2020_2021学年高中数学第三章不等式3.3.2简单的线性规划问题课时作业含解析新人教A版必修5

高中数学新人教A 版必修5第三章不等式：
课时作业23 简单的线性规划问题
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，
x ≤3，则z ＝3x －2y 的最小值为( A )
A ．－2
B ．1
C ．8
D ．13
解析：不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．
由z ＝3x －2y 得y ＝32x －z 2，平移直线y ＝3
2x ，
经过A (0,1)时，－z
2最大，此时z 最小，
z 最小＝3×0－2×1＝－2.故选A ．
2．若点(x ，y )在曲线y ＝－|x |与y ＝－2所围成的封闭区域内(包括边界)，则2x －y 的最大值为( C )
A ．－6
B ．4
C ．6
D ．8
解析：
如图，点(x ，y )在阴影部分区域内，设2x －y ＝z ，则y ＝2x －z ，当直线y ＝2x －z 过点A (2，－2)时－z 最小，此时z 最大．
z 最大＝2×2－(－2)＝6.故选C ．
3．已知点(x ，y )构成的平面区域如图所示，z ＝mx ＋y (m 为常数)在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个，则m 的值为( B )
A ．－720
B ．720
C ．12
D ．720或12
解析：观察平面区域可知直线y ＝－mx ＋z 与直线AC 重合， 则⎩
⎪⎨⎪⎧
225＝－m ＋z ，3＝－5m ＋z ，解得m ＝720
.
4．如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧
2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，
x ＋y －2≤0上，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么|PQ |
的最小值为( A )
A ．5－1
B ．
4
5
－1 C ．22－1
D ．2－1
解析：由图可知不等式组确定的区域为阴影部分(包括边界)，点P 到Q 的最小距离为(－1,0)到(0，－2)的距离减去半径1，|PQ |min ＝
12＋22－1＝5－1.
5．已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，y ≤x ，
2x ＋y ＋k ≤0(k 为常数)，若目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，
则k ＝( B )
A ．－16
B ．－6
C ．－8
3
D ．6
解析：
由z ＝x ＋3y 得y ＝－13x ＋z
3.先作出⎩⎨⎧
x ≥0，y ≤x
的图象，如图，
因为目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，所以x ＋3y ＝8与直线y ＝x 的交点为C ，解得C (2,2)，代入直线2x ＋y ＋k ＝0，得k ＝－6，选B ．
6．已知点P (x ，y )的坐标满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ≤0，x ＋y －1≥0，
x －2y ＋2≥0，若z ＝x ＋3y ＋m 的最小值为6，
则m ＝( D )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：根据题意，作出可行域(图略)，由图可知目标函数在点⎝⎛⎭⎫
12，12处取得最小值6，
从而m ＝6－
12－3
2
＝4.
二、填空题
7．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ≤8，2y －x ≤4，
x ≥0，
y ≥0，
则z ＝5y －x 的取值范围是[－8,16]．
解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．作直线l 0：y ＝1
5x ，平移
直线l 0.由图可知，当l 0移至过点A (4,4)时可得z max ＝16，当l 0移至过点B (8,0)时可得z min ＝－8，∴z ＝5y －x 的取值范围是[－8,16]．
8．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，
y －2≤0，则u ＝x ＋y y
的取值范围是⎣⎡⎦⎤
32，4. 解析：
作出可行域如图阴影部分所示，由u ＝x ＋y y ＝x y ＋1，令z ＝y
x ，表示点(x ，y )与原点连线
的斜率，由图象数形结合知，z min ＝k OB ，z max ＝k OA ，
由⎩
⎪⎨⎪⎧
x －y －2＝0，x ＋2y －5＝0得点B 的坐标为(3,1)．
由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋2y －5＝0，y ＝2
得点A 的坐标为(1,2)． 则z min ＝13，z max ＝2，即y x ∈⎣⎡⎦⎤
13，2. 故x y ∈⎣⎡⎦⎤12，3，所以u ＝x
y ＋1∈⎣⎡⎦⎤32，4. 9．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥1，x ＋y ≤3，
x －y ≤2，点A (2,1)，B (x ，y )，O 为坐标原点，则OA →·OB
→
最大值时为11
2
.
解析：
画出可行域，如图中的阴影部分．已知点A (2,1)，B (x ，y )，O 为坐标原点，则OA →·OB →
＝
2x ＋y .由图可知，当直线y ＝－2x ＋z 过点C 时，z 有最大值．解方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
x －y ＝2，x ＋y ＝3，得
⎩⎨⎧
x ＝5
2，
y ＝12.
故z max ＝2×52＋12＝11
2.
三、解答题
10．设z ＝2y －2x ＋4，已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪
⎧
0≤x ≤1，0≤y ≤2，
2y －x ≥1，求z 的最大值和最小值．
解：作出满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
0≤x ≤1，
0≤y ≤2，
2y －x ≥1
的可行域，如图所示的阴影部分．
作直线l ：2y －2x ＝t .
当l 经过点A (0,2)时，z max ＝2×2－2×0＋4＝8； 当l 经过点B (1,1)时，z min ＝2×1－2×1＋4＝4. 11．设x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，
x ≤3.
(1)求v ＝
y
x －5
的最大值与最小值； (2)求u ＝x 2＋y 2的最大值与最小值． 解：画出满足条件的可行域如图所示，
(1)v ＝y
x －5表示可行域内的点P (x ，y )与定点D (5,0)的斜率，由图可知，k BD 最大，k CD
最小，又C (3,8)，B (3，－3)，
所以v max ＝
－3
3－5＝32，v min ＝83－5＝－4. (2)x 2＋y 2＝u 表示一组同心圆(圆心为原点O )，且对同一圆上的点x 2＋y 2的值都相等，由图可知：当(x ，y )在可行域内取值时，当且仅当圆O 过C 点时，u 最大，过(0,0)时，u 最小，点C 坐标为(3,8)，
所以u max ＝73，u min ＝0.
——能力提升类——
12．设z ＝x ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y ≥0，x －y ≤0，
0≤y ≤k ，若z 的最大值为6，则z 的最小值
为( A )
A ．－3
B ．－2
C ．－1
D ．0
解析：作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ，由图可知当直线y ＝－x ＋z 经过点A 时，直线y ＝－x ＋z 在y 轴上的截距最大，此时z 最大
为6，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k ，x －y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝k ，
y ＝k ，即点A (k ，k )，∴z ＝k ＋k ＝6，得k ＝3.当直线y ＝－x ＋z
经过点B 时，z 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k ＝3，x ＋2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－6，
y ＝3，
即点B (－6,3)，此时z 的最
小值为－6＋3＝－3.
13．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≤1，x －y ≤1，
x ≥a ，若x ＋2y ≥－5恒成立，则实数a 的取值
范围为( C )
A ．(－∞，－1]
B ．[－1，＋∞)
C ．[－1,1]
D ．[－1,1)
解析：由题意作出可行域，如图所示，由图易知a ≤1，x ＋2y ≥－5恒成立可化为图中的阴影部分恒在直线x ＋2y ＝－5的右上方，即点A 在直线x ＋2y ＝－5上或其右上方，易知A 点坐标为(a ，a －1)，所以a ＋2(a －1)≥－5，所以实数a 的取值范围为[－1,1]．
14．若x，y满足x＋1≤y≤2x，则2y－x的最小值是3.
解析：
作出不等式组
⎩⎪
⎨
⎪⎧y≤2x，
x＋1≤y
所表示的平面区域如图中阴影部分所示，令z＝2y－x，作出直线2y－x＝0，平移该直线，当直线过点A(1,2)时，2y－x取得最小值，最小值为2×2－1＝3.
15．某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别是0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
解：设公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别是x分钟、y分钟，总收益为z万元，由题意得：
⎩⎪
⎨
⎪⎧x＋y≤300，
500x＋200y≤90 000，
x≥0，
y≥0，
目标函数为z＝3 000x＋2 000y.
⎩⎪
⎨
⎪⎧x＋y≤300，
5x＋2y≤900，
x≥0，
y≥0，
作出二元一次不等式组所表示的区域，即可行域，如图阴影部分所示：
作直线l即3x＋2y＝0.平移直线l，从图中可知，当直线l过点M时，目标函数取得最大值．
由
⎩⎪
⎨
⎪⎧x＋y＝300，
5x＋2y＝900，
解得
⎩⎪
⎨
⎪⎧x＝100，
y＝200，
即M(100,200)．
则z max＝3 000x＋2 000y＝700 000(元)，
即该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司收益最大，最大收益是70万元．。