高考数学压轴专题2020-2021备战高考《矩阵与变换》真题汇编附答案解析

新高中数学《矩阵与变换》专题解析
一、15
1．关于x 的不等式
201
x a x
+<的解集为()1,b -．
()1求实数a ，b 的值；
()2若1z a bi =+，2z cos isin αα=+，且12z z 为纯虚数，求tan α的值．
【答案】（1）1a =-，2b =（2）12
- 【解析】 【分析】
(1)由题意可得:1-,b 是方程220x ax +-=的两个实数根,利用根与系数的关系即可得出答案;
(2)利用(1)的结果得()()1222z z cos sin cos sin i αααα=--+-为纯虚数,利用纯虚数的定义即可得出． 【详解】 解：(1)不等式
2
01x a x
+<即()20x x a +-<的解集为()1,b -． 1∴-,b 是方程220x ax +-=的两个实数根,∴由1b a -+=-，2b -=-，
解得1a =-,2b =． (2)由(1)知
1,2a b =-=,()()()()121222z z i cos isin cos sin cos sin i αααααα∴=-++=--+-为
纯虚数，
20cos sin αα∴--=,20cos sin αα-≠,
解得1
2
tan α=-.
【点睛】
本题考查了行列式,复数的运算法则、纯虚数的定义、一元二次方程的根与系数的关系、一元二次不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
2．解方程：
2364
9
x x
x
=.
【答案】1x = 【解析】 【分析】
根据行列式的运算性质，求得29346x
x x ⨯-⨯=，转化为322()3()12
3
x
x
⨯-⨯=，令
3()2x t =，得到方程1
231t t ⨯-⨯=，进而即可求解
【详解】
根据行列式的运算性质，可得
23293449x
x x
x
=⨯-⨯，即29346x x x ⨯-⨯=，
方程两边同除6x ，可得322()3()12
3
x
x
⨯-⨯=，
令3()2
x
t =，且0t >，则21()3
x
t =，可得1231t t
⨯-⨯=，解3
2
t =或1t =-（舍去）， 即33
()2
2
x
=
，解得1x =. 故答案为：1x =. 【点睛】
本题主要考查了行列式的运算性质，以及指数幂的运算和一元二次方程的应用，其中解答中熟记行列式的运算性质，结合指数幂的运算和一元二次方程的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能，属于基础题.
3．解方程组()320
21mx y x m y m +-=⎧⎨+-=⎩
，并求使得x y >的实数m 的取值范围.
【答案】()1,3 【解析】 【分析】
计算出行列式D 、x D 、y D ，对D 分0D ≠和0D =两种情况分类讨论，求出方程组的解，再由x y >列出关于m 的不等式，解出即可. 【详解】 由题意可得()()236232
1
m D m m m m m =
=--=+--，23
21
x D m m m =
=---，
()()224222
y m D m m m m
=
=-=-+.
①当0D ≠时，即当2
60m m --≠时，即当2m ≠-且3m ≠时，1323x y D x D m D m y D m ⎧
==⎪⎪-⎨-⎪==⎪-⎩
.
x y >
Q ，则()()()2
2221
33m m m ->--，即()2
21
30m m ⎧-<⎪⎨
-≠⎪⎩
，解得13m <<；
②当2m =-时，方程组为2320
232
x y x y -+-=⎧⎨-=-⎩，则有232x y -=，该方程组有无穷多解，
x y >不能总成立；
③当3m =时，方程组为33202230x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，即203
30
2x y x y ⎧+-=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩
，该方程组无解.
综上所述，实数m 的取值范围是()1,3. 【点睛】
本题考查二元一次方程组的求解，同时也考查了分式不等式的求解，在解题时要注意对系数行列式是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.
4．解方程组()sin cos 2cos 0cos cos 2sin x y x y ααα
απααα-=⎧≤≤⎨+=⎩
.
【答案】见解析. 【解析】 【分析】
求出行列式D 、x D 、y D ，对D 分0D ≠和0D =两种情况分类讨论，利用方程组的解与行列式之间的关系求出方程组的解，或者将参数的值代入方程组进行求解，由此得出方程组的解. 【详解】
由题意得()sin cos2cos cos2sin cos cos2D ααααααα=+=+，
()cos cos2sin cos2sin cos cos2x D ααααααα=+=+， 22sin cos cos2y D ααα=-=-. 0απ≤≤Q ，022απ∴≤≤.
①当0D ≠时，即当cos20α≠时，即当22
π
α≠且322π
α≠
时，即当4πα≠且34
πα≠时，
11sin cos x y D x D
D y D αα⎧
==⎪⎪⎨
⎪==-⎪+⎩
； ②当4πα=
时，方程组为22
22
x x =
⎪⎪
⎪
=⎪⎩
，则该方程组的解为1x y R =⎧⎨∈⎩
；
③当34πα=
时，方程组为2
2
2
2
x x =-⎪
⎪⎨
⎪-=
⎪⎩，该方程组的解为1x y R =-⎧⎨∈⎩
. 【点睛】
本题考查二元一次方程组的求解，解题时要对系数行列式是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.
5．用行列式解方程组252,23,24 1.x y z y z x y z ++=-⎧⎪
--=⎨⎪++=-⎩
【答案】1337313x y z ⎧=⎪⎪
⎪=-⎨⎪
⎪=-⎪⎩
【解析】 【分析】
先根据方程组中x ，y ，z 的系数及常数项求得D ，x D ，y D ，z D ，再对a 的值进行分类讨论，并求出相应的解． 【详解】
方程组可转化为：125202324111x y z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎦
--⎣，
191
2
502241
D =-=-， 1392253
2141x D --=-=-，
125
03
2211
21y D --==--，131
2
20324
1
z D ---==-，
所以13,37,31.3x y z D x D D y D D z D ⎧
==⎪⎪
⎪
==-⎨⎪
⎪==-⎪⎩
【点睛】
本题考查三元一次方程组的矩阵形式、线性方程组的行列式求解，考查运算求解能力．
6．不等式2
1101
x x
b
a x
a ->-的解是12x <<，试求a ，
b 的值. 【答案】1
2
a =-，1
b =-或1a =-，2b =- . 【解析】 【分析】
将行列式展开，由行列式大于0，即ax 2+（1+ab ）x +b ＞0，由1和2是方程ax 2+（1+ab ）x +b ＝0的两个根，由韦达定理可知，列方程组即可求得a 和b 的值． 【详解】
2111
x x
b a x
a
-=-x 2×（﹣a ）×（﹣1）+x +abx ﹣x 2×（﹣a ）﹣ax 2﹣（﹣1）×b ＝ax 2+（1+ab ）x +b ＞0，
∵不等式的解为1＜x ＜2，
∴a ＜0，且1，2为一元二次方程：ax 2+（1+ab ）x +b ＝0的两个根，
由韦达定理可知：11212ab a
b a +⎧
+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩
，整理得：2a 2+3a +1＝0，
解得：12a b =-⎧⎨=-⎩或121
a b ⎧
=-⎪⎨⎪=-⎩，
故a ＝﹣1，b ＝﹣2或a 1
2
=-，b ＝﹣1． 【点睛】
本题考查行列式的展开，考查一元二次不等式与一元二次方程的关系及韦达定理，考查计算能力，属于中档题．
7．已知P :
矩阵图511
0x x ⎛⎫+
⎪
+ ⎪ ⎝的某个列向量的模不小于2；Q :行列式
114
2031
2
1
m
x ----中元素1-的代数余子式的值不大于2,若P 是Q 成立的充分条件,求实数m 的取值范围.
【答案】[2,)+∞ 【解析】 【分析】
先根据行列式中元素1-的代数余子式的值求出P ，再根据矩阵图某个列向量的模不小于2求出Q ，结合P 是Q 成立的充分条件可得实数m 的取值范围. 【详解】
因为矩阵图511
0x x ⎛⎫+
⎪+ ⎪ ⎝的某个列向量的模不小于2，所以5
21x x +≥+，解得 13x -≤≤；
因为行列式1
1
4
2
031
2
1
m
x ----中元素1-的代数余子式的值不大于2，所以23
2321
1
m
m x x --=-+≤，即21m x ≤-； 因为P 是Q 成立的充分条件，所以213m -≥，解得2m ≥；故实数m 的取值范围是[2,)+∞.
【点睛】
本题主要考查矩阵和行列式的运算及充分条件，明确矩阵和行列式的运算规则是求解的关键，充分条件转化为集合的包含关系，侧重考查数学运算的核心素养.
8．设点(,)x y 在矩阵M 对应变换作用下得到点(2,)x x y +． （1）求矩阵M ；
（2）若直线:25l x y -=在矩阵M 对应变换作用下得到直线l '，求直线l '的方程．
【答案】（1）2011⎡⎤
⎢⎥⎣⎦；（2）3x -4y -10=0. 【解析】 【分析】
（1）设出矩阵M ，利用矩阵变换得到关于x 、y 的方程组，利用等式恒成立求出矩阵
M ；
（2）设点(,)x y 在直线l 上，利用矩阵变换得到点(,)x y ''，代入直线l 中，求得直线l '的方
程． 【详解】
解：（1）设a b M c d ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
， 由题意，2a b x x M c d y x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦
g ， 所以2ax by x +=，且cx dy x y +=+恒成立； 所以2a =，0b =，1c =，1d =；
所以矩阵2011M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
； （2）设点(,)x y 在直线l 上，
在矩阵M 对应变换作用下得到点(,)x y ''在直线l '上， 则2x x '=，y x y '=+，所以12x x =
'，1
2
y y x ='-'； 代入直线:25l x y -=中，可得34100x y '-'-=； 所以直线l '的方程为34100x y --=． 【点睛】
本题考查了矩阵变换的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
9．证明：（1）
1
112
2212
a b a a a b b b =； （2）
12
121
1
2
22
2
a ka
b kb a b a b a b ++=. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】 【分析】
（1）根据行列式的运算，分别化简得1
1121222a b a b b a a b =-，12122112
a a
a b a b b b =-，即可求解；
（2）根据行列式的运算，分别化简得
1212
122122a ka b kb a b a b a b ++=-，1
1
12212
2
a b a b a b a b =-，即可求解. 【详解】
（1）根据行列式的运算，可得
1112122
2a b a b b a a b =-，12122112
a a
a b a b b b =-，
所以
1
112
2212
a b a a a b b b =. （2）根据行列式的运算，可得
1212
12212222
()()a ka b kb a ka b b kb a a b ++=+-+ 122221221221()()a b ka b a b ka b a b a b =+-+=-，
又由
1
112212
2
a b a b a b a b =-，所以121211
2222a ka b kb a b a b a b ++=.
【点睛】
本题主要考查了行列式的运算及其应用，其中解答中熟记行列式的运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
10．已知关于x ,y 的一元二次方程组：22
3(1)21mx y x m y m +=⎧⎨+-=+⎩
，当实数m 为何值时，并
在有解时求出方程组的解. （1）方程组有唯一解？ （2）方程组无解？ （3）方程组有无穷多解？
【答案】（1）2m ≠-且3m ≠，23233x m
m y m ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩
；（2）3m =；（3）2m =-
【解析】 【分析】
分别求出二元一次方程组对应的,,x y D D D ，再根据有唯一解、无解、无穷多解情况求解即可； 【详解】 一元二次方程组：22
3(1)21mx y x m y m +=⎧⎨+-=+⎩
对应的
()()22
63231
m D m m m m m =
=--=-+-
()2222211x D m m m =
=-++-，()()2
232321
y m D m m m ==-++
（1）当0D ≠时，方程组有唯一解，即3m ≠且2m ≠-，此时23233x y D x D m
D m y D m ⎧
==⎪⎪-⎨-⎪==⎪-⎩
，即
23233x m
m y m ⎧=⎪⎪-⎨
-⎪=⎪-⎩
； （2）方程组无解的情况等价于0D =时，0x D ≠或者0y D ≠，即只有3m =时符合情况；
（3）方程组有无穷多解等价于0,0,0x y D D D ===，符合的解只有2m =- 【点睛】
本题考查二元一次方程组用二阶行列式求解解的情况，属于中档题
11．已知向量102
11
2A ⎡
⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
u r ，求矩阵1A -u r 的特征值和属于该特征值的特征向量.
【答案】特征值：1,2-；对应特征向量：12⎛⎫ ⎪-⎝⎭，11⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
【解析】 【分析】
先求得1
A -u r
，以及其特征多项式()f
λ，令()0f λ=解得特征值，最后根据特征向量的定
义求解即可. 【详解】 设1
A
-u r
a b c d ⎛⎫= ⎪
⎝⎭，则由A u r 1A -u r E =r 可得 10? 1?
02 10? 1?1? 2a b c d ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪
⎝
⎭，
解得1,1,2,0a b c d =-=-=-=， 故得1
A
-u r 1? 12? 0--⎛⎫= ⎪-⎝⎭
. 则其特征多项式()()1? 1?
122? f λλλλλ
+=
=+-，
令()0f
λ=，可得特征值为121,2λλ==-.
设11λ=对应的一个特征向量为x y α⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
则由1
1A λαα-=r
，的
2y x =-，令1x =，则2y =-
故矩阵1
A -u r 的一个特征值11λ=对应的一个特征向量为12⎛⎫ ⎪-⎝⎭；
同理可得矩阵1
A -u r 的一个特征值22λ=-对应的一个特征向量为11⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
【点睛】
本题考查矩阵特征值和特征向量的求解，属中档题.
12．用行列式讨论下列关于x 、y 、z 的方程组121ax y z x y az x y z --=⎧⎪
+-=⎨⎪--=⎩
的解的情况，并求出相应
的解.
【答案】（i ）当1a ≠±时有唯一解.∴方程组的解为：02131x a y a z a ⎧
⎪=⎪
-⎪
=⎨+⎪
⎪=-⎪+⎩
；
（ii ）当1a =-时，无解；
(iii) 当1a =时,有无穷多解.∴通解为：3212x t y z t ⎧
=+⎪⎪
⎪
=⎨⎪=⎪⎪⎩
.
【解析】 【分析】
首先由二元一次方程组得到矩阵：,,,x y z D D D D ，然后根据条件判断a 的不同取值方程组解的情况，并分类讨论. 【详解】
方程组可转化为： 1 111 1 21 1 11a x a y z --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥
-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
2 1 1
1 1 1(1)(1)1 1 1
a D a a a a --=-=-=-+---,
21 1 1 1 1 1 12 1 0, 1 2 32, 1 1 2331 1 1
1 1 1
1 1 1
x y z a a D a D a a a D a ----=-==-=-+==-----Q
（i ）当1a ≠±时有唯一解.∴方程组的解为：02131x a y a z a ⎧
⎪=⎪
-⎪
=⎨+⎪
⎪=-⎪+⎩
；
（ii ）当1a =-时，无解；
(iii ) 当1a =时,有无穷多解.∴通解为：3212x t y z t ⎧=+⎪⎪
⎪
=⎨⎪=⎪⎪⎩
.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组和矩阵形式、以及行列式值的计算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.
13．已知二阶矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值1λ=-所对应的一个特征向量为13-⎡⎤
⎢⎥⎣⎦. （1）求矩阵M ；
（2）设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线C '的方程为2y x =，求曲线C 的方程.
【答案】（1）2130M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
（2）2
92y x x =-
【解析】 【分析】
（1）根据特征值和特征向量的定义式写出相应的矩阵等式，转化成线性方程组可得,a b 的值，即可得到矩阵M ；
（2）根据矩阵对应的变换写出对应的矩阵恒等式，通过坐标转化计算可得出曲线C 的方程． 【详解】
解：（1）依题意得111333a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， 即31333a b -+=⎧
⎨
-+=-⎩，解得2
0a b =⎧⎨=⎩，
所以2130M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
；
（2）设曲线C 上一点(,)P x y 在矩阵M 的作用下得到曲线2y x =上一点(
)
,P x y '
''
，
则2130x x y y ''⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦⎣⎦，即23x x y
y x ''=+⎧⎨=⎩， 因为2
y x ''
=，所以2
92x x y =+， 所以曲线C 的方程为2
92y x x =-． 【点睛】
本题主要考查特征值和特征向量的定义计算的能力，以及矩阵对应的变换得出变换前的曲线方程，本题属中档题．
14．已知矩阵14a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
A ，A 的两个特征值为12λ=，2λ=3.
（1）求a ，b 的值；
（2）求属于2λ的一个特征向量α. 【答案】（1）1a =，2b =；（2）11α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
u r
. 【解析】 【分析】
（1）利用特征多项式，结合韦达定理，即可求a ，b 的值； （2）利用求特征向量的一般步骤，可求出其对应的一个特征向量． 【详解】
（1）令2()()(4)(4)4014
a b
f a b a a b λλλλλλλ--=
=--+=-+++=-， 于是124a λλ+=+，124a b λλ=+．解得1a =，2b =. （2）设x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
u r
，则122331443x x y x x A y x y y y α+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
r
， 故2343x y x x y y +=⎧⎨
-+=⎩解得x y =．于是11α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦r ．
【点睛】
本题主要考查矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力及函数与方程思想，属于基础题．
15．已知矩阵120A x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，5723B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，B 的逆矩阵1
B -满足17177AB y --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. （1）求实数x ，y 的值；
（2）求矩阵A 的特征值和特征向量.
【答案】（1）1,3x y ==；（2）特征值为2-和1，分别对应一个特征向量为21-⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
，11⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. 【解析】 【分析】
（1）计算()1
AB B -，可得12514721y y -⎡⎤⎢⎥--⎣⎦
，根据()1A AB B -=，可得结果.
（2）计算矩阵A 的特征多项式()12
1f λλλ
+-=
-，可得2λ=-或1λ=，然后根据
Ax x λ=r r
，可得结果.
【详解】 （1）因为1
7177AB
y --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，5723B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
所以(
)1
7175712723514721AB
B y y y ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦
由(
)1
A AB
B -=，所以12120514721x y y --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
所以514172103
y x x y y -==⎧⎧⇒⎨
⎨-==⎩⎩
（2）矩阵A 的特征多项式为：
()()()()12
12211f λλλλλλλ
+-==+-=+--
令()0f λ=，解得2λ=-或1λ= 所以矩阵A 的特征值为2-和1. ①当2λ=-时，
12222102x x x y x
y y x y
--+=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎧=-⇒⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩ 令1y =，则2x =-，
所以矩阵M 的一个特征向量为21-⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
. ②当1λ=时，
12210x x x y x
y y x y
--+=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎧=⇒⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩
令1y =，则1x =
所以矩阵M 的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. 因此，矩阵A 的特征值为2-和1，
分别对应一个特征向量为21-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
【点睛】
本题考查矩阵的应用，第（1）问中，关键在于(
)1
A AB
B -=，第（2）问中，关键在于
()12
01f λλλ
+-==-，考验分析能力以及计算能力，属中档题.
16．已知变换T 将平面上的点11,2⎛⎫
⎪⎝⎭，(0,1)分别变换为点9,24⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,42⎛⎫- ⎪⎝⎭
．设变换T
对应的矩阵为M ． （1）求矩阵M ； （2）求矩阵M 的特征值．
【答案】（1）33244M ⎡⎤-
⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦
（2）1或6
【解析】 【分析】
（1）设a b M c d ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，根据变换可得关于a b c d ,,,
的方程，解方程即可得到答案； （2）求出特征多项式，再解方程，即可得答案； 【详解】
（1）设a b M c d ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦，则194122a b c
d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎣⎦⎣⎦，30214a b c d ⎡⎤
-⎡⎤⎡⎤⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， 即192412
2324
a b c d b d ⎧
+=⎪⎪⎪+=-⎪⎨⎪=-
⎪⎪⎪=⎩，解得33244a b c d =⎧⎪⎪=-⎪⎨⎪=-⎪=⎪⎩，则33244M ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦．
（2）设矩阵M 的特征多项式为()f λ，可得
2
3
3
()(3)(24)676244
f λλλλλλ-=
=---=-+-， 令()0f λ=，可得1λ=或6λ=． 【点睛】
本题考查矩阵的求解、矩阵M 的特征值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.
17．已知二阶矩阵，矩阵属于特征值
的一个特征向量为
，
属于特征值的一个特征向量为
.求矩阵.
【答案】
【解析】 【分析】
运用矩阵定义列出方程组求解矩阵 【详解】
由特征值、特征向量定义可知，，
即，得
同理可得解得
，
，，
.因此矩阵
【点睛】
本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，较为简单
18．已知矩阵1101A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，0614B ⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
.若矩阵C 满足AC B =，求矩阵C 的特征值和
相应的特征向量.
【答案】特征值12λ=，相应的特征向量21⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
；特征值23λ=，相应的特征向量11⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
设a b C c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，由矩阵乘法法则求得矩阵C ，再由特征多项式求得特征值，再得特征向
量． 【详解】
解：设a b C c d ⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦，由AC B =，即11060114a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，
得0164a c c b d d +=⎧⎪-=⎪⎨+=⎪⎪-=-⎩，解得12
1
4
a b c d =⎧⎪=⎪
⎨=-⎪⎪=⎩，所以1214C ⎡⎤=⎢⎥
-⎣⎦. 设()()()21
2
142561
4
f
λλλλλλλ--=
=--+=-+-，
令()0f λ=，得12λ=，23λ=，特征向量为x y ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
， 当12λ=时，20x y -=，取121α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
u u r
； 当23λ=时，220x y -=，取211α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
u u r
. 【点睛】
本题考查矩阵的乘法运算，考查特征值和特征向量，掌握矩阵乘法运算法则与特征多项式概念是解题基础．
19．在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +-=在矩阵12a A b ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
对应的变换作用下
得到的直线仍为20x y +-=，求矩阵A .
【答案】1102-⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】
设(,)P x y 是直线20x y +-=上任意一点，根据题意变换得到直线
220x ay bx y +++-=，对比得到答案.
【详解】
设(,)P x y 是直线20x y +-=上任意一点，
其在矩阵2a a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到122a x x ay b y bx y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦仍在直线上， 所以得220x ay bx y +++-=，与20x y +-=比较得1121b a +=⎧⎨+=⎩，解得0
1b a =⎧⎨=-⎩，
故1102A -⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦. 【点睛】
本题考查了矩阵变换，意在考查学生的计算能力和应用能力.
20．用矩阵变换的方法，解二元一次方程组23
42x y x y =⎧⎨-=⎩
－
【答案】17
107x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
【解析】 【分析】
先将方程组化为矩阵，再根据矩阵运算求结果. 【详解】
2312342412x y x x y y =-⎧⎡⎤⎡⎤⎡⎤⇒=⎨⎢⎥⎢⎥
⎢⎥-=-⎩⎣⎦⎣⎦⎣⎦
－ 所以1
1211233777412412107
77x y -⎡⎤⎡⎤
-
⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥
-
-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
因此17
107x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
【点睛】
本题考查利用矩阵解方程组，考查基本分析求解能力，属基础题.。