高中数学选修2-3课时作业9：§3.1 回归分析的基本思想及其初步应用

第三章 统计案例
§3.1 回归分析的基本思想及其初步应用
一、选择题
1．为了研究变量x 和y 的线性相关性，甲、乙两人分别利用线性回归方程得到回归直线l 1和l 2，己知两人计算过程中x ，y 分别相同，则下列说法正确的是( ) A ．l 1与l 2一定平行 B ．l 1与l 2重合
C ．l 1与l 2相交于点(x ，y )
D ．无法判断l 1和l 2是否相交
2．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x, y 的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的相关指数R 2分别如下表：
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
3．对变量x ，y 进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是( )
4．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系．根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^
＝0.85x －85.71，则下列结论
中不正确的是( )
A ．y 与x 具有正的线性相关关系
B ．回归直线过样本点的中心(x ，y )
C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg
D ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg 5．根据如下样本数据
得到的回归方程为y ＝b x ＋a ，则( ) A.a ^>0，b ^<0 B.a ^>0，b ^>0 C.a ^<0，
b ^<0 D.y ^<0，b ^>0
6．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：
根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( ) A ．63.6万元 B ．65.5万元 C ．67.7万元 D ．72.0万元
二、填空题
7．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝1
2x ＋1上，则这组样本数据的样本相
关系数为________．
8．若一个样本的总偏差平方和为80，残差平方和为60，则相关指数R 2为________． 9．面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，以降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量(单位：千箱)与单位成本(单位：元)的资料进行线性回归分析，结果如下：
x ＝72，y ＝71，∑i ＝16x 2
i ＝79，∑i ＝1
6x i y i ＝1481.
则销量每增加1000箱，单位成本约下降________元．
10．在对两个变量进行回归分析时，甲、乙分别给出两个不同的回归方程，并对回归方程进行检验．对这两个回归方程进行检验时，与实际数据(个数)对比结果如下：
三、解答题
11．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：
(1)
(2)求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^
，并在坐标系中画出回归直线． (3)试预测加工10个零件需要多少时间？
(注：b ^＝
∑i ＝1
n
x i y i －n x y )
∑i ＝1
n
x 2i －n x
2
，a ^＝y －b ^x )
12．为了研究某种细菌随时间x 变化繁殖个数y 的变化情况，收集数据如下：
(1)(2)求y 与x 之间的回归方程．
(3)计算相关指数R 2，并描述解释变量与预报变量之间的关系．
13．已知x ，y 之间的一组数据如下表：
(1)从x ，y (2)针对表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为y ＝13x ＋1与y ＝12x ＋1
2，试利用“最
小二乘法”判断哪条直线拟合程度更好．
[答案]精析
1．C 2.A 3.A 4.D 5.A 6.B 7.1 8．0.25 9.1.8182 10．甲
[解析] 可以根据表中数据分析，两个回归方程对数据预测的正确率进行判断，甲回归方程的数据准确率为
3240＝45，而乙回归方程的数据准确率为4060＝2
3
.显然甲的准确率高些，因此甲回归方程好些．
11．解 (1)散点图如图．
(2)由表中数据得∑i ＝1
4
x i y i ＝52.5，
x ＝3.5，y ＝3.5，∑i ＝1
4x 2i ＝54，
所以b ^
＝
∑i ＝1
n
x i y i －n x y
∑i ＝1
n
x 2i －n x
2
＝0.7.
所以a ^＝y －b ^
x ＝1.05. 所以y ^
＝0.7x ＋1.05. 回归直线如图中所示．
(3)将x ＝10代入回归直线方程，得y ^
＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时)， 所以预测加工10个零件需要8.05小时． 12．解 (1)散点图如图所示：
(2)由散点图看出样本点分布在一条指数曲线y ＝c 1e c 2x 的周围，于是令z ＝ln y ，则
所以z ^＝0.69x ＋1.112，则有y ＝e 0.69x ＋
1.11
2. (3)
i ＝16e ^2i ＝i ＝1
6(y i －y ^)2＝3.1643， i ＝1
6(y i －y )2＝∑i ＝1
6
y 2i －6y 2
≈24642.83，
R 2＝1－
i ＝1
6(y i －y ^i )2i ＝1
6(y i －y )2
≈1－
3.1643
24642.83
≈0.9999，
即解释变量时间对预报变量繁殖细菌的个数解释了99.99%.
13．解 (1)从x ，y 中各取一个数组成数对(x ，y )，共有25对，其中满足x ＋y ≥10的有(6,4)，(6,5)，(7,3)，(7,4)，(7,5)，(8,2)，(8,3)，(8,4)，(8,5)，共9对，故所求概率为P ＝9
25
，所以使x ＋y ≥10的概率为925
.
(2)用y ＝1
3x ＋1作为拟合直线时，y 的实际值与所得的y 值的差的平方和为s 1＝⎝⎛⎭⎫1－432＋(2－2)2＋(3－3)2＋⎝
⎛⎭⎫4－1032＋⎝⎛⎭⎫5－
1132＝7
3. 用y ＝12x ＋1
2作为拟合直线时，y 的实际值与所得的y 值的差的平方和为s 2＝(1－1)2＋(2－2)2
＋⎝⎛⎭⎫3－722＋(4－4)2＋⎝⎛⎭⎫5－922＝12. ∵s 1>s 2，∴直线y ＝12x ＋1
2
拟合程度更好．。