高二北师大数学必修五单元检测卷：第1单元 数列 5

数列
5.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．
12
8.图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n 个图形包含()f n 个“福娃迎迎”，则(5)f = ；()(1)f n f n --= ．（答案用数字或n 的解析式表示）
13．41，4(1)n -
10．已知等比数列{}n a 的前三项依次为1a -，1a +，4a +，则n a = ．10．1
342n -⎛⎫⋅ ⎪
⎝⎭
10.在xOy 平面上，横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点．对任意n *∈N ，连接原点O 与点(,4)n P n n -，用()g n 表示线段n OP 上除端点外的整点个数，则(2008)g = （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7.在等差数列{}n a 中，已知5710a a +=，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则11S = （ ）
A ．45
B ．50
C ．55
D ．60
5. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2
510,55S S ，则过点(,)n P n a 和2(2,)n Q n
a
(n N *
)的直线的斜率是
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
6．在等比数列{}n a 中，5113133,4,a a a a ⋅=+=则
15
5
a a = A ．3 B ．
13 C ．3或13 D ．3-或13
- 6．
5113133133133,4,1,3a a a a a a a a ⋅=⋅=+=∴==或3133,1,a a ==
1513533a a a a ∴
==或1
3
，故选C 。

3. 已知等差数列{a n }中，a 2+a 8=8，则该数列前9项和S 9等于（ ）。

A ．18
B ．27
C ．36
D ．45
3.C 解：在等差数列{a n }中，a 2+a 8=8，∴ 198a a +=，则该数列前9项和S 9=199()
2
a a +=36， 故选择答案C
3．计算机是将信息转换成二进制进行处理的. 二进制即“逢二进一”，如2(1101)表示二进制数，将它转换成十进制形式是321012120212⨯+⨯+⨯+⨯= 13，那么将二进制数
21
1611111）（个
转换成十进制形式是（ ）. A ．1722- B ．1622- C ．1621- D ．1521- 3．解析：151********
(1111)1212121221=⨯+⨯+
⨯+⨯=-，答案：C
4．已知等比数列{}n a 的前三项依次为1a -，1a +，4a +，则n a =
A ．342n ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭
B ．243n ⎛⎫
⋅ ⎪⎝⎭
C ．1
342n -⎛⎫⋅ ⎪
⎝⎭ D ．1
243n -⎛⎫
⋅ ⎪
⎝⎭
9. 若数列{}n a 满足221n n a a d +-=（d 为正常数，n *
∈N ），则称{}n a 为“等方差数列”．
甲：数列{}n a 是等方差数列； 乙：数列{}n a 是等差数列，则（ ）．
A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C ．甲是乙的充要条件
D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
11． 设数列{}n a 为公比1q >的等比数列，若45,a a 是方程24830x x -+=的两根，则
67a a +=______11．18
11．如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2），如此继续下去，得图（3）……
试用 n 表示出第n 个图形的边数 ____________n a .11、134n
3．在等比数列{}
n a 中，如果12344060a a a a +=+=，，那么78a a +=
（ ）
A ．135
B ．100
C ．95
D ．
80 6. 在等差数列中，若是a 2+4a 7+a 12=96，则2a 3+a 15等于
()A ．12 ()B ．96 ()C 24 ()D ．48
6. 在各项为正数的等比数列{}n a 中，13a =，前三项和为21，则345a a a ++=
A. 33
B. 72
C. 84
D. 189
8．已知等比数列}{n a 的首项为8，n S 是其前n 项的和，某同学经计算得1S ＝8，2S ＝20，
3S ＝36，4S ＝65，后来该同学发现其中一个数算错了，则该数为 （ ）
A ．1S
B ．2S
C ．3S
D ．4S
12. 已知等比数列{n a }的各项均为不等于1的正数，数列}{n b 满足
,18,ln 3==b a b n n 126=b ，则数列}{n b 前n 项和的最大值为______________. 12. 132
8. △ABC 内有任意三点不共线的2005个点，加上,,A B C 三个顶点，共2008个点，把这2008个点连线形成互不重叠（即任意两个三角形之间互不覆盖）的小三角形，则一共可以形成小三角形的个数为（ ）
A ．4008 B.4009 C.4010 D.4011
5．已知数列{}n a 、{}n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且11a +b =5，11a >b ，++11a b N (n N )、∈∈，则数列n
b
{a }前10项的和等于
A.55
B.70
C.85
D.100 5．解析：C ．本题考查了等差数列的通项及前n 项和计算．
11111111,11(1)12523
n n n b n a a n b b n a a b a b n a b n n n =+-=+-=+-=++--=++-=+-=+ 因此，数列{}n
b
a 也是等差数列，并且前10项和等于：10(413)
852
+= 1．已知等差数列{a n }是单调数列，且a 1,a 3,a 4,成等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，则
3
52
3S S S S --的值为
（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．不能确定
13．在等比数列{a n }中，若=+++-==+++4
3213243211
11189,815a a a a a a a a a a ，则 13．3
5
-
3．数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2S n+1+a n 2
，a 2=－1则数列{a n }的首项为 （ ）
A ．1或－2
B ．±1
C ．±2
D ．2或－1
20、（本题满分14分）设函数2113
()424
f x x x =+-，
对于正数数列{}n a ，其前n 项和为n S ，且()n n S f a =，()n N *
∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）是否存在等比数列{}n b ，使得111222(21)2n n n a b a b a b n +++
+=-+对一切正整数n
都成立？若存在，请求出数列{}n b 的通项公式；若不存在，请说明理由.
20.解：（1）由2113
()424
f x x x =
+-，()n n S f a = ，()n N *∈ 得2113424n n n S a a =+- ()n N *
∈ ① ………2分
2111113
424
n n n S a a +++=+- ， ②
即 22
1111111()422
n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=-+-， ………4分
即 22
1111()()042
n n n n a a a a ++--+= ，
即 11()(2)0n n n n a a a a +++--=
∵n a ＞0，∴12n n a a +-= ，即数列{}n a 是公差为2的等差数列，……7分 由①得，21111113
424
S a a a ==
+-，解得13a =， 因此 ，数列{}n a 的通项公式为21n a n =+. ………9分 （2）假设存在等比数列{}n b ，使得对一切正整数n 都有
111222(21)2n n n a b a b a b n +++
+=-+ ③
当2n ≥时，有1122112(23)2n n n a b a b a b n --++
+=-+ ④
③－④，得 2(21)n
n n a b n =+，
由21n a n =+得，2n
n b = ………………13分 又1
1162(211)a b ==⨯+满足条件，
因此，存在等比数列{}
2n ，使得111222(21)2n n n a b a b a b n +++
+=-+对一切正整数
n 都成立. …………………14分
21、（本小题满分14分）
已知函数3()log ()f x ax b =+的图象经过点)1,2(A 和)2,5(B ，记()*3,.f n n a n N =∈
（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设n n n
n
n b b b T a b +++==
21,2，若)(Z m m T n ∈<，求m 的最小值； （3）求使不等式12)1
1()11)(11(21+≥+++
n p a a a n
对一切*N n ∈均成立的最大实数p .
21、解：（1）由题意得⎩⎨⎧=+=+2)5(log 1)2(log 3
3b a b a ，解得⎩⎨⎧-==12
b a ，………………2分
)12(log )(3-=∴x x f *)
12(log ,123
3N n n a n n ∈-==- ………………4分
（2）由（1）得n n n b 212-=
， n n n
n n T 2
1
22322523211321-+-++++=∴- ① 1132212232252232121+--+-+-+++=n n n n n n n T ② ①-②得 11221111321212)21212121(21212222222222121+--+---+++++=--+++++=n n n n n n n n n T 112122123+----=n n n . n
n n n n n T 23232122132+-=---=∴-，………………6分 设*,232)(N n n n f n
∈+=，则由1512132121)32(252232252)()1(1<+≤++=++=++=++n n n n n n f n f n
n 得*,2
3
2)(N n n n f n
∈+=随n 的增大而减小 +∞→∴n 当时，3→n T 又)(Z m m T n ∈<恒成立，3min =∴m ………………9分
（3）由题意得*21)1
1()11)(11(1
21N n a a a n p n ∈++++≤
对 恒成立
记)1
1()11)(11(1
21)(21n a a a n n F ++++=
，则
1
)1(4)1(2)32)(12(22)
11()11)(11(1
21)
1
1)(11()11)(11(3
21)
()
1(221121-++=
+++=+++++++++=++n n n n n a a a n a a a a n n F n F n n n 1)
1(2)
1(2=++>
n n ………………12分
)(),()1(,0)(n F n F n F n F 即>+∴> 是随n 的增大而增大
)(n F 的最小值为332)1(=
F ，332≤∴p ，即33
2max =p . ………………14分 21．（本小题满分14分）
把自数按下表排列：
（Ⅰ）求200在表中的位置（在第几行第几列）；
（Ⅱ）试求自上至下的第m 行，自左至右的第n 列上的数；
（Ⅲ）求主对角线上的数列：1、3、7、13、21、……的通项公式和前n 项和的求和公式. 21．（本小题满分14分）
解：把表中的各数按下列方式分组： （1），（2，3，4），（5，6，7，8，9），……，
（Ⅰ）由于第n 组含有2n －1个数，所以第n 组的最后一个数是1+3+5+2
)12(n n =-+Λ 因为不等式2002
≥n 的最小整数解为n=15，这就是说，200在第15组中，由于142
=196，
所以第15组中的第一个数是197，这样200就是第15组中的第4个数. 所以200在表中自上至下的第4行，自左至右的第15列上； …………4分
（Ⅱ）如果n m ≥，则第m 行上的数自左至右排成的数列是以－1为公差的等差数列；这个数列的首项是第m 行的第1个数，即分组数列的第m 组最后一个数为是1+3+5+…+（2m －1）=m 2
，则自上至下的第m 行，自左至右的第n 列上的数为m 2
+)1)(1(--n
12+-=n m ；………………7分
如果m<n ，则第n 列上的数自上向下排成的数列是以1为公差的等差数列；这个数列的首项是第n 列的第1个数，即分组数列的第n 组的第一个数为{1+3+5+…+[2(n －1)－1]}=(n －1)2
+1，则自上至下的第m 行，自左至右的第n 列上的数为
m n m n +-=⋅-++-22)1(1)1(1)1( …………10分
（Ⅲ）设表中主对角线上的数列为{a n }，即1，3，7，13，21，……，则 易知n a a n a a n n n n 2211=-+=++，即
∴112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-+Λ+-+-=--- 1]12)2(2)1(2[+⋅+Λ+-+-=n n 112
)
1(22+-=+-⨯
=n n n n …………12分 ∴n n a a a a S +Λ+++=321
n
n n n n n n n n ++-++=++Λ+++-+Λ+++=2
)1(6)12)(1()321()321(2222
n n 3
2
313+= ………………14分
20．（14分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足114,2+==n n n a a S a （1）求;,,432a a a （2）求;n a
（3）若,2)(2211n n n n n n n b a C a C a C =+++ 求证：n
b b b 1
472
22221-≤
++ .
20．解：（1）8,6,4432===a a a
3分 （2）由已知：当n>1时，,411=--+n n a a 5分 当n 为偶数时，,24)15.0(2n n a a n =⨯-⨯+= 6分
当n 为奇数时，,24]1)1(5.0[1n n a a n =⨯-+⨯+= 7分
（此处等价于证出数列为等差）
故n a n 2=对任意正整数n 都成立，即n a n 2= 8分
（3）n
b b n nC k C a C n n n n k n k
n k k
n 1
,222,221
1
1=
∴=∴==Θ--- 11分 所以2222
2
22
11312111n
b b b n ++++=
+++ n
n n )1(13214111
312112
22-+
+⨯++≤++++
=
.1471113121411n n
n -=--++-++
=
14分
18．（本小题满分14分）已知数列}2
{1
n n a ⋅-的前n 项和96n S n =-．
(1) 求数列｛n a ｝的通项公式；
(2)设2
(3log )3
n n a b n =⋅-，求数列｛1
n b ｝的前n 项和． 18.解：(1)1n =时，0
11123,3a S a ⋅==∴=; ………………2分
当1
12
3
2,2
6,2
n n n n n n n a S S a ----≥⋅=-=-∴=
时． ………………4分 2
3(1)3
(2)
2n n n a n -=⎧⎪
∴=⎨-≥⎪⎩通项公式 ………………6分
(2) 设｛
1
n
b ｝的前n 项和为n T ，当1n =时， 121111
3log 13,3
b T b =-=∴==；………………8分
2n ≥时，2
2
3
(3log )(1)32
n n b n n n -=⋅-=⋅+⋅，∴1n b 1(1)n n =+ ………………10分 ∴n T =
12
111111
32334
n b b b +++
=++++
⨯⨯1(1)n n +＝51
61
n -+
51
61
n T n ∴=
-
+ ………………14分 20．(本小题满分14分)已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：(1)1
n n a
S a a =--（a 为常数，且0,1a a ≠≠）． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设21=
+n
n n
S b a ，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值； （Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，设1
11
11n n n c a a +=
++-，数列{}n c 的前n 项和为T n . 求证：1
23n T n >-．
20．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）
11(1),1
－=
-a
S a a ∴1,=a a 当2n ≥时，11,11
n n n n n a a
a S S a a a a --=-=---
1
n
n a a a -=，即{}n a 是等比数列． ∴1n n n a a a a -=⋅=； ……………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，2(1)
(31)211(1)
n n n n n a
a a a a a
b a a a ⋅
----=
+=
-，若{}n b 为等比数列， 则有2
213,b b b =而21232
32322
3,,,a a a b b b a a +++===
故22232322()3a a a a a +++=⋅，解得13a =
， ………………………………7分 再将1
3a =代入得3n n b =成立，
所以1
3
a =． ………………………………………………………………8分
（III ）证明：由（Ⅱ）知1()3n
n a =，所以11111331131311()1()33
n n n n n n n c +++=+=+
+-+- 111
31131111
1131313131
n n n n n n ++++--+=+=-+++-+- 111
2()3131+=--+-n n ， ………………………………………………… 9分
由111111,313313n n n n ++<>+-得111111,313133
n n n n ++-<-+- 所以111311
2()2()313133
＋++=-->---n n n n n c ， …………………… 12分
从而122231111111
[2()][2()][2()]333333
n n n n T c c c +=+++>--+--+--
2231111111
2[()()()]333333n n n +=--+-++-
1111
2()2333
n n n +=-->-．
即1
23
n T n >-． …………………………14分
20. （本小题满分14分）已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为
'()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的
图像上。

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设13+=
n n n a a b ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20
n m T <对所有n N *
∈都成
立的最小正整数m ；
20. 解：（1）设这二次函数f(x)＝ax 2
+bx (a ≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x －2,得
a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x 2－2x. （2分）
又因为点(,)()n n S n N *
∈均在函数()y f x =的图像上，所以n S ＝3n 2
－2n. （3分）
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（3n 2
－2n ）－[
]
)1(2)132
---n n （
＝6n －5. （5分） 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12
－2＝6×1－5， （6分） 所以，a n ＝6n －5 （n N *
∈） （7分） （2）由（Ⅰ）得知13+=
n n n a a b ＝[]5)1(6)56(3
-+-n n ＝)1
61561(21+--n n ，
（9分） 故T n ＝
∑=n
i i b 1
＝
2
1⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+--++-+-)161561(...)13171()711(n n ＝
21（1－1
61
+n ）.（12分） 因此，要使21（1－161+n ）<20m （n N *
∈）成立的m,必须且仅须满足21≤20
m ，
即m ≥10，所以满足要求的最小正整数m 为10. （14分）
19. （本小题满分12分）已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为
'()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的
图像上。

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设13+=
n n n a a b ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20
n m T <对所有n N *
∈都成
立的最小正整数m ；
解：（Ⅰ）设这二次函数为f(x)＝ax 2
+bx (a ≠0) ,则 f`(x)=2ax+b, 由于f`(x)=6x －2,得
a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x 2－2x. （2分）
又因为点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上，所以n S ＝3n 2
－2n. （3分）
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（3n 2
－2n ）－[
]
)1(2)132
---n n （
＝6n －5. （4分）
当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12
－2＝6×1－5， （5分） 所以，a n ＝6n －5 （n N *
∈） （6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）得知13+=
n n n a a b ＝[]5)1(6)56(3---n n ＝)1
61
561(21+--n n ，
（8分） 故T n ＝
∑=n
i i
b
1
＝
2
1⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+--++-+-)161561(...)13171()711(n n ＝
21（1－1
61
+n ）. （10分） 因此，要使21（1－161+n ）<20m （n N *
∈）成立的m,
必须且仅须满足21≤20
m
，即m ≥10，所以满足要求的最小正整数m 为10. （12分）
21．（本小题满分14分）
数列{}n a 满足11
,2
a =11
2n n
a a +=
-． （Ⅰ）求数列{n a }的通项公式；
（Ⅱ）设数列{n a }的前n 项和为n S ，证明2
ln()2
n n S n +<-． 解：(Ⅰ)方法一：n
n
n n a a a a --=--=
-+21121
11， 所以
1
1
1121
11-+
-=--=
-+n n n n a a a a ． ……3分 所以}1
1
{
-n a 是首项为2-，公差为1-的等差数列． ……4分 所以
111--=-n a n ，所以1
+=
n n
a n ． ……6分 方法二：322=
a ，433=a ，544=a ，猜测1
+=n n
a n ． ……2分 下用数学归纳法进行证明．
①当1=n 时，由题目已知可知2
1
1=
a ，命题成立； ……3分 ②假设当k n =(N k k ∈≥,1)时成立，即1
+=k k
a k ，那么
当1+=k n ，2
1
1
21211++=
+-=-=
+k k k k a a k k ， 也就是说，当1+=k n 时命题也成立． ……5分 综上所述，数列}{n a 的通项公式为1
+=
n n
a n ． ……6分 （Ⅱ） 设()ln(1)(0)F x x x x =+-> 则1()10(0)11
x F x x x x -'=
-=<>++ ……8分 函数()F x 为(0,)+∞上的减函数，所以()(0)0F x F <=，即ln(1)(0)x x x +<> 从而 1111
ln(1),11ln(1),1111
n n n n +
<-<-+++++ ……10分 1
11ln(2)ln(1),1
n a n n n =-
<-++++ ……11分 (1ln 3ln 2)(1ln 4ln 3)[1ln(2)ln(1)]n S n n <-++-++
+-+++ ……13分
2
ln(
)2
n n S n +<- ……14分 20. (本题满分14分)
设函数()f x 的定义域为R ，当x ＜0时()f x ＞1，且对任意的实数x ，y ∈R ，有
()()()f x y f x f y +=
（Ⅰ）求()0f ,判断并证明函数()f x 的单调性； （Ⅱ）数列{}n a 满足()10a f =,且)()
2(1
)(*1N n a f a f n n ∈--=
+
①求{}n a 通项公式。

②当1a >时，不等式
)1log (log 35
121 (11122)
1
+->+
++
+++x x a a a a a n n n 对不小于2的正整数恒成立，求x 的取值范围。

．20. 解：（Ⅰ）0),()()(,,<⋅=+∈x y f x f y x f R y x 时，f （x ）＞1
令x=－1，y=0则f （－1）=f （－1）f （0）∵f （－1）＞1 ∴f （0）=1……………………………2′
若x ＞0，则f （x －x ）=f （0）=f （x ）f （－x ）故)1,0()
(1
)(∈-=
x f x f 故x ∈R f （x ）＞0…………………………………………………4分 任取x 1＜x 2 )()()()(1211212x x f x f x x x f x f -=-+=
)()(1)(00121212x f x f x x f x x <∴<-<∴>-
故f （x ）在R 上减函数………………………………………..6分 （Ⅱ）①)2()
2(1
)(,1)0(11n n n a f a f a f f a +=--=
==+ 由f （x ）单调性
………………………………………………………………………………8分 a n+1=a n +2 故{a n }等差数列 12-=∴n a n ……………………………9分 ②2232122
1
1...11,1...11+++++++++=+++
=
n n n n n n n n a a a b a a a b 则 1
21
3411411111
2
21
21+-+++=
-+
=
-++++n n n a a a b b n n n n n }{,0)
12)(34)(14(1
n b n n n >+++=
是递增数列
………………………………………………………………………11分 当n ≥2时，35
12715111)(432min =+=+=
=a a b b n )1log (log 35
12
35121+->∴
+x x a a ……………………………12分 即x x x x a a a a log log 11log log 11<⇒<+-++ 而a ＞1，∴x ＞1
故x 的取值范围（1，+∞）……………………………14分
20．（本小题满分14分）
观察下列三角形数表
1 -----------第一行
2 2 -----------第二行
3 4 3 -----------第三行 4 7 7 4 -----------第四行 5 11 14 11 5
… … … …
… … … … …
假设第n 行的第二个数为(2,N )n a n n *
≥∈，
（Ⅰ）依次写出第六行的所有6个数字；
（Ⅱ）归纳出1n n a a +与的关系式并求出n a 的通项公式； （Ⅲ）设1,n n a b =求证：232n b b b ++
+<
解：（1）第六行的所有6个数字分别是6，16，25，25，16，6； --------------2分 （2）依题意)2(1≥+=+n n a a n n ，22=a -------------------------------5分
)(......)()(134232--++-+-+=n n n a a a a a a a a ------------------------7分
(2)(1)
223......(1)22
n n n -+=++++-=+
，
所以)2(12
1
212≥+-=
n n n a n ； -------------------------------------9分 （3）因为1,n n a b =所以)1
11(222222n n n n n n b n --=-<+-= -------------11分
)]111(...)3121()2111[(2......432n n b b b b n --++-+-<++++2)1
1(2<-=n
---14分
21．（本小题满分14分）
已知数列{}n a 中，12a =，23a =，其前n 项和n S 满足
1121n n n S S S +-+=+（2n ≥，*n ∈N ）．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设14(1)2(n a
n n n b λλ-=+-⋅为非零整数，*
n ∈N ），试确定λ的值，使得对
任意*
n ∈N ，都有n n b b >+1成立．
21．（本小题满分14分）
（本小题主要考查等差数列、不等式及其性质等基础知识，考查分类讨论、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力）
解：（1）由已知，()()111n n n n S S S S +----=（2n ≥，*
n ∈N ）， …………………2分
即11n n a a +-=（2n ≥，*
n ∈N ），且211a a -=．
∴数列{}n a 是以12a =为首项，公差为1的等差数列．
∴1n a n =+．……………………………………………………………………………4分
（2）∵1n a n =+，∴11
4(1)2n n n n b λ-+=+-⋅，要使n n b b >+1恒成立，
∴()()
1
12114412120n
n n n n n n n b b λλ-++++-=-+-⋅--⋅>恒成立，
∴()
1
1343120n n
n λ-+⋅-⋅->恒成立，
∴()
1
112n n λ---<恒成立．……………………………………………………………6分
（ⅰ）当n 为奇数时，即1
2
n λ-<恒成立，…………………………………………7分
当且仅当1n =时，12n -有最小值为1，
∴1λ<．………………………………………………………………………………9分 （ⅱ）当n 为偶数时，即1
2n λ->-恒成立，………………………………………10分
当且仅当2n =时，1
2
n --有最大值2-，
∴2λ>-．……………………………………………………………………………12分 即21λ-<<，又λ为非零整数，则1λ=-．
综上所述，存在1λ=-，使得对任意*
n ∈N ，都有1n n b b +>．…………………14分
20．（本小题满分14分）已知数列{a n }的前n 项为和S n ，点),
(n S n n 在直线2
11
21+=x y 上. 数列{b n }满足11),(023*
12=∈=+-++b N n b b b n n n 且，前9项和为153.
（Ⅰ）求数列{a n }、{b n }的通项公式； （Ⅱ）设)12)(112(3--=
n n n b a c ，数列{c n }的前n 和为T n ，求使不等式57
k
T n >对一
切*
N n ∈都成立的最大正整数k 的值.
（Ⅲ）设*
*
(21,)()(2,)
n n a n l l N f n b n l l N ⎧=-∈⎪=⎨=∈⎪⎩，问是否存在*
N m ∈，使得)(5)15(m f m f =+成立？
若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.
20、解：（Ⅰ）由题意，得
.2
11
21,211212n n S n n S n n +=+=即 故当2≥n 时，.5)]1(2
11
)1(21[)2112
1
(22
1+=-+--+
=-=-n n n n n S S a n n n 当n = 1时，611==S a ，而当n = 1时，n + 5 = 6，
所以，).(5*
N n n a n ∈+= …………………………………………………… 2分 又)(,02*
11212N n b b b b b b b n n n n n n n ∈-=-=+-+++++即，
所以{b n }为等差数列，于是
.1532
)
(973=+b b 而.33
711
23,23,1173=--=
==d b b 故
因此，).(23,23)3(3*
3N n n b n n b b n n ∈+=+=-+=即 ………………4分
（Ⅱ）]
1)23(2][11)5(2[3
)12)(112(3-+-+=--=
n n b a c n n n
).1
21
121(21)12)(12(1+--=+-=
n n n n …………………………6分
所以，)]1
21121()7151()5131()311[(2121+--++-+-+-=+++=n n c c c T n n .1
2)1211(21+=+-=n n
n …………………………………………7分
由于0)
12)(32(1
123211>++=+-++=
-+n n n n n n T T n n ，
因此T n 单调递增，故.3
1
)(min =n T ………………………………………………8分 令
.18,19,57
31max =<>K k k
所以得 …………………………………………9分 （Ⅲ）⎪⎩⎪⎨⎧∈=+∈-=+=).
,2(23),
,12(5)(*
*
N l l n n N l l n n n f
①当m 为奇数时，m + 15为偶数.
此时255)5(5)(5,4732)15(3)15(+=+=+=++=+m m m f m m m f ， 所以.11,255473=+=+m m m ………………………………………………11分 ②当m 为偶数时，m + 15为奇数.
此时1015)23(5)(5,20515)15(+=+=+=++=+m m m f m m m f ， 所以*7
5
,101520N m m m ∉=
+=+（舍去）. ……………………………………13分 综上，存在唯一正整数m =11，使得)(5)15(m f m f =+成立. ……………………14分
20．（本小题满分14分）
已知数列{}n a
满足
1
n n
a a -=0n a >。

（1）求数列{}n a 的通项公式； (2)
证明
1
n
i
i a
=<∑
（3）数列{}n a 是否存在最大项？若存在最大项，求出该项和相应的项数；若不存在，说明理由。

20
．
解
：
（
1
）
由
1
n n
a a -=
得
210n n a +-=----------------------------------------1分
由一元二次方程求根公式得
2
n a -=
=---------------------------3分
∵0n a >
∴n a =分 (2)
∵n a =
∴
121
n
i
n i a
a a a ==+++
∑1)(1n =+
+
++
＝
1
------------------------------------------------------------6分
11
=0<
∴
1
n
i
i a
=<∑--------------------------------------------------------------------
----8
分
（其它证法请参照给分） （
3）解法1：∵ n a =
∴
1n n a a
+
=
=
=
＝
-------------------------------------------------10分
∵n N
*
∈,
<
∴
1
1n n
a a +<，∵0n a > ∴1,n n a a n N *
+<∈即1231n n a a a a a +>>>
>>
>
∴数列{}n a 有最大项，最大项为第一项11
a =。

---------- -14分
〔解法2：由n a
=
{}n a 各项满足函数()
f x =
∵'()f x =
当0x
><
∴当0x >时'()0f x <，即函数()f x =(0,)+∞上为减函数
即有1231n n a a a a a +>>>
>>>
∴数列{}n a 有最大项，最大项为第一项11a =。

] 19. (本小题满分14分)
数列{a n }的前n 项和记为S n ，()111,211n n a a S n +==+≥ （I ）求{a n }的通项公式;
（II ）等差数列{b n }的各项为正，其前n 项和为T n ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成
等比数列，求T n
19．（I ）由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥， ………………1分
两式相减得()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥ (3)
分
又21213a S =+= ∴213a a =，故{a n }是首项为1，公比为3得等比数列 ……4分 ∴13n n a -=. ………………………………………………………
6分
（II ）设{b n }的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b =， ………8分
故可设135,5b d b d =-=+ ………………9分 又1231,3,9a a a ===由题意可得
()()()2
515953d d -+++=+解得10,221-==d d ………………………………
11分
∵等差数列{b n }的各项为正，∴0d >，∴2d = …………………………12分 ∴()
213222
n n n T n n n -=+
⨯=+ ……………………………………14分
17．（本小题满分12分）
已知函数()f x 是一次函数，且(8)15,f =(2),(5),(14)f f f 成等比数列，设
()n a f n =，(n N *∈)
（1）求
1
n
i i a =∑；
（2）设2n
n b =，求数列{}n n a b 的前n 项和n S 。

17．解：（1）设
()f x ax b =+，
（0a ≠）由(8)15,f =(2),(5),(14)f f f 成等比数列得 815a b +=，----------------①, 2(5)(2)(14)f f f =⋅得
2(5)(2)(14)a b a b a b +=++2360a ab ⇒+=
∵0a ≠ ∴2a b =----------------②
由①②得2,1a b ==-， ∴()21f x x =------------------------------4分 ∴21n a n =-，显然数列{}n a 是首项11,a =公差2d =的等差数列 ∴
1
n
i i a =∑＝
212(121)
2
n n n a a a n +-++
+=
=------------------------------------6分
[或
2121
2(1)
2(12)2
n
i n i n n a a a a n n n n =+=++
+=++
+-=
-=∑] （2）∵(21)2n
n n a b n =-⋅
∴1122n n n S a b a b a b =++
+＝2323252(21)2n n +⋅+⋅+
+-⋅------------8分
2n S ＝2
3
4
123252(23)2(21)2n n n n ++⋅+⋅++-⋅+-⋅
－n S ＝2
3
122(222)(21)2n n n +++++--⋅＝31122(21)(21)2n n n -++⋅---⋅---10分 ∴n S ＝1
(23)2
6n n +-⋅+。

------------------------------------------12分
20．(本题满分14分)
已知数列{}n a 中,()2
11111,,2n n n n n a a a a a a n N n +--+==+∈≥,且
1
1,n n
a kn a +=+ (Ⅰ)求证：k 1=;
(Ⅱ)设()1
()1!
n n a x g x n -=-,()f x 是数列(){}g x 的前n 项和,求()f x 的解析式;
(Ⅲ)求证：不等式()()3
23f g n
<对n N +∈恒成立.
20. (本题满分14分) .解:
1
1n n
a kn a +=+ 故
2
21
1a a k a ==+,．……………………………………1分 又因为()211111,,2n n n n n a a a a a a n N n +--+==+∈≥ 则3121a a a a =2
2a +,即
332222
1,21,2a a
a k a k a a =+=+∴=又．………………………3分 所以212,1k a k k +==∴=, ……………………………………4 (2)
1
1,n n
a n a +=+ 121121
n n n n n a a a a a a a a ---=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=()1...21!n n n ⋅-⋅⋅⋅= ……………………………………6 因为()()11!
n n a x g x n -=-=1
n nx -
所以,当1x =时,()()()
11123 (2)
n n f x f n +==++++=
……………………………7 当1x ≠时,()2
1
123...n f x x x nx
-=++++ (1)
()1x ⋅得()()23123...1n n xf x x x x n x nx -=++++-+……(2) ()()()()2112:11...n n x f x x x x nx ---=++++-
=
11n
n x nx x
--- ()()
2
111n
n x nx f x x
x -∴=
--- (9)
综上所述:2
(1)
,12()1,1
(1)1n n
n n x f x x nx x x x
+⎧=⎪⎪
=⎨-⎪-≠⎪--⎩ ……………………………10 (3)因为()()
()2
122212112
12n
n
n n f n -∴=
-=-+-- 又
()3
33n g n
=,易验证当1,2n =,3时不等式不成立; ……………………………11 假设()3n k k =≥,不等式成立,即()3121k k k >-+ 两边乘以3得:()()1
113
31232131222k k k k k k k k k +++>-+=⋅++--+
又因为()()()1
3122
2233223220k k k k k k k k k +--⋅+=--+=-+>
所以()1
1113
213122221k k k k k k k k k ++++>⋅++--+>⋅+
即1n k =+时不等式成立.故不等式恒成立. ……………………………14 19.（本小题满分14分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，其中0n a ≠，1a 为常数，且1a -、n S 、1n a +成等差数列． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设1n n b S =-，问：是否存在1a ，使数列{}n b 为等比数列？若存在，求出1a 的值； 若不存在，请说明理由．
16. 解：（Ⅰ）依题意，得112n n S a a +=-．于是，当2n ≥时，有
11
1
122n n n n S a a S a a +-=-⎧⎨
=-⎩． 两式相减，得13n n a a +=（2n ≥）． 又因为211123a S a a =+=，0n a ≠，所以数列{}n a 是首项为1a 、公比为3的等比数列．
因此，113n n a a -=⋅（n *∈N ）；
（Ⅱ）因为111(13)11
31322
n n n a S a a -==⋅--，所以
1111
11322n
n n b S a a =-=+-⋅．
要使{}n b 为等比数列，当且仅当11
102
a +=，即12a =-．
20.（本小题满分14分）
如图，111(,)P x y 、222(,)P x y 、…、(,)n n n P x y （120n y y y <<<<）
是曲线C ：23y x = （0y ≥）上的n 个点，点(,0)i i A a （1,2,3,,i n =）在x 轴的正半轴上，且1i i i A A P -∆是
正三角形（0A 是坐标原点）．
（Ⅰ）写出1a 、2a 、3a ；
（Ⅱ）求出点(,0)n n A a （n *∈N ）的横坐标n a 关于n 的表达式； （Ⅲ）设123
2111
1
n n n n n
b a a a a +++=++++
，若对任意的正整数n ，当[1,1]m ∈-时，不等式21
26
n t mt b -+
>恒成立，求实数t 的取值范围．
20.解：（Ⅰ）12a =，26a =，312a =；
（Ⅱ）依题意，得12n n n a a x -+=
，132n n n a a y --=，由此及2
3n
n y x =得 2
1133()22n n n n a a a a ---⎫=+⎪⎭
， 即211()2()n n n n a a a a ---=+．
由（Ⅰ）可猜想：(1)n a n n =+（n *∈N ）．
下面用数学归纳法予以证明： （1）当1n =时，命题显然成立；
（2）假定当n k =时命题成立，即有(1)n a k k =+，则当1n k =+时，由归纳假设及
211()2()k k k k a a a a ++-=+
得211[(1)]2[(1)]k k a k k k k a ++-+=++，即
2211()2(1)[(1)][(1)(2)]0k k a k k a k k k k ++-+++-⋅++=，
解之得
1(1)(2)k a k k +=++（1(1)k k a k k a +=-<不合题意，舍去）
， 即当1n k =+时，命题成立．
由（1）、（2）知：命题成立． （Ⅲ）123
2111
1n n n n n
b a a a a +++=
++++
11
1
(1)(2)(2)(3)
2(21)
n n n n n n =
++
+
+++++
2111
112123123
n n n n n n n =
-==
++++⎛
⎫++ ⎪⎝
⎭． 令1()2f x x x =+（1x ≥），则21
()2210f x x
'=-≥->，所以()f x 在[1,)+∞上是增函
数，故当1x =时，()f x 取得最小值3，即当1n =时，max 1
()6
n b =．
21
26n t mt b -+>（n *∀∈N ，[1,1]m ∀∈-）
2max 11
2()66
n t mt b ⇔-+>=，即220t mt ->（[1,1]m ∀∈-）
22
20
20
t t t t ⎧->⎪⇔⎨+>⎪⎩．解之得，实数t 的取值范围为(,2)(2,)-∞-+∞．。