(完整版)人教版七年级(下册)相交线与平行线数学试卷

一、选择题
1．如图，已知直线AB 、CD 被直线AC 所截，//AB CD ，E 是平面内任意一点（点E 不在直线AB 、CD 、AC 上），设BAE α∠=，DCE β∠=．下列各式：①αβ+，②αβ-，③a β-，④360αβ︒--，AEC ∠的度数可能是（ ）
A ．②③
B ．①④
C ．①③④
D ．①②③④ 2．为了亮化某景点，石家庄市在两条笔直且互相平行的景观道MN 、QP 上分别放置A 、B 两盏激光灯，如图所示．A 灯发出的光束自AM 逆时针旋转至AN 便立即回转，B 灯发出的光束自BP 逆时针旋转至BQ 便立即回转，两灯不间断照射，A 灯每秒转动30°，B 灯每秒转动10°，B 灯先转动2秒，A 灯才开始转动，当B 灯光束第一次到达BQ 之前，两灯的光束互相平行时A 灯旋转的时间是（ ）
A ．1或6秒
B ．8.5秒
C ．1或8.5秒
D ．2或6秒 3．①如图1,AB ∥CD,则∠A +∠
E +∠C=180°；②如图2,AB ∥CD,则∠E =∠A +∠C;③如图3,AB ∥CD,则∠A +∠E －∠1=180° ； ④如图4,AB ∥CD,则∠A=∠C +∠P .以上结论正确的个数是( )
A ．、1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4．如图，∠1=70°，直线a 平移后得到直线b ，则∠2-∠3（ ）
A ．70°
B ．180°
C ．110°
D ．80°
5．一副直角三角板如图放置，其中∠F ＝∠ACB ＝90°，∠D ＝45°，∠B ＝60°，AB //DC ，则
∠CAE 的度数为（ ）
A ．25°
B ．20°
C ．15°
D ．10°
6．下列几个命题中，真命题有（ ）
①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；
②如果1∠和2∠是对顶角，那么12∠=∠；
③一个角的余角一定小于这个角的补角；
④三角形的一个外角大于它的任一个内角．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4 7．如图，////AF B
E CD ，若140∠=︒，250∠=︒，3120∠=︒，则下列说法正确的是
（ ）
A ．100F ∠=︒
B ．140
C ∠=︒ C ．130A ∠=︒
D ．60D ∠=︒ 8．如图，平面内有五条直线 1l 、2l 、3l 、4l 、5l ，根据所标角度，下列说法正确的是
（ ）
A ．12l l //
B ．23//l l
C ．13//l l
D ．45//l l
9．为增强学生体质，感受中国的传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间，小聪把它抽象成图2的数学问题：已知AB ∥CD ，∠EAB ＝80°，
110ECD ∠=︒，则∠E 的度数是（ ）
A ．30°
B ．40°
C ．60°
D ．70° 10．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的3倍少20°，那么这两个角是（ ）
A ．50°、130°
B ．都是10°
C ．50°、130°或10°、10°
D ．以上都不对 二、填空题
11．一副直角三角只如图①所示叠成，含45︒角的三角尺ADE 固定不动，将含30角的三角尺ABC 绕顶点A 顺时针转动，使BC 与三角形ADE 的一边平行，如图②，当15BAD ∠=︒时，//BC DE ，则()90360BAD BAD ∠︒<∠<︒其他所有符合条件的度数为________．
12．如图，已知AB ∥CD ，点E ，F 分别在直线AB ，CD 上点P 在AB ，CD 之间且在EF 的左侧．若将射线EA 沿EP 折叠，射线FC 沿FP 折叠，折叠后的两条射线互相垂直，则∠EPF 的度数为 _____．
13．如图，在平面内，两条直线1l ，2l 相交于点O ，对于平面内任意一点M ，若p ，q 分别是点M 到直线1l ，2l 的距离，则称(,)p q 为点M 的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是(2,1)的点共有________个．
14．如图，△ABC 的边长AB =3 cm ，BC =4 cm ，AC =2 cm ，将△ABC 沿BC 方向平移a cm （a ＜4 cm ），得到△DEF ，连接AD ，则阴影部分的周长为_______cm ．
15．如图，AB ∥CD ，CF 平分∠DCG ，GE 平分∠CGB 交FC 的延长线于点E ，若∠E ＝34°，则∠B 的度数为____________．
16．如图①：MA 1∥NA 2，图②：MA11NA 3，图③：MA 1∥NA 4，图④：MA 1∥NA 5，……，
则第n 个图中的∠A 1+∠A 2+∠A 3+…+∠A n+1______.（用含n 的代数式表示）
17．如图，已知//AB CD ，BF 平分ABE ∠，//BF DE ，且40D ∠=︒，则BED ∠的度数为______．
18．如图，将长方形ABCD 沿EF 折叠，点D 落在AB 边上的H 点处，点C 落在点G 处，若30AEH ∠=︒，则EFC ∠等于______︒．
19．如图，//AB DE ，AD AB ⊥，AE 平分BAC ∠交BC 于点F ．如果24CAD ∠=︒，则=E ∠__︒．
20．有长方形纸片，E ，F 分别是AD ，BC 上一点∠DEF ＝x （0°＜x ＜45°），将纸片沿EF 折叠成图1，再沿GF 折叠成图2．
（1）如图1，当x ＝32°时，FGD ∠'＝_____度；
（2）如图2，作∠MGF 的平分线GP 交直线EF 于点P ，则∠GPE ＝_____（用x 的式子表示）．
三、解答题
21．如图①，将一张长方形纸片沿EF 对折，使AB 落在''A B 的位置；
（1）若1∠的度数为a ，试求2∠的度数（用含a 的代数式表示）；
（2）如图②，再将纸片沿GH 对折，使得CD 落在''C D 的位置．
①若//'EF C G ，1∠的度数为a ，试求3∠的度数（用含a 的代数式表示）；
②若''B F C G ⊥，3∠的度数比1∠的度数大20︒，试计算1∠的度数．
22．如图，∠EBF ＝50°，点C 是∠EBF 的边BF 上一点．动点A 从点B 出发在∠EBF 的边BE 上，沿BE 方向运动，在动点A 运动的过程中，始终有过点A 的射线AD ∥BC ．
（1）在动点A 运动的过程中， （填“是”或“否”）存在某一时刻，使得AD 平分∠EAC ？ （2）假设存在AD 平分∠EAC ，在此情形下，你能猜想∠B 和∠ACB 之间有何数量关系？并请说明理由；
（3）当AC ⊥BC 时，直接写出∠BAC 的度数和此时AD 与AC 之间的位置关系．
23．如图1，MN ∥PQ ，点C 、B 分别在直线MN 、PQ 上，点A 在直线MN 、PQ 之间． （1）求证：∠CAB ＝∠MCA +∠PBA ；
（2）如图2，CD ∥AB ，点E 在PQ 上，∠ECN ＝∠CAB ，求证：∠MCA ＝∠DCE ；
（3）如图3，BF 平分∠ABP ，CG 平分∠ACN ，AF ∥CG ．若∠CAB ＝60°，求∠AFB 的度数．
24．如图，已知//AB CD ，CN 是BCE ∠的平分线．
（1）若CM 平分BCD ∠，求MCN ∠的度数；
（2）若CM 在BCD ∠的内部，且CM CN ⊥于C ，求证：CM 平分BCD ∠；
（3）在（2）的条件下，过点B 作BP BQ ⊥，分别交CM 、CN 于点P 、Q ，PBQ ∠绕着B 点旋转，但与CM 、CN 始终有交点，问：BPC BQC ∠+∠的值是否发生变化？若不变，
求其值；若变化，求其变化范围．
25．已知：AB∥CD，截线MN分别交AB、CD于点M、N．
（1）如图①，点B在线段MN上，设∠EBM＝α°，∠DNM＝β°，且满足30
a+（β﹣
60）2＝0，求∠BEM的度数；
（2）如图②，在（1）的条件下，射线DF平分∠CDE，且交线段BE的延长线于点F；请写出∠DEF与∠CDF之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，当点P在射线NT上运动时，∠DCP与∠BMT的平分线交于点Q，则∠Q与∠CPM的比值为（直接写出答案）．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
由题意根据点E有6种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形外角性质进行计算求解即可．
【详解】
解：（1）如图1，由AB∥CD，可得∠AOC=∠DCE1=β，
∵∠AOC=∠BAE1+∠AE1C，
∴∠AE1C=β-α．
（2）如图2，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1=∠BAE2=α，∠2=∠DCE2=β，∴∠AE2C=α+β．
（3）如图3，由AB∥CD，可得∠BOE3=∠DCE3=β，
∵∠BAE3=∠BOE3+∠AE3C，
∴∠AE3C=α-β．
（4）如图4，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4=360°，
∴∠AE4C=360°-α-β．
（5）（6）当点E在CD的下方时，同理可得∠AEC=α-β或β-α．
综上所述，∠AEC的度数可能为β-α，α+β，α-β，360°-α-β，即①②③④．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质的运用，解题时注意两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等以及分类讨论．
2．C
解析：C
【分析】
设A 灯旋转的时间为t 秒，求出t 的取值范围为016t <≤，再分①06t <≤，②612t <≤和③1216t <≤三种情况，先分别求出MAM '∠和PBP '∠的度数，再根据平行线的性质可得MAM PBP ''∠=∠，由此建立方程，解方程即可得．
【详解】
解：设A 灯旋转的时间为t 秒，
A 灯光束第一次到达AN 所需时间为180630︒=︒
秒，B 灯光束第一次到达BQ 所需时间为1801810︒=︒秒， B 灯先转动2秒，A 灯才开始转动，
0182t ∴<≤-，即016t <≤，
由题意，分以下三种情况：
①如图，当06t <≤时，//AM BP ''，
30,10(2)MAM t PBP t ''∴∠=︒∠=︒+，
//,//MN PQ AM BP ''，
1,1MAM PBP ''∴∠=∠∠=∠，
MAM PBP ''∴∠=∠，即3010(2)t t ︒=︒+，
解得1t =，符合题设；
②如图，当612t <≤时，//AM BP ''，
18030(6)36030,10(2)MAM t t PBP t ''∴∠=︒-︒-=︒-︒∠=︒+，
//,//MN PQ AM BP ''，
2180,2180MAM PBP ''∴∠+∠=︒∠+∠=︒，
MAM PBP ''∴∠=∠，即3603010(2)t t ︒-︒=︒+，
解得8.5t =符合题设；
③如图，当1216t <≤时，//AM BP ''，
30(12)30360,10(2)MAM t t PBP t ''∴∠=︒-=︒-︒∠=︒+，
同理可得：MAM PBP ''∠=∠，即3036010(2)t t ︒-︒=︒+，
解得1916t =>，不符题设，舍去；
综上，A 灯旋转的时间为1秒或8.5秒，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、一元一次方程的几何应用等知识点，正确求出时间t 的取值范围，并据此分三种情况讨论是解题关键．
3．C
解析：C
【详解】
①如图1，过点E 作EF ∥AB ，
因为AB ∥CD ，所以AB ∥EF ∥CD ，
所以∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，
所以∠A+∠AEC+∠C=∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=180°+180°=360°，则①错误；
②如图2，过点E 作EF ∥AB ，
因为AB ∥CD ，所以AB ∥EF ∥CD ，
所以∠A=∠AEF ，∠C=∠CEF ，
所以∠A+∠C=∠AEC+∠AEF=∠AEC ，则②正确；
③如图3，过点E 作EF ∥AB ，
因为AB ∥CD ，所以AB ∥EF ∥CD ，
所以∠A+∠AEF=180°，∠1=∠CEF ，所以∠A+∠AEC-∠1=∠A+∠AEC-
∠CEF=∠A+∠AEF=180°，则③正确；
④如图4，过点P 作PF ∥AB ，因为AB ∥CD ，所以AB ∥PF ∥CD ，
所以∠A=∠APF ，∠C=∠CPF ，所以∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC ，则④正确； 故选C.
4．C
解析：C
【详解】
【分析】作AB ∥a,先证AB ∥a ∥b ，由平行线性质得∠2=180°-∠1+∠3，变形可得结果.
【详解】作AB ∥a,由直线a 平移后得到直线b ，
所以，AB ∥a ∥b
所以，∠2=180°-∠1+∠3，
所以，∠2-∠3=180°-∠1=180°-70°=110°.
故选C
【点睛】本题考核知识点：平行线性质.解题关键点：熟记平行线性质.
5．C
解析：C
【分析】
利用平行线的性质和给出的已知数据即可求出CAE ∠的度数．
【详解】
解：90F ∠=︒，45D ∠=︒，
45DEF ∴∠=︒，
90ACB ∠=︒，60B ∠=︒，
30BAC ∴∠=︒，
//AB DC ，
45BAE DEF ∴∠=∠=︒，
453015CAE BAE BAC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟记平行线的性质．
6．B
解析：B
【分析】
根据平行线的性质对①进行判断；根据对顶角的性质对②进行判断；根据余角与补角的定义对③进行判断；根据三角形外角性质对④进行判断．
【详解】
解：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，所以①错误；
如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2，所以②正确；
一个角的余角一定小于这个角的补角，所以③正确；
三角形的外角大于任何一个与之不相邻的一个内角，所以④错误．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
7．D
解析：D
【分析】
根据平行线的性质进行求解即可得到答案.
【详解】
解：∵BE∥CD
∴∠ 2+∠C=180°，∠ 3+∠D=180°
∵∠ 2=50°，∠ 3=120°
∴∠C=130°，∠D=60°
又∵BE∥AF，∠ 1=40°
∴∠A=180°-∠ 1=140°，∠F=∠ 3=120°
故选D.
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键. 8．D
解析：D
【分析】
根据平行线的判定定理进行逐个选项进行分析即可得到答案.
【详解】
解：如图所示
∵∠PHD=92°
∴∠GHD=180°-∠PHD=88°
∵∠CDK=88°
∴∠GHD=∠CDK
∴l4∥l5（同位角相等，两直线平行），所以D选项正确
∴∠BCG=∠F GV=93°
∵∠ABF≠∠BCG
∴l1与l2不平行，所以A选项错误；
又∵∠CGH=93°，∠DHP=92°，
∴∠CGH≠∠DHP
∴l2与l3不平行，所以B选项错误；
∵∠IBC+∠BDK=88°+88°≠180°
∴l1与l3不平行，所以C选项错误；
故选D.
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定，解题时注意:同位角相等，两直线平行;内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行.
9．A
解析：A
【分析】
过点E 作//EF AB ，先根据平行线的性质可得100AEF ∠=︒，再根据平行公理推论、平行线的性质可得70CEF ∠=︒，然后根据角的和差即可得．
【详解】
解：如图，过点E 作//EF AB ，
80EAB ∠=︒，
180100A E B E A F ∠=︒-=∴∠︒，
//AB CD ，
//CD EF ∴，
180CEF ECD ∴∠+∠=︒，
110ECD ∠=︒，
18070CEF ECD ∴∠=︒-∠=︒，
1007030AEC AEF CEF ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
10．C
解析：C
【分析】
首先由两个角的两边分别平行，可得这两个角相等或互补．然后设其中一角为x °，由其中
一个角比另一个角的3倍少20°，然后分别从两个角相等与互补去分析，即可求得答案，注意别漏解．
【详解】
解：∵两个角的两边分别平行，
∴这两个角相等或互补．
设其中一角为x°，
若这两个角相等，则x＝3x﹣20，
解得：x＝10，
∴这两个角的度数是10°和10°；
若这两个角互补，
则180﹣x＝3x﹣20，
解得：x＝50，
∴这两个角的度数是50°和130°．
∴这两个角的度数是50°、130°或10°、10°．
故选：C．
【点睛】
此题考查了平行线的性质与一元一次方程的解法．此题难度适中，解题的关键是掌握如果两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，注意方程思想的应用．
二、填空题
11．105°、195°、240°和285°
【分析】
根据题意画出图形，再由平行线的性质定理即可得出结论．
【详解】
解：如图，
当BC∥AE时，∠EAB=∠B=60°，
∴∠BAD=∠DAE+∠EAB
解析：105°、195°、240°和285°
【分析】
根据题意画出图形，再由平行线的性质定理即可得出结论．
【详解】
解：如图，
当BC∥AE时，∠EAB=∠B=60°，
∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+60°=105°；
当BC∥DE时，延长BA，交DE于F，则∠AFE=∠B=60°，
∴∠DAF=∠AFE-∠D=60°-45°=15°，
∴∠DAB=15°+180°=195°；
如图，当BC∥AD时，∠CAD=∠C=30°，∴∠BAD=360°-30°-90°=240°；
如图，当BC∥AE时，∠CAE=∠C=30°，∴∠CAD=45°-30°=15°，
锐角∠DAB=90°-∠CAD=75°，
∴旋转角∠DAB=360°-75°=285°，
故答案为：105°、195°、240°和285°．【点睛】
本题考查的是平行线的判定与性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角板的性质求解是解答此题的关键．
12．45°或135°
【分析】
根据题意画出图形，然后利用平行线的性质得出∠EMF 与∠AEM 和∠CFM 的关系，然后可得答案．
【详解】
解：如图1，
过作，
，
，
，，
，
，
同理可得，
由折叠可
解析：45°或135°
【分析】
根据题意画出图形，然后利用平行线的性质得出∠EMF 与∠AEM 和∠CFM 的关系，然后可得答案．
【详解】
解：如图1，
过M 作//MN AB ，
//AB CD ，
////AB CD NM ∴，
AEM EMN ∴∠=∠，NMF MFC ∠=∠，
90EMF ∠=︒，
90AEM CFM ∴∠+∠=︒，
同理可得P AEP CFP ∠=∠+∠，
由折叠可得：12AEP PEM AEM ∠=∠=∠，12
PFC PFM CFM ∠=∠=∠， 1()452
P AEM CFM ∴∠=∠+∠=︒， 如图2，
过M 作//MN AB ，
//AB CD ， ////AB CD NM ∴，
180AEM EMN ∴∠+∠=︒，180NMF MFC ∠+∠=︒，
360AEM EMF CFM ∴∠+∠+∠=︒，
90EMF ∠=︒，
36090270AEM CFM ∴∠+∠=︒-︒=︒，
由折叠可得：12AEP PEM AEM ∠=∠=∠，12
PFC PFM CFM ∠=∠=∠， 12701352
P ∴∠=︒⨯=︒， 综上所述：EPF ∠的度数为45︒或135︒，
故答案为：45°或135°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，关键是正确画出图形，分两种情况分别计算出∠EPF 的度数．
13．4
【分析】
到的距离是2的点，在与平行且与的距离是2的两条直线上；同理，点在与的距离是1的点，在与平行，且到的距离是1的两直线上，四条直线的距离有四个交点．因而满足条件的点有四个．
【详解】
解：
解析：4
【分析】
到1l 的距离是2的点，在与1l 平行且与1l 的距离是2的两条直线上；同理，点M 在与2l 的距离是1的点，在与2l 平行，且到2l 的距离是1的两直线上，四条直线的距离有四个交点．因而满足条件的点有四个．
【详解】
解：到1l的距离是2的点，在与1l平行且与1l的距离是2的两条直线上；
到2l的距离是1的点，在与2l平行且与2l的距离是1的两条直线上；
以上四条直线有四个交点，故“距离坐标”是(2,1)的点共有4个．
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查了到直线的距离等于定长的点的集合．
14．9
【分析】
根据平移的特点，可直接得出AC、DE、AD的长，利用EC=BC－BE可得出EC的长，进而得出阴影部分周长．
【详解】
∵AB=3cm，BC=4cm，AC=2cm，将△ABC沿BC方向平
解析：9
【分析】
根据平移的特点，可直接得出AC、DE、AD的长，利用EC=BC－BE可得出EC的长，进而得出阴影部分周长．
【详解】
∵AB=3cm，BC=4cm，AC=2cm，将△ABC沿BC方向平移a cm
∴DE=AB=3cm，BE=a cm
∴EC=BC－BE=(4－a)cm
∴阴影部分周长=2+3+(4－a)+a=9cm
故答案为：9
【点睛】
本题考查平移的特点，解题关键是利用平移的性质，得出EC=BC－BE．
15．68°
【分析】
如图，延长DC交BG于M．由题意可以假设∠DCF=∠GCF=x，
∠CGE=∠MGE=y．构建方程组证明∠GMC=2∠E即可解决问题．
【详解】
解：如图，延长DC交BG于M．由题意
解析：68°
【分析】
如图，延长DC交BG于M．由题意可以假设∠DCF=∠GCF=x，∠CGE=∠MGE=y．构建方程组证明∠GMC=2∠E即可解决问题．
【详解】
解：如图，延长DC交BG于M．由题意可以假设∠DCF=∠GCF=x，∠CGE=∠MGE=y．
则有
22
x y GMC
x y E
=+∠
⎧
⎨
=+∠
⎩
①
②
，
①-2×②得：∠GMC=2∠E,
∵∠E=34°，
∴∠GMC=68°，
∵AB∥CD，
∴∠GMC=∠B=68°，
故答案为:68°．
【点睛】
本题考查平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟悉基本图形，学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考填空题中的能力题．16．【解析】
分析：分别求出图①、图②、图③中，这些角的和，探究规律后，理由规律解决问题即可．
详解：如图①中,∠A1+∠A2=180∘=1×180∘，
如图②中,∠A1+∠A2+∠A3=360∘=2
解析：n180︒
【解析】
分析：分别求出图①、图②、图③中，这些角的和，探究规律后，理由规律解决问题即可．
详解：如图①中,∠A1+∠A2=180∘=1×180∘，
如图②中,∠A1+∠A2+∠A3=360∘=2×180∘，
如图③中,∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=540∘=3×180∘，
…，
第n个图, ∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n+1学会从=n180︒，
故答案为180n︒.
点睛：平行线的性质.
17．140°
【分析】
延长DE交AB的延长线于G，根据两直线平行，内错角相等可得∠D＝∠AGD，再根据两直线平行，同位角相等可得∠AGD＝∠ABF，然后根据角平分线的定义得∠EBF＝∠ABF，再根据平
解析：140°
【分析】
延长DE 交AB 的延长线于G ，根据两直线平行，内错角相等可得∠D ＝∠AGD ，再根据两直线平行，同位角相等可得∠AGD ＝∠ABF ，然后根据角平分线的定义得∠EBF ＝∠ABF ，再根据平行线的性质解答．
【详解】
解：如图，延长DE 交AB 的延长线于G ，
∵//AB CD ，
∴∠D ＝∠AGD ＝40°，
∵BF //DE ，
∴∠AGD ＝∠ABF ＝40°，
∵BF 平分∠ABE ，
∴∠EBF ＝∠ABF ＝40°，
∵BF //DE ，
∴∠BED ＝180°﹣∠EBF ＝140°．
故答案为：140°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质并作辅助线是解题的关键． 18．105°
【分析】
根据折叠得出∠DEF=∠HEF ，求出∠DEF 的度数，根据平行线的性质得出∠DEF+∠EFC=180°，代入求出即可．
【详解】
解：∵将长方形ABCD 沿EF 折叠，点D 落在AB 边上
解析：105°
【分析】
根据折叠得出∠DEF =∠HEF ，求出∠DEF 的度数，根据平行线的性质得出
∠DEF +∠EFC =180°，代入求出即可．
【详解】
解：∵将长方形ABCD 沿EF 折叠，点D 落在AB 边上的H 点处，点C 落在点G 处， ∴∠DEF =∠HEF ，
∵∠AEH =30°， ∴1180752
DEF HEF AEH ∠=∠=︒-∠=︒（）， ∵四边形ABCD 是长方形，
∴AD ∥BC ，
∴∠DEF +∠EFC =180°，
∴∠EFC =180°-75°=105°，
故答案为：105°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，折叠的性质等知识点，能求出∠DEF =∠HEF 和
∠DEF +∠EFC =180°是解此题的关键．
19．33
【分析】
根据求出∠C=90°，再求出∠BAD=66°，根据角平分线性质得∠DAE=33°，由三角形的外角性质得∠ADE=114°，最后由三角形内角和定理可得结论．
【详解】
解：∵，，
∴∠
解析：33
【分析】
根据//AB DE 求出∠C=90°，再求出∠BAD=66°，根据角平分线性质得∠DAE=33°，由三角形的外角性质得∠ADE=114°，最后由三角形内角和定理可得结论．
【详解】
解：∵//AB DE ，AD AB ⊥，
∴∠180BAD D ∠+∠=︒，且90BAD ∠=︒
∴90D ∠=︒
∵∠CAD =24°
∴∠BAC =90°-∠CAD =90°-24°=66°，
∵AE 是∠BAC 的平分线
∴∠EAB =11663322
BAC ∠=⨯︒=︒ ∵//AB DE ，
∴33E EAB ∠=∠=︒
故答案为：33
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，准确识图，灵活运用相关知识是解题的关键．
20．2x
【分析】
（1）由长方形的对边是平行的，得到∠BFE ＝∠DEF ＝30°，根据三角形外角的性质得到∠EGB ＝∠BFE+∠DEF ＝60°，由对顶角的性质得到∠FGD′＝∠EGB ＝60°，即
解析：2x
【分析】
（1）由长方形的对边是平行的，得到∠BFE＝∠DEF＝30°，根据三角形外角的性质得到
∠EGB＝∠BFE+∠DEF＝60°，由对顶角的性质得到∠FGD′＝∠EGB＝60°，即可得到∠GFC′＝180°﹣∠FGD′＝120°；
（2）由长方形的对边是平行的，设∠BFE＝∠DEF＝x，根据三角形外角的性质得到∠EGB ＝∠BFE+∠D′EF＝2x，由对顶角的性质得到∠FGD′＝∠EGB＝2x，由折叠可得∠MGF＝
∠D′GF＝2x，由角平分线的定义得到∠PGF＝x，再根据三角形外角的性质得到∠GPE，从而求解．
【详解】
解：（1）由折叠可得∠GEF＝∠DEF＝32°，
∵长方形的对边是平行的，
∴∠DEG＝∠FGD′，
∴∠DEG＝∠GFE+∠DEF＝64°，
∴∠FGD′＝∠EGD＝64°，
∴当x＝30度时，∠GFD′的度数是64°．
故答案为：64；
（2）∠GPE＝2∠GEP＝2x．
由折叠可得∠GEF＝∠DEF，
∵长方形的对边是平行的，
∴设∠BFE＝∠DEF＝x，
∴∠EGB＝∠BFE+∠D′EF＝2x，
∴∠FGD′＝∠EGB＝2x，
由折叠可得∠MGF＝∠D′GF＝2x，
∵GP平分∠MGF，
∴∠PGF＝x，
∴∠GPE＝∠PGF+∠BFE＝2x，
∴∠GPE＝2∠GEP＝2x．
故答案为：∠GPE＝2x．
【点睛】
本题考查翻折变换的性质、平行线的性质，熟悉掌握相关知识点并准确识图，理清翻折前后重叠的角是解题的关键．
三、解答题
21．（1）
1
90
2
a
︒-；（2）①
1
45
4
a
︒+；②50︒
【分析】
(1)由平行线的性质得到4'B FC a
∠=∠=，由折叠的性质可知，∠2=∠BFE，再根据平角的定义求解即可；
(2) ①由（1）知，1902BFE a ∠=︒-，根据平行线的性质得到1BFE C'GB 902a ∠=∠=︒- ，再由折叠的性质及平角的定义求解即可；
②由（1）知，∠BFE = 19012
EFB '∠=︒-∠，由''B F C G ⊥可知：''90B FC FGC ∠+∠=︒，再根据条件和折叠的性质得到
''11402190B FC FGC +=∠+∠=∠︒-∠︒，即可求解．
【详解】
解：（1）如图，由题意可知'//'A E B F ，
∴14a ∠=∠=，
∵//AD BC ，
∴4'B FC a ∠=∠=，
180BFB a '∴∠=︒-，
∴由折叠可知1129022
BFE BFB a '∠=∠=∠=︒-．
（2）①由题（1）可知1902
BFE a ∠=︒- ， ∵//'EF C G ，
1902
BFE C'GB a ∴∠=∠=︒-， 再由折叠可知：
113180*********HGC C GB a a ⎛⎫∠+∠=︒-∠=︒-︒-=︒+ ⎪⎝
⎭'， 13454
HGC a ∴∠=∠=︒+；
②由''B F C G ⊥可知：''90B FC FGC ∠+∠=︒，
由（1）知19012
BFE ∠=︒-∠， 11802180290112B FC BFE ⎛⎫'∴∠=︒-∠=︒-︒-∠=∠ ⎪⎝
⎭，
又3∠的度数比1∠的度数大20︒，
∴3=1+20∠∠︒，
()18023180212014021FGC '∴∠=︒-∠=︒-∠+︒=︒-∠，
''11402190B FC FGC +=∴∠+∠=∠︒-∠︒，
1=50∴∠︒．
【点睛】
此题考查了平行线的性质，属于综合题，有一定难度，熟记“两直线平行，同位角相等”、“两直线平行，内错角相等”及折叠的性质是解题的关键．
22．（1）是；（2）∠B ＝∠ACB ，证明见解析；（3）∠BAC ＝40°，AC ⊥AD ．
【分析】
（1）要使AD 平分∠EAC ，则要求∠EAD ＝∠CAD ，由平行线的性质可得∠B ＝∠EAD ，∠ACB ＝∠CAD ，则当∠ACB ＝∠B 时，有AD 平分∠EAC ；
（2）根据角平分线可得∠EAD ＝∠CAD ，由平行线的性质可得∠B ＝∠EAD ，∠ACB ＝∠CAD ，则有∠ACB ＝∠B ；
（3）由AC ⊥BC ，有∠ACB ＝90°，则可求∠BAC ＝40°，由平行线的性质可得AC ⊥AD ．
【详解】
解：（1）是，理由如下：
要使AD 平分∠EAC ，
则要求∠EAD ＝∠CAD ，
由平行线的性质可得∠B ＝∠EAD ，∠ACB ＝∠CAD ，
则当∠ACB ＝∠B 时，有AD 平分∠EAC ；
故答案为：是；
（2）∠B ＝∠ACB ，理由如下：
∵AD 平分∠EAC ，
∴∠EAD ＝∠CAD ，
∵AD ∥BC ，
∴∠B ＝∠EAD ，∠ACB ＝∠CAD ，
∴∠B ＝∠ACB ．
（3）∵AC ⊥BC ，
∴∠ACB ＝90°，
∵∠EBF ＝50°，
∴∠BAC ＝40°，
∵AD ∥BC ，
∴AD ⊥AC ．
【点睛】
此题考查了角平分线和平行线的性质，熟练掌握角平分线和平行线的有关性质是解题的关键．
23．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）120°．
【分析】
（1）过点A作AD∥MN，根据两直线平行，内错角相等得到∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，根据角的和差等量代换即可得解；
（2）由两直线平行，同旁内角互补得到∴、∠CAB+∠ACD＝180°，由邻补角定义得到∠ECM+∠ECN＝180°，再等量代换即可得解；
（3）由平行线的性质得到，∠FAB＝120°﹣∠GCA，再由角平分线的定义及平行线的性质得到∠GCA﹣∠ABF＝60°，最后根据三角形的内角和是180°即可求解．
【详解】
解：（1）证明：如图1，过点A作AD∥MN，
∵MN∥PQ，AD∥MN，
∴AD∥MN∥PQ，
∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，
∴∠CAB＝∠DAC+∠DAB＝∠MCA+∠PBA，
即：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；
（2）如图2，∵CD∥AB，
∴∠CAB+∠ACD＝180°，
∵∠ECM+∠ECN＝180°，
∵∠ECN＝∠CAB
∴∠ECM＝∠ACD，
即∠MCA+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，
∴∠MCA＝∠DCE；
（3）∵AF∥CG，
∴∠GCA+∠FAC＝180°，
∵∠CAB＝60°
即∠GCA+∠CAB+∠FAB＝180°，
∴∠FAB＝180°﹣60°﹣∠GCA＝120°﹣∠GCA，
由（1）可知，∠CAB＝∠MCA+∠ABP，
∵BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，
∴∠ACN＝2∠GCA，∠ABP＝2∠ABF，
又∵∠MCA＝180°﹣∠ACN，
∴∠CAB＝180°﹣2∠GCA+2∠ABF＝60°，
∴∠GCA﹣∠ABF＝60°，
∵∠AFB+∠ABF+∠FAB＝180°，
∴∠AFB＝180°﹣∠FAB﹣∠FBA
＝180°﹣（120°﹣∠GCA）﹣∠ABF
＝180°﹣120°+∠GCA ﹣∠ABF
＝120°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，线段、角、相交线与平行线，准确的推导是解决本题的关键．
24．（1）90°；（2）见解析；（3）不变，180°
【分析】
（1）根据邻补角的定义及角平分线的定义即可得解；
（2）根据垂直的定义及邻补角的定义、角平分线的定义即可得解；
（3）180BPC BQC ∠+∠=︒，过Q ，P 分别作//QG AB ，//PH AB ，根据平行线的性质及平角的定义即可得解．
【详解】
解（1）CN ，CM 分别平分BCE ∠和BCD ∠， 12BCN BCE ∴=∠，12
BCM BCD ∠=∠， 180BCE BCD ∠+∠=︒，
111()90222
MCN BCN BCM BCE BCD BCE BCD ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒； （2）CM CN ⊥，
90MCN ∴∠=︒，即90BCN BCM ∠+∠=︒，
22180BCN BCM ∴∠+∠=︒，
CN 是BCE ∠的平分线，
2BCE BCN ∴∠=∠，
2180BCE BCM ∴∠+∠=︒，
又180BCE BCD ∠+∠=︒，
2BCD BCM ∴∠=∠，
又CM 在BCD ∠的内部，
CM ∴平分BCD ∠；
（3）如图，不发生变化，180BPC BQC ∠+∠=︒，过Q ，P 分别作//QG AB ，//PH AB ，
则有//////QG AB PH CD ，
BQG ABQ ∴∠=∠，CQG ECQ ∠=∠，BPH FBP ∠=∠，CPH DCP ∠=∠，
⊥BP BQ ，CP CQ ⊥，
90PBQ PCQ ∴∠=∠=︒，
180ABQ PBQ FBP ∠+∠+=︒，180ECQ PCQ DCP ∠+∠+∠=︒，
∴∠+∠+∠+∠=︒，
ABQ FBP ECQ DCP
180
∴∠+∠=∠+∠+∠+∠
BPC BQC BPH CPH BQG CQG
=∠+∠+∠+∠=︒，
ABQ FBP ECQ DCP
180
∴∠+∠=︒不变．
180
BPC BQC
【点睛】
此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质及作出合理的辅助线是解题的关键．
25．（1）30°；（2）∠DEF+2∠CDF＝150°，理由见解析；（3）1
2
【分析】
（1）由非负性可求α，β的值，由平行线的性质和外角性质可求解；
（2）过点E作直线EH∥AB，由角平分线的性质和平行线的性质可求∠DEF＝180°﹣30°﹣2x°＝150°﹣2x°，由角的数量可求解；
（3）由平行线的性质和外角性质可求∠PMB＝2∠Q+∠PCD，∠CPM＝2∠Q，即可求解．【详解】
解：（1）∵30
α-+（β﹣60）2＝0，
∴α＝30，β＝60，
∵AB∥CD，
∴∠AMN＝∠MND＝60°，
∵∠AMN＝∠B+∠BEM＝60°，
∴∠BEM＝60°﹣30°＝30°；
（2）∠DEF+2∠CDF＝150°．
理由如下：过点E作直线EH∥AB，
∵DF平分∠CDE，
∴设∠CDF＝∠EDF＝x°；
∵EH∥AB，
∴∠DEH＝∠EDC＝2x°，
∴∠DEF＝180°﹣30°﹣2x°＝150°﹣2x°；
∴∠DEF＝150°﹣2∠CDF，
即∠DEF+2∠CDF＝150°；
（3）如图3，设MQ与CD交于点E，
∵MQ平分∠BMT，QC平分∠DCP，
∴∠BMT＝2∠PMQ，∠DCP＝2∠DCQ，
∵AB∥CD，
∴∠BME＝∠MEC，∠BMP＝∠PND，
∵∠MEC＝∠Q+∠DCQ，
∴2∠MEC＝2∠Q+2∠DCQ，
∴∠PMB＝2∠Q+∠PCD，
∵∠PND＝∠PCD+∠CPM＝∠PMB，
∴∠CPM＝2∠Q，
∴∠Q与∠CPM的比值为1
，
2
．
故答案为：1
2
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质，准确计算是解题的关键．。