x x -++=，可得120,2x x ==，∴D （2,3）． 过点Q 、P 作QF ⊥AB 、PG ⊥AC ，垂足分别为F 、G ，
∵∠FAQ =∠BAC ， ∠QFA =∠CBA ，
∴△QFA ∽△CBA ． ∴AQ QF AC BC
=， ∴5335AQ QF BC t t AC =
⋅=⋅=． 同理：△CGP ∽△CBA ，
∴PG CP AB AB =∴CP PG AB AB =⋅，∴45PG t =， 1154162(5)2(3)22352DPQ ABC QAD PQC PBD S S S S S t t t t ∆∆∆∆∆=---=-⨯⨯-⨯-⨯-⨯⨯-222229323323(3)3()3342322
t t t t t =-+=-+-+=-+ 当32t =时，△DPQ 的面积最小.最小值为32
． ② 由图像可知点D 的坐标为(2,3)，AC=5,直线AC 的解析式为：3y 34x =-
+． 三角形直角的位置不确定，需分情况讨论：
当DPG 90∠=︒时，根据勾股定理可得出：
()()22222255552t 3t 3434233434t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-+-++-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 整理，解方程即可得解；
当DGP 90∠=︒时，可知点G 运动到点B 的位置，点P 运动到C 的位置，所需时间为t=3；
当PDG 90∠=︒时,同理用勾股定理得出：
()()22222255552t 3t 3434233434t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-=-++-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
； 整理求解可得t 的值．
由此可得出t 的值为：132t =,23t =,3176t =,42417t =,517145t -=．
【点睛】
本题考查的知识点是二次函数与几何图形的动点问题，掌握二次函数图象的性质是解此题的关键．
30．(1)3秒后，PQ 的长度等于10(2)PQB ∆的面积不能等于27cm .
【解析】
【分析】
（1）由题意根据PQ=10BP 2+BQ 2=PQ 2，求出即可；
（2）由（1）得，当△PQB 的面积等于7cm 2，然后利用根的判别式判断方程根的情况即可；
【详解】 解：(1)设x 秒后，210PQ =，5BP x =-，2BQ x =，
∵222BP BQ PQ +=
∴()()()2
2252210x x -+= 解得：13x =，21x =-(舍去)
∴3秒后，PQ 的长度等于210；
(2)设t 秒后，5PB t =-，2QB t =，
又∵172PQB S BP QB ∆=⨯⨯=，()15272
t t ⨯-⨯=， ∴2570t t -+=，
25417252830∆=-⨯⨯=-=-<，
∴方程没有实数根，
∴PQB ∆的面积不能等于27cm .
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，找到关键描述语“△PBQ 的面积等于27cm ”，得出等量关系是解决问题的关键．
31．（1）见解析；（2）323y x =-
+ 【解析】
【分析】
，
（1）连接OB ，根据题意可证明△OAB ∽△CAO ，继而可推出OB ⊥AB ，根据切线定理即可求证结论；
（2）根据勾股定理可求得OA ＝2及A 点坐标，根据相似三角形的性质可得OB AB CO AO =，进而可求CO 的长及C 点坐标，利用待定系数法，设直线AB 对应的函数表达式为y ＝kx +b ，再把点A 、C 的坐标代入求得k 、b 的值即可．
【详解】
（1）证明：连接OB ．
∵OA 2＝AB •AC ∴OA AB AC OA
=, 又∵∠OAB ＝∠CAO ，
∴△OAB ∽△CAO ，
∴∠ABO ＝∠AOC ，
又∵∠AOC ＝90°，
∴∠ABO ＝90°，
∴AB ⊥OB ；
∴直线AB 是⊙O 的切线；
（2）解：∵∠ABO ＝90°
，AB =OB ＝1，
∴
2OA ===，
∴点A 坐标为（2，0），
∵△OAB ∽△CAO ，
∴
OB AB CO AO =，
即1CO =，
∴CO =
， ∴点
C 坐标为0,3⎛ ⎝⎭
；
设直线AB 对应的函数表达式为y ＝kx +b ，
则02k b b =+⎧=，
∴3k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪
⎩
∴33
y x =-+．
即直线AB
对应的函数表达式为33
y x =-
+． 【点睛】 本题考查相似三角形的判定及性质、圆的切线定理、勾股定理、一次函数解析式等知识，
解题的关键是正确理解题意，求出线段的长及各点的坐标．
32．（1）见解析（2）3）
53或163或3 【解析】
【分析】
（1）根据已知中相似对角线的定义，只要证明△AEF ∽△ECF 即可；
（2）AC 是四边形ABCD 的相似对角线，分两种情形：△ACB ~△ACD 或△ACB ~△ADC ，分别求解即可；
（3）分三种情况①当△AEF 和△CEF 关于EF 对称时，EF 是四边形AECF 的相似对角线．②取AD 中点F ，连接CF ，将△CFD 沿CF 翻折得到△CFD′，延长CD′交AB 于E ，则可得出 EF 是四边形AECF 的相似对角线．③取AB 的中点E ，连接CE ，作EF ⊥AD 于F ，延长CB 交FE 的延长线于M ，则可证出EF 是四边形AECF 的相似对角线．此时BE=3；
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=4，
∵E 为AD 的中点，1AF
=，
∴AE=DE=2， 12
∴==AF AE DE CD ∵∠A=∠D=90°，
∴△AEF ∽△DCE ，
∴∠AEF=∠DCE ，
12
==EF AF CE DE ∵∠DCE+∠CED=90°，
∴∠AEF+∠CED=90°，
∴∠FEC=∠A=90°， 12==AF EF AE EC ∴△AEF ∽△ECF ，
∴EF 为四边形AECF 的相似对角线．
（2）∵AC 平分BAD ∠，
∴∠BAC=∠DAC =60°
∵AC 是四边形ABCD 的相似对角线，
∴△ACB ~△ACD 或△ACB ~△ADC
①如图2，当△ACB ~△ACD 时，此时，△ACB ≌△ACD
∴AB=AD=3，BC=CD，
∴AC垂直平分DB，
在Rt△AOB中，∵AB=3，∠ABO=30°，
33
cos30
233
︒
∴=⋅=
∴==
BO AB
BD OB
②当△ACB~△ADC时，如图3
∴∠ABC=∠ACD
∴AC2=AB•AD，
∵6
AC=3
AB=
∴6=3AD，
∴AD=2，
过点D作DHAB于H
在Rt△ADH中，∵∠HAD=60°，AD=2，
1
1,33
2
∴====
AH AD DH AH
在Rt△BDH中，2222
419
(3)
=+=+=
BD DH BH
综上所述，BD的长为：3319
（3）①如图4，当△AEF和△CEF关于EF对称时，EF是四边形AECF的相似对角线，
设AE=EC=x，
在
Rt△BCE中，∵EC2=BE2+BC2，
∴x2=（6-x）2+42，
解得x=
13
3
，
∴BE=AB-AE=6-
13
3
=
5
3
．
②如图5中，如图取AD中点F，连接CF，将△CFD沿CF翻折得到△CFD′，延长CD′交AB 于E，则 EF是四边形AECF的相似对角线．
∵△AEF∽△DFC，
∴=
AE AF
DF DC
2
26
2
3
16
3
∴=
∴=
∴=-=
AE
AE
BE AB AE
③如图6，取AB的中点E，连接CE，作EF⊥AD于F，延长CB交FE的延长线于M，则EF 是四边形AECF的相似对角线．则 BE=3．
综上所述，满足条件的BE的值为5
3
或
16
3
或3．
【点睛】
本题主要考查了相似形的综合题、相似三角形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。