建平县第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

建平县第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 函数f （x ）=1﹣xlnx 的零点所在区间是（ ）
A ．（0，）
B ．（，1）
C ．（1，2）
D ．（2，3）
2． 直线l 过点P （2，﹣2），且与直线x+2y ﹣3=0垂直，则直线l 的方程为（ ）
A ．2x+y ﹣2=0
B ．2x ﹣y ﹣6=0
C ．x ﹣2y ﹣6=0
D ．x ﹣2y+5=0
3． 设{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．6
4．
+（a ﹣4）0有意义，则a 的取值范围是（ ）
A ．a ≥2
B ．2≤a ＜4或a ＞4
C ．a ≠2
D ．a ≠4
5． 若抛物线y 2=2px 的焦点与双曲线
﹣
=1的右焦点重合，则p 的值为（ ）
A ．﹣2
B ．2
C ．﹣4
D ．4
6． 从1、2、3、4、5中任取3个不同的数、则这3个数能构成一个三角形三边长的概率为（ ） A.110 B.15 C.310 D.25 7． （文科）要得到()2log 2g x x =的图象，只需将函数()2log f x x =的图象（ ）
A ．向左平移1个单位
B ．向右平移1个单位
C ．向上平移1个单位
D ．向下平移1个单位 8． 已知数列{a n }中，a 1=1，a n+1=a n +n ，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是（ ）
A ．n ≤8？
B ．n ≤9？
C ．n ≤10？
D ．n ≤11？
9． 设集合(){,|,,1A x y x y x y =
--是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 10．已知f （x ）在R 上是奇函数，且满足f （x+4）=f （x ），当x ∈（0，2）时，f （x ）=2x 2，则f （2015）=
（ ） A ．2
B ．﹣2
C ．8
D ．﹣8
11．过抛物线2
2(0)y px p =>焦点F 的直线与双曲线2
2
18
-=y x 的一条渐近线平行，并交其抛物线于A 、 B 两点，若>AF BF ，且||3AF =，则抛物线方程为（ ）
A ．2
y x = B ．2
2y x = C ．24y x = D ．2
3y x =
【命题意图】本题考查抛物线方程、抛物线定义、双曲线标准方程和简单几何性质等基础知识，意在考查方程思想和运算能力．
12．若向量（1，0，x ）与向量（2，1，2）的夹角的余弦值为，则x 为（ ）
A ．0
B ．1
C ．﹣1
D ．2
二、填空题
13．对于集合M ，定义函数
对于两个集合A ，B ，定义集合A △B={x|f A （x ）f B （x ）
=﹣1}．已知A={2，4，6，8，10}，B={1，2，4，8，12}，则用列举法写出集合A △B 的结果为 ．
14．一个总体分为A ，B ，C 三层，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为15的样本，若B 层中每个个体被
抽到的概率都为
，则总体的个数为 ．
15．双曲线x 2﹣my 2=1（m ＞0）的实轴长是虚轴长的2倍，则m 的值为 ．
16．函数()2log f x x =在点()1,2A 处切线的斜率为 ▲ ．
17．函数()y f x =图象上不同两点()()1122,,,A x y B x y 处的切线的斜率分别是A B k k ，，规定
(),A B
k k A B AB
ϕ-=
（AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给 出以下命题：
①函数321y x x =-+图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和2，则(),A B ϕ ②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ③设点A,B 是抛物线2
1y x =+上不同的两点，则(),2A B ϕ≤；
④设曲线x
y e =（e 是自然对数的底数）上不同两点()()112212,,,,1A x y B x y x x -=且，若(),1
t A B ϕ⋅<
恒成立，则实数t 的取值范围是(),1-∞.
其中真命题的序号为________.（将所有真命题的序号都填上）
18．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与函数
()()2220f x x a x =+>和()()3220g x x a x =+>均相切（其中a 为常数），切点分别为()11,A x y 和()22,B x y ，则12x x +的值为__________． 三、解答题
19．如图，已知AC ，BD 为圆O 的任意两条直径，直线AE ，CF 是圆O 所在平面的两条垂线，且线段AE=CF=，
AC=2．
（Ⅰ）证明AD ⊥BE ；
（Ⅱ）求多面体EF ﹣ABCD 体积的最大值．
20．如图，在底面是矩形的四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=2，E是PD的中点．（1）求证：平面PDC⊥平面PAD；
（2）求二面角E﹣AC﹣D所成平面角的余弦值．
21．某小区在一次对20岁以上居民节能意识的问卷调查中，随机抽取了100份问卷进行统计，得到相关的数
（2）据了解到，全小区节能意识强的人共有350人，估计这350人中，年龄大于50岁的有多少人？
（3）按年龄分层抽样，从节能意识强的居民中抽5人，再从这5人中任取2人，求恰有1人年龄在20至50岁的概率．
22．如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，BC⊥CF，，EF=2，BE=3，CF=4．（Ⅰ）求证：EF⊥平面DCE；
（Ⅱ）当AB的长为何值时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°．
23．已知数列{a n}是等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，且a3=3，S3=9
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=log2，且{b n}为递增数列，若c n=，求证：c1+c2+c3+…+c n＜1．
24．（本小题满分12分）
某超市销售一种蔬菜，根据以往情况，得到每天销售量的频率分布直方图如下：
（Ⅰ）求频率分布直方图中的a 的值，并估计每天销售量的中位数；
（Ⅱ）这种蔬菜每天进货当天必须销售，否则只能作为垃圾处理．每售出1千克蔬菜获利4元，未售出的蔬菜，每千克亏损2元．假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，估计当超市每天的进货量为75千克时获利的平均值．
0.005
0.02
频率组距
O
千克
建平县第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】C
【解析】解：∵f （1）=1＞0，f （2）=1﹣
2ln2=ln ＜0， ∴函数f （x ）=1﹣xlnx 的零点所在区间是（1，2）． 故选：C ．
【点评】本题主要考查函数零点区间的判断，判断的主要方法是利用根的存在性定理，判断函数在给定区间端点处的符号是否相反．
2． 【答案】B
【解析】解：∵直线x+2y ﹣3=0
的斜率为﹣，
∴与直线x+2y ﹣3=0垂直的直线斜率为2， 故直线l 的方程为y ﹣（﹣2）=2（x ﹣2），
化为一般式可得2x ﹣y ﹣6=0
故选：B
【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．
3． 【答案】B 【解析】
试题分析：设{}n a 的前三项为123,,a a a ，则由等差数列的性质，可得1322a a a +=，所以12323a a a a ++=， 解得24a =，由题意得1313812
a a a a +=⎧⎨
=⎩，解得1326a a =⎧⎨=⎩或136
2a a =⎧⎨=⎩，因为{}n a 是递增的等差数列，所以
132,6a a ==，故选B ．
考点：等差数列的性质． 4． 【答案】B 【解析】
解：∵+（a ﹣4）0有意义，
∴
，
解得2≤a ＜4或a ＞4． 故选：B ．
5． 【答案】D
【解析】解：双曲线﹣=1的右焦点为（2，0），
即抛物线y2=2px的焦点为（2，0），
∴=2，
∴p=4．
故选D．
【点评】本题考查双曲线、抛物线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
6．【答案】
【解析】解析：选C.从1、2、3、4、5中任取3个不同的数有下面10个不同结果：（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，
4，5），能构成一个三角形三边的数为（2，3，4），（2，4，5），（3，4，5），故概率P＝3
10.
7．【答案】C
【解析】
试题分析：()2222
log2log2log1log
g x x x x
==+=+，故向上平移个单位.
考点：图象平移．
8．【答案】B
【解析】解：n=1，满足条件，执行循环体，S=1+1=2
n=2，满足条件，执行循环体，S=1+1+2=4
n=3，满足条件，执行循环体，S=1+1+2+3=7
n=10，不满足条件，退出循环体，循环满足的条件为n≤9，
故选B．
【点评】本题主要考查了当型循环结构，算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．
9．【答案】A
【解析】
考
点：二元一次不等式所表示的平面区域. 10．【答案】B
【解析】解：∵f （x+4）=f （x ）， ∴f （2015）=f （504×4﹣1）=f （﹣1）， 又∵f （x ）在R 上是奇函数， ∴f （﹣1）=﹣f （1）=﹣2．
故选B ．
【点评】本题考查了函数的奇偶性与周期性的应用，属于基础题．
11．【答案】C
【解析】
由已知得双曲线的一条渐近线方程为=y ，设00(,)A x y ，则02>p x
，所以0
002
002322ì=ï
ï-ïïïï
+=íï
ï=ïïïïî
y p x p x y px ，
解得2=p 或4=p ，因为322
->p p
，故03p <<，故2=p ，所以抛物线方程为24y x ． 12．【答案】A
【解析】
解：由题意
=，∴
1+x=
，解得x=0
故选A
【点评】本题考查空间向量的夹角与距离求解公式，考查根据公式建立方程求解未知数，是向量中的基本题型，此类题直接考查公式的记忆与对概念的理解，正确利用概念与公式解题是此类题的特点．
二、填空题
13．【答案】 {1，6，10，12} ．
【解析】解：要使f A （x ）f B （x ）=﹣1， 必有x ∈{x|x ∈A 且x ∉B}∪{x|x ∈B 且x ∉A} ={6，10}∪{1，12}={1，6，10，12，}， 所以A △B={1，6，10，12}． 故答案为{1，6，10，12}．
【点评】本题是新定义题，考查了交、并、补集的混合运算，解答的关键是对新定义的理解，是基础题． 14．【答案】 300 ．
【解析】解：根据分层抽样的特征，每个个体被抽到的概率都相等，
所以总体中的个体的个数为15÷=300．
故答案为：300．
【点评】本题考查了样本容量与总体的关系以及抽样方法的应用问题，是基础题目．
15．【答案】 4 ．
【解析】解：双曲线x 2﹣my 2=1化为x 2
﹣
=1，
∴a 2=1，b 2
=，
∵实轴长是虚轴长的2倍，
∴2a=2×2b ，化为a 2=4b 2
，即1=，
解得m=4． 故答案为：4．
【点评】熟练掌握双曲线的标准方程及实轴、虚轴的定义是解题的关键．
16．【答案】1
ln 2
【解析】
试题分析：()()111ln 2ln 2
f x k f x ''=
∴==
考点：导数几何意义
【思路点睛】（1）求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.
（2）利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解. 17．【答案】②③ 【解析】
试题分析：①错：(1,1),(2,5),|||7,A B A B AB k k -
=(,)A B ϕ∴=<
②对：如1y =
；③对；(,)2A B ϕ==
≤；
④错；1212(,)x x x x A B ϕ=
=
，
1211,(,)A B ϕ==因为1
(,)
t A B ϕ<恒成立，故1t ≤.故答案为②③.111] 考点：1、利用导数求曲线的切线斜率；2、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题.
【方法点晴】本题通过新定义“弯曲度”对多个命题真假的判断考查利用导数求曲线的切线斜率、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题以及及数学化归思想，属于难题.该题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题. 18．【答案】
56
27
【解析】
三、解答题
19．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：∵BD为圆O的直径，∴AB⊥AD，
∵直线AE是圆O所在平面的垂线，
∴AD⊥AE，
∵AB∩AE=A，
∴AD⊥平面ABE，
∴AD⊥BE；
（Ⅱ）解：多面体EF﹣ABCD体积V=V B﹣AEFC+V D﹣AEFC=2V B﹣AEFC．∵直线AE，CF是圆O所在平面的两条垂线，
∴AE∥CF，∥AE⊥AC，AF⊥AC．
∵AE=CF=，∴AEFC为矩形，
∵AC=2，
∴S AEFC=2，
作BM⊥AC交AC于点M，则BM⊥平面AEFC，
∴V=2V B﹣AEFC=2×≤=．
∴多面体EF﹣ABCD体积的最大值为．
【点评】本题考查线面垂直，线线垂直，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．20．【答案】
【解析】解：（1）∵PA⊥平面ABCD，CD⊆平面ABCD，∴PA⊥CD
∵AD⊥CD，PA、AD是平面PAD内的相交直线，∴CD⊥平面PAD
∵CD⊆平面PDC，
∴平面PDC⊥平面PAD；
（2）取AD中点O，连接EO，
∵△PAD中，EO是中位线，∴EO∥PA
∵PA⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD，
∵AC⊆平面ABCD，∴EO⊥AC
过O作OF⊥AC于F，连接EF，则
∵EO、OF是平面OEF内的相交直线，
∴AC⊥平面OEF，所以EF⊥AC
∴∠EFO就是二面角E﹣AC﹣D的平面角
由PA=2，得EO=1，
在Rt△ADC中，设AC边上的高为h，则AD×DC=AC×h，得h=
∵O是AD的中点，∴OF=×=
∵EO=1，∴Rt△EOF中，EF==
∴cos∠EFO==
【点评】本题给出特殊的四棱锥，叫我们证明面面垂直并求二面角的余弦值，着重考查了平面与平面所成角的求法和线面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．
21．【答案】
【解析】解（1）因为20至50岁的54人有9人节能意识强，大于50岁的46人有36人节能意识强，与
相差较大，所以节能意识强弱与年龄有关
（2）由数据可估计在节能意识强的人中，年龄大于50岁的概率约为
∴年龄大于50岁的约有（人）
（3）抽取节能意识强的5人中，年龄在20至50岁的（人），
年龄大于50岁的5﹣1=4人，记这5人分别为a，B1，B2，B3，B4．
从这5人中任取2人，共有10种不同取法：（a，B1），（a，B2），（a，B3），（a，B4），（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B2，B3），（B2，B4），（B3，B4），
设A表示随机事件“这5人中任取2人，恰有1人年龄在20至50岁”，
则A中的基本事件有4种：（a，B1），（a，B2），（a，B3），（a，B4）
故所求概率为
22．【答案】
【解析】证明：（Ⅰ）在△BCE中，BC⊥CF，BC=AD=，BE=3，∴EC=，
∵在△FCE中，CF2=EF2+CE2，∴EF⊥CE由已知条件知，DC⊥平面EFCB，
∴DC⊥EF，又DC与EC相交于C，∴EF⊥平面DCE
解：（Ⅱ）
方法一：过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连接AH．
由平面ABCD⊥平面BEFC，平面ABCD∩平面BEFC=BC，
AB⊥BC，得AB⊥平面BEFC，从而AH⊥EF．
所以∠AHB为二面角A﹣EF﹣C的平面角．
在Rt△CEF中，因为EF=2，CF=4．EC=
∴∠CEF=90°，由CE∥BH，得∠BHE=90°，又在Rt△BHE中，BE=3，
∴
由二面角A﹣EF﹣C的平面角∠AHB=60°，在Rt△AHB中，解得，
所以当时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°
方法二：如图，以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系C﹣xyz．
设AB=a（a＞0），则C（0，0，0），A（，0，a），B（，0，0），E（，3，0），F（0，4，0）．
从而，
设平面AEF的法向量为，由得，，取x=1，
则，即，
不妨设平面EFCB的法向量为，
由条件，得
解得．所以当时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°．
【点评】本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，其中（I）的关键是熟练掌握线线垂直、线面垂直与面面垂直的之间的相互转化，（II）的关键是建立空间坐标系，将二面角问题，转化为向量的夹角问题．
23．【答案】已知数列{a n }是等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 3=3，S 3=9 （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）设b n =log 2
，且{b n }为递增数列，若c n =
，求证：c 1+c 2+c 3+…+c n ＜1．
【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．
【专题】计算题；证明题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，从而可得3（1++
）=9，从而解得；
（Ⅱ）讨论可知a 2n+3=3•（﹣）2n =3•（）2n
，从而可得b n =log 2
=2n ，利用裂项求和法求和．
【解析】解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，
则3（1++
）=9，
解得，q=1或q=﹣；
故a n =3，或a n =3•（﹣）n ﹣3
；
（Ⅱ）证明：若a n =3，则b n =0，与题意不符；
故a 2n+3=3•（﹣）2n =3•（）2n
，
故b n =log 2=2n ，
故c n =
=﹣
，
故c 1+c 2+c 3+…+c n =1﹣+﹣+…+﹣
=1﹣
＜1．
【点评】本题考查了数列的性质的判断与应用，同时考查了方程的思想应用及裂项求和法的应用．
24．【答案】（本小题满分12分）
解：本题考查频率分布直方图，以及根据频率分布直方图估计中位数与平均数． （Ⅰ）由(0.0050.0150.020.025)101a ++++⨯=得0.035a = （3分）
每天销售量的中位数为0.15
701074.30.35
+
⨯=千克 （6分） （Ⅱ）若当天的销售量为[50,60)，则超市获利554202180⨯-⨯=元；
若当天的销售量为[60,70)，则超市获利654102240⨯-⨯=元； 若当天的销售量为[70,100)，则超市获利754300⨯=元， （10分）
⨯+⨯+⨯=元. （12分）∴获利的平均值为0.151800.22400.65300270。