2020年陕西省西安市第一高级中学高二数学理月考试卷含解析

2020年陕西省西安市第一高级中学高二数学理月考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴且经过点（﹣2，3）的抛物线方程是( )
A．y2=x B．x2=y
C．y2=﹣x或x2=﹣y D．y2=﹣x或x2=y
参考答案：
D
【考点】抛物线的标准方程．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】对称轴分为是x轴和y轴两种情况，分别设出标准方程为y2=﹣2px和x2=2py，然后将M点坐标代入即可求出抛物线标准方程．
【解答】解：（1）抛物线的顶点在坐标原点，对称轴是x轴，并且经过点（﹣2，3），
设它的标准方程为y2=﹣2px（p＞0）
∴9=4p，解得p=，
∴y2=﹣x．
（2）抛物线的顶点在坐标原点，对称轴是y轴，并且经过点（﹣2，3），
设它的标准方程为x2=2py（p＞0）
∴4=6p，
解得：p=．
∴x2=y
∴抛物线方程是y2=﹣x或x2=y．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线的标准方程，解题过程中要注意对称轴是x轴和y轴两种情况作答，属于基础题．2. 设函数图象上一点及邻近一点，则（）．A． B． C． D．
参考答案：
C
3. 若命题，则┐p（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
4. 一个游戏转盘上有四种颜色：红、黄、蓝、黑，并且它们所占面积的比为6∶2∶1∶4，则指针停在红色或蓝色的区域的概率为（）
A、6/13
B、7/13
C、4/13
D、10/13
参考答案：
B
略
5. 已知为等差数列，，前项和，则公差
A. B. C.
D.
参考答案：
D
6. 已知数列{an}是等差数列，a2=2，a5=8，则公差d的值为（）
A．B．C．2 D．-2
参考答案：
C
略
8.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c）为（）
A．48+12 B．48+24
C．36+12 D． 36+24
参考答案：
A.棱锥的直观图如右，则有PO＝4，OD＝3，由勾股定理，得PD＝5，AB＝6，全面积为：
×6×6＋2××6×5＋×6×4＝48＋12，故选A．
8. 用秦九韶算法求n 次多项式，当时，求需要算乘方、乘法、加法的次数分别为（）
A． B．n,2n,n C． 0,2n,n D． 0,n,n
参考答案：
D
9. 已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则函数g（x）=的递减区间为（）A．（0，4）B．（-∞，1），（，4）C．（0，）D．（0，1），（4，+∞）参考答案：
D
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】结合函数图象求出f′（x）﹣f（x）＜0成立的x的范围即可．
【解答】解：结合图象：x∈（0，1）和x∈（4，+∞）时，f′（x）﹣f（x）＜0，
而g′（x）=，
故g（x）在（0，1），（4，+∞）递减，
故选：D．
10. 抛物线的焦点坐标是（）
A．（4，0） B.（- 4，0） C.(2，0） D.（- 2，0）参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 右图是正方体平面展开图，在这个正方体中
①BM与ED平行；
②CN与BE是异面直线；
③CN与BM成60o角；
④EM与BN垂直.
以上四个命题中，正确命题的序号是_____________.
参考答案：
③④
略
12. 下面给出的几个命题中：
①若平面//平面，是夹在间的线段，若//，则；
②
是异面直线，是异面直线，则
一定是异面直线；
③过空间任一点，可以做两条直线和已知平面垂直； ④平面
//平面
，
，
//
，则
；
⑤若点到三角形三个顶点的距离相等，则点在该三角形所在平面内的射影是该三角形的
外心；ks5u
⑥是两条异面直线，为空间一点, 过
总可以作一个平面与
之一垂直，与另一个
平行。

其中正确的命题是 。

参考答案： ①④⑤
13. 若
，则
等于 ．
参考答案：
－ 4 由，得：
，
取
得：
，所以
，故
，
故答案为.
14. 在等差数列{a n }中，已知a 4=﹣15，公差d=3，则数列{a n }的前n 项和S n 的最小值为 ．
参考答案：
﹣108
【考点】等差数列的前n 项和；等差数列的通项公式． 【分析】求出首项a 4=﹣24，公差d=3，从而得到S n =（n ﹣）2
﹣
，由此能求出数列{a n }的前n
项和S n 的最小值．
【解答】解：∵等差数列{a n }中，a 4=﹣15，公差d=3， ∴a 1=a 4﹣3d=﹣15﹣9=﹣24， ∴S n =﹣24n+
=（n ﹣
）2﹣
，
∴n=8或n=9时，
数列{a n }的前n 项和S n 取最小值S 8=S 9=﹣108．
故答案为：﹣108．
【点评】本题考查等差数列的前n 项和的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
15. 已知，且，则 .
参考答案：
由题意可得：
cos(－θ)=cos[－(－θ)]=sin(－θ),
结合角的范围和同角三角函数可知：
sin(－θ)=，
即cos(－θ)= .
16. 在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1任意取点，则该点落在四棱锥B 1﹣ABCD 内部的概率是 ．
参考答案：
【考点】CF ：几何概型．
【分析】由题意，利用四棱锥与长方体的体积比，求概率．
【解答】解：由题意，本题想几何概型，由已知得到设长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的长宽高分别为a ，b ，c ，则体积为abc ，四棱锥B 1﹣ABCD 的体积为
abc ，所以由几何概型的公式得到所求概率是
；
故答案为：．
17. 在△ABC中，若acosB=bcosA，则△ABC的形状为．
参考答案：
等腰三角形
【考点】三角形的形状判断．
【专题】计算题．
【分析】利用正弦定理，将等式两端的“边”转化为“边所对角的正弦”，再利用两角和与差的正弦即可．
【解答】解：在△ABC中，∵acosB=bcosA，
∴由正弦定理得：sinAcosB=sinBcosA，
∴sin（A﹣B）=0，
∴A﹣B=0，
∴A=B．
∴△ABC的形状为等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理，考查转化思想，属于中档题．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知复数z=1+i（i为虚数单位），a、b∈R，
（Ⅰ）若，求|ω|；
（Ⅱ）若，求a，b的值．
参考答案：
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．
【分析】（I）利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
（II）利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：（I）∵，
∴．
（II）由条件，
∴（a+b）+（a+2）i=i（1﹣i）=1+i，
即，解得．
19. 已知数列{a n}满足：，（）．
（Ⅰ）证明：数列是等比数列；
（Ⅱ）设，为数列{b n}前n项的和，求证：．
参考答案：
证明：（1）由题意得，------------2分
又--------------2分
∴数列{ln（a n+1）}是以2为公比、ln2为首项的等比数列；--------5分
（2）由（1）得，ln（a n+1）=2n﹣1ln2，
则------------------7分
∵，∴a n+1=a n（a n+2），
则，
∴，----------- 10分
∴b n==，---------------- 12分
∴S n=b1+b2+…+b n=（）+（）+…+（）
==＜2，
即S n＜2成立．-------------------- -------15分
20. 在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列.
（1）求展开式中的常数项；
（2）求展开式中各项的系数和.
参考答案：
展开式的通项为,…
由已知：成等差数列，
∴
（1）
（2）令，各项系数和为
略
21. 已知函数f(x)=是奇函数.
(1)求实数m的值;
(2)设g(x)=2x+1-a,若函数f(x)与g(x)的图象至少有一个公共点,求实数a的取值范围.
参考答案：
（1）
（2）
【分析】
（1）根据题意，由奇函数的性质即可求出的值。

（2）根据题意，确立函数与方程之间的关系，结合指数函数的图像和性质即可得出结论。

【详解】（1）根据题意，函数为奇函数，
则，解得
（2）根据题意，函数与的图像有一个公共点，即方程至少有一个实根，即方程至少有一个实根。

令，则方程至少有一个正根，
则，所以的取值范围为
【点睛】本题主要考查奇函数的性质以及利用函数与方程的关系求解参数范围。

22. 已知函数．
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）若函数f(x)在定义域内恒有，求实数a的取值范围；
参考答案：
(1)见解析(2) ［0，2］
分析：第一问对函数求导，结合函数的定义域，对的范围进行讨论，确定出函数在哪个区间上单调增，在哪个区间上单调减，最后确定出结果；第二问函数f(x)在定义域内恒有f(x)≤0，转化为函数的最大值小于等于零即可，最后转化为求函数最值问题来解决.
详解：（1）
当上递减；
当时，令，得（负根舍去）.
当得，;令，得，
∴上递增，在（上递减
(2) 当,符合题意.
当时，
∴
当时，在（）上递减，
且的图象在（）上只有一个交点，设此交点为（），
则当x∈时，，故当时，不满足
综上，a的取值范围［0，2］
点睛：该题属于应用导数研究函数的性质的综合题，考查了含有参数的函数的单调性的讨论问题，需要对参数的范围进行讨论，第二问恒成立问题转化为最值问题来处理即可得结果.。