福建省宁德市2021届新高考数学一月模拟试卷含解析

福建省宁德市2021届新高考数学一月模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知直线1l ：x my =（0m ≠）与抛物线C ：24y x =交于O （坐标原点），A 两点，直线2l ：x my m
=+与抛物线C 交于B ，D 两点.若||3||BD OA =，则实数m 的值为（ ）
A ．14
B ．15
C ．13
D ．18
【答案】D
【解析】
【分析】
设()11,B x y ，()22,D x y ，联立直线与抛物线方程，消去x 、列出韦达定理，再由直线x my =与抛物线的交点求出A 点坐标，最后根据||3||BD OA =，得到方程，即可求出参数的值；
【详解】
解：设()11,B x y ，()22,D x y ，由24x my m y x
=+⎧⎨=⎩，得2440y my m --=， ∵216160m m ∆=+>，解得1m <-或0m >，∴124y y m +=，124y y m =-.
又由24x my y x
=⎧⎨=⎩，得240y my -=，∴0y =或4y m =，∴()24,4A m m ， ∵||3||BD OA =，
∴)()()224212
(191616m y y m m +-=+， 又∵()()22212121241616y y y y y y m m -=+-=+，
∴代入解得18m =
. 故选：D
【点睛】
本题考查直线与抛物线的综合应用，弦长公式的应用，属于中档题.
2．已知集合{}|,A x x a a R =≤∈，{}
|216x B x =<，若A B ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．∅
B ．R
C ．(],4-∞
D ．(),4-∞
【答案】D
【解析】
【分析】
先化简{}
{}|216|4x B x x x =<=<，再根据{}|,A x x a a R =≤∈，且A B 求解. 【详解】
因为{}
{}|216|4x B x x x =<=<， 又因为{}|,A x x a a R =≤∈，且A B ，
所以4a <.
故选：D
【点睛】
本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
3．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则
A ．log a c ＜log b c
B ．log c a ＜log c b
C ．a c ＜b c
D ．c a ＞c b
【答案】B
【解析】 试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gc log c ,log c lg a lg b
==，01c <<Q ，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、
的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c
改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用c y x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用x y c =在
R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.
【考点】指数函数与对数函数的性质
【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.
4．已知20,()1(0),{|()},{|(())()}a f x ax x x A x f x x B x f f x f x x >=-+>=≤=≤≤，若A B φ=≠则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(0,1]
B ．3(0,]4
C ．3[,1]4
D ．[1,)+∞
【答案】C
【解析】
【分析】
根据A φ≠，得到2()1f x ax x x =-+≤有解，则440a ∆=-≥，得01a <≤，
1211,x x a a +==，得到12{|()}[]11,[A x f x x x x a a
-≤===，再根据{|(())()}B x f f x f x x =≤≤，有(())()f f x f x ≤，即()()
22212110a ax x ax x -+--++≤，可化为
()()2222110ax x a x a +-+-≤，根据A B φ=≠，则2210a x a -≥+的解集包含11[,]a a +求解，
【详解】
因为A φ≠，
所以2()1f x ax x x =-+≤有解，
即2()210f x ax x =-+≤有解，
所以440a ∆=-≥，得01a <≤，1211x x a a
==，
所以12{|()}[]11,[A x f x x x x a a
-≤===， 又因为{|(())()}B x f f x f x x =≤≤，
所以(())()f f x f x ≤，
即()()22212110a ax x ax x -+--++≤，
可化为()()
2222110ax x a x a +-+-≤，
因为A B φ=≠，
所以2210a x a -≥+的解集包含，
≤≥， 解得314
a ≤≤， 故选：C
【点睛】
本题主要考查一元二次不等式的解法及集合的关系的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题，
5．已知集合{}21|A x log x =<，集合{|B y y ==
，则A B =U （ ） A ．(),2-∞ B ．(],2-∞ C ．()0,2
D ．[)0,+∞
【解析】
【分析】
可求出集合A ，B ，然后进行并集的运算即可．
【详解】
解：{}|02A x x =<<，{}|0B y y =≥；
∴[)0,A B =+∞U ．
故选D ．
【点睛】
考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及并集的运算．
6．若2m ＞2n ＞1，则（ ）
A ．11m n ＞
B ．πm ﹣n ＞1
C ．ln （m ﹣n ）＞0
D ．1122
log m log n ＞ 【答案】B
【解析】
【分析】 根据指数函数的单调性，结合特殊值进行辨析.
【详解】
若2m ＞2n ＞1＝20，∴m ＞n ＞0，∴πm ﹣n ＞π0＝1，故B 正确；
而当m 12=，n 14
=时，检验可得，A 、C 、D 都不正确， 故选：B ．
【点睛】
此题考查根据指数幂的大小关系判断参数的大小，根据参数的大小判定指数幂或对数的大小关系，需要熟练掌握指数函数和对数函数的性质，结合特值法得出选项.
7．在直角坐标平面上，点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，点(),Q a b 的坐标满足方程2268240a b a b ++-+=则y b x a
--的取值范围是（ ）
A ．[]22-,
B ．4433⎡--+⎢⎣⎦
C ．13,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦
D ．6633⎡-⎢⎣⎦ 【答案】B
【解析】
由点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，可得P 在圆()2
211x y -+=上，由(),Q a b 坐标满足方程2268240a b a b ++-+=，可得Q 在圆()()22341x y ++-=上，则
PQ y b k x a
-=-求出两圆内公切线的斜率，利用数形结合可得结果.
【详解】
Q 点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，
P ∴在圆()2
211x y -+=上， (),Q a b Q 在坐标满足方程2268240a b a b ++-+=，
Q ∴在圆()()22
341x y ++-=上， 则PQ y b k x a
-=-作出两圆的图象如图， 设两圆内公切线为AB 与CD ，
由图可知AB PQ CD k k k ≤≤，
设两圆内公切线方程为y kx m =+， 则2211343411k m k k m k m k m k ⎧+=⎪+⎪⇒+=-+-⎨-+-⎪=⎪+⎩
， Q 圆心在内公切线两侧，()34k m k m ∴+=--+-，
可得2m k =+，2222111k m
k k k ++==++，
化为23830k k ++=，47k -±= 即4747AB CD k k ---+==，
474733PQ y b k x a ----+∴≤=≤-， y b x a --的取值范围4747,⎡⎤---+⎢⎥⎣⎦
，故选B. 【点睛】
本题主要考查直线的斜率、直线与圆的位置关系以及数形结合思想的应用，属于综合题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出曲线图象，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.
8．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：(2)()f x e f x +=-（其中 2.71828e =L ），且在区间[,2]e e 上是减函数，令ln 22a =，ln33b =，ln 55
c =，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系（用不等号连接）为（ ） A ．()()()f b f a f c >> B ．()()()f b f c f a >>
C ．()()()f a f b f c >>
D ．()()()f a f c f b >> 【答案】A
【解析】
因为()()2f x e f x +=-，所以()()f x e f x +=４，即周期为４，因为()f x 为奇函数，所以可作一个周期[-2e,2e]示意图，如图()f x 在（０，１）单调递增，因为
1111253253
225252,232301c a b <∴<<∴<∴<<<<，因此()()()f b f a f c >>，选Ａ．
点睛：函数对称性代数表示
（1）函数()f x 为奇函数()()f x f x ⇔=-- ，函数()f x 为偶函数()()f x f x ⇔=-（定义域关于原点对称）；
（2）函数()f x 关于点(,)a b 对称()(2)2f x f x a b ⇔+-+=，函数()f x 关于直线x m =对称()(2)f x f x m ⇔=-+，
（3）函数周期为T,则()()f x f x T =+
9．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边
的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是
A．B．C．
D．
【答案】A
【解析】
【详解】
详解：由题意知，题干中所给的是榫头，是凸出的几何体，求得是卯眼的俯视图，卯眼是凹进去的，即俯视图中应有一不可见的长方形，
且俯视图应为对称图形
故俯视图为
故选A.
点睛：本题主要考查空间几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题。

10．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为坐标原点)，则k的值为()
A． 3B．2C． 33D． 22
【答案】C
【解析】
【分析】
直线过定点，直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点，且∠POQ=120°（其中O为原点），可以发现∠QOx的大小，求得结果．
【详解】
如图，直线过定点（0，1），
∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°，⇒∠1=120°，∠2=60°，
∴由对称性可知k=±3．
故选C．
【点睛】
本题考查过定点的直线系问题，以及直线和圆的位置关系，是基础题．
11．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（）
A．6.25%B．7.5%C．10.25%D．31.25%
【答案】A
【解析】
【分析】
由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比.
【详解】
水费开支占总开支的百分比为
250
20% 6.25% 250450100
⨯=
++
.
故选：A
【点睛】
本题考查折线图与柱形图，属于基础题.
12．已知(,)a bi a b R +∈是
11i i +-的共轭复数,则a b +=（ ） A ．1-
B ．12
- C ．12 D ．1 【答案】A
【解析】
【分析】 先利用复数的除法运算法则求出
11i i
+-的值，再利用共轭复数的定义求出a+bi ，从而确定a ，b 的值，求出a+b ．
【详解】 ()()21(1)21112
i i i i i i ++===-+-i ， ∴a+bi ＝﹣i ，
∴a ＝0，b ＝﹣1，
∴a+b ＝﹣1，
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设,x y 满足约束条件22010210x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪++≥⎩，则12x z y +=+的取值范围是______. 【答案】1111,⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦ 【解析】
【分析】 作出可行域，将目标函数12x z y +=+整理为121
y z x +=+可视为可行解(),x y 与()1,2--的斜率，则由图可知11k z ≤或21k z
≥，分别计算出1k 与2k ，再由不等式的简单性质即可求得答案. 【详解】
作出满足约束条件22010210x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪++≥⎩
的可行域，
显然当1x =-时，z=0；
当1x ≠-时将目标函数12x z y +=+整理为12
1y z x +=+可视为可行解(),x y 与()1,2--的斜率，则由图可知11k z ≤或21k z
≥ 显然21k =，联立4220321053x x y x y y ⎧=-⎪+-=⎧⎪⇒⎨⎨++=⎩⎪=⎪⎩
，所以()()152311413k --==---- 则111z ≤-或11z
≥，故1011z -≤<或01z <≤ 综上所述，1,111z ⎡⎤∈-
⎢⎥⎣⎦
故答案为：1111,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【点睛】
本题考查分式型目标函数的线性规划问题，属于简单题.
14．点(2,1)到直线340x y +=的距离为________
【答案】2
【解析】
【分析】
直接根据点到直线的距离公式即可求出。

【详解】
依据点到直线的距离公式，点(2,1)到直线340x y +=2234+。

【点睛】
本题主要考查点到直线的距离公式的应用。

15．复数(2)z i i =+（其中i 为虚数单位）的共轭复数为________. 【答案】12i -- 【解析】 【分析】
利用复数的乘法运算求出z ，再利用共轭复数的概念即可求解. 【详解】
由(2)2112z i i i i =+=-=-+， 则12z i =--. 故答案为：12i -- 【点睛】
本题考查了复数的四则运算以及共轭复数的概念，属于基础题.
16．已知平面向量a r ，b r
的夹角为3
π,a =r
，且||a b -=r r ，则||b r =____ 【答案】1 【解析】 【分析】
根据平面向量模的定义先由坐标求得a r ，再根据平面向量数量积定义求得a b ⋅r r
；将a b -r r 化简并代入即
可求得||b r
.
【详解】
a =r ，则2a =
=r ，
平面向量a r ，b r 的夹角为3
π
，则由平面向量数量积定义可得1cos 23
2
a b a b b b π⋅=⋅=⨯⨯=r r r r r r ，
根据平面向量模的求法可知a b -==r r
=
解得1b =r
，
故答案为：1. 【点睛】
本题考查了平面向量模的求法及简单应用，平面向量数量积的定义及运算，属于基础题. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数()()2
ln 12
a f x x x x
b =
---，,R a b ∈. （1）当-1b =时，讨论函数()f x 的零点个数；
（2）若()f x 在()0,∞+上单调递增，且2a b c e +≤求c 的最大值. 【答案】（1）见解析（2）2 【解析】 【分析】
（1）将1b =-代入可得()2ln 2a f x x x x =
-,令()
0f x =,则ln 2a x
x =,设()ln x g x x
=,则转化问题为()g x 与
2
a
y =
的交点问题,利用导函数判断()g x 的图象,即可求解； （2）由题可得()ln 0f x ax b x '=+-≥在()0,+?
上恒成立,设()ln h x ax b x =+-,利用导函数可得
()min 11ln h x h b a a ⎛⎫
==++ ⎪⎝⎭
,则()min
0h x ≥,即221ln a b a a +≥--,再设()21ln m x x x =--,利用导函数求得
()m x 的最小值,则2ln2a b +≥,进而求解.
【详解】
（1）当-1b =时,()2
ln 2a f x x x x =
-,定义域为()0,+?,
由()
0f x =可得ln 2a x
x
=
, 令()ln x
g x x =
,则()21ln x g x x
-'=, 由()0g x ¢>,得0x e <<；由()
0g x ¢<,得x e >,
所以()g x 在()0,e 上单调递增,在(),e +∞上单调递减, 则()g x 的最大值为()1
g e e
=
, 且当x e >时,()10g x e <<；当0x e <≤时,()1
g x e ≤,
由此作出函数()g x 的大致图象,如图所示.
由图可知,当2
0a e <<时,直线2
a y =和函数()g x 的图象有两个交点,即函数()f x 有两个零点； 当12a e =或02a
≤,即2a e =或0a ≤时,直线2
a y =和函数()g x 的图象有一个交点,即函数()f x 有一个零点；
当
1
2a e >即2a e
>时,直线2a y =与函数()g x 的象没有交点,即函数()f x 无零点. （2）因为()f x 在()0,+?
上单调递增,即()ln 0f x ax b x '=+-≥在()0,+?上恒成立,
设()ln h x ax b x =+-,则()1h x a x '=-,
①若0a =,则()0h x '<,则()h x 在(
)0,+?上单调递减,显然()ln 0f x b x '=-≥,
在()0,+?
上不恒成立；
②若0a <,则()0h x '<,()h x 在(
)
0,+?
上单调递减,当max ,1b
x a
>-时,0,ln 0ax b x +<-<,故
()0h x <,()f x 单调递减,不符合题意；
③若 0a >,当1
0x a
<<
时,()0h x '<,()h x 单调递减, 当1
x a
>
时,()0h x '>,()h x 单调递增, 所以()min 11ln h x h b a a ⎛⎫
==++ ⎪⎝⎭
,
由()min 0h x ≥,得221ln a b a a +≥--,
设()21ln ,0m x x x x =-->,则()1
2m x x '=-,
当1
02
x <<时,()0m x '<,()m x 单调递减； 当1
2
x >
时,()0m x '>,()m x 单调递增, 所以()1ln 22m x m ⎛⎫
≥= ⎪⎝⎭
,所以2ln2a b +≥,
又2a b c e +≤,所以2≤c ,即c 的最大值为2. 【点睛】
本题考查利用导函数研究函数的零点问题,考查利用导函数求最值,考查运算能力与分类讨论思想.
18．已知六面体ABCDEF 如图所示，BE ⊥平面ABCD ，//BE AF ，//AD BC ，1BC =，CD 2AB AF AD ===，M 是棱FD 上的点，且满足
1
2
FM MD =.
（1）求证：直线//BF 平面MAC ； （2）求二面角A MC D --的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）318
【解析】 【分析】
（1）连接BD ，设BD AC O ⋂=，连接MO .通过证明//MO BF ，证得直线//BF 平面MAC . （2）建立空间直角坐标系，利用平面MAC 和平面MCD 的法向量，计算出二面角A MC D --的正弦值. 【详解】
（1）连接BD ，设BD AC O ⋂=，连接MO ， 因为AD BC ∥，所以BOC DOA △∽△，所以2
1
DO AD OB BC ==， 在FBD V 中，因为
21MD DO
MF OB
==， 所以MO BF P ，且MO ⊂平面MAC ， 故BF ∥平面MAC .
（2）因为AD BC ∥，2AB =，1BC =，2AD =，5CD =，所以AB AD ⊥， 因为BE AF P ，BE ⊥平面ABCD ，所以AF ⊥平面ABCD ， 所以AF AB ⊥，AF AD ⊥，
取AB 所在直线为x 轴，取AD 所在直线为y 轴，取AF 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知可得(2,0,0)B ，(2,1,0)C ，(0,2,0)D ，(2,0,3)E ，(0,0,2)F
所以(0,2,2)DF =-u u u r
，因为
1
2
FM MD =， 所以244
0,,333DM DF ⎛⎫==- ⎪⎝
⎭u u u u r u u u r ，
所以点M 的坐标为240,
,33⎛
⎫ ⎪⎝⎭
， 所以(2,1,0)AC =u u u r ，240,,33AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭
u u u u r ，设(,,)m x y z =u r
为平面MAC 的法向量，
则20024
0033x y m AM y z m AC ⎧+=⎧⋅=⎪⎪
⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎪⎩⎩
u u u u v v u u u v v ，令1x =，解得2y =-，1z =， 所以(1,2,1)m =-u r ，即(1,2,1)m =-u r
为平面MAC 的一个法向量.
142,,33CM ⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭u u u u r ，(2,1,0)CD =-u u u
r
同理可求得平面MCD 的一个法向量为,,(1)22n =r
所以cos ,6336
m n 〈〉=
=-⨯u r r 所以二面角A MC D --的正弦值为
318
【点睛】
本小题主要考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
19．已知{}n a 为各项均为整数的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若3a 为
21
3
a 和13a 的等比中项，
749=S . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若12233412222...n n n T a a a a a a a a +=
+++++，求最大的正整数n ，使得20182019
n T <. 【答案】（1）21n a n =-（2）1008 【解析】
【分析】
（1）用基本量求出首项1a 和公差d ，可得通项公式； （2）用裂项相消法求得和n T ，然后解不等式2018
2019
n T <可得． 【详解】
解：（1）由题得2321371349a a a S ⎧=⋅⎪⎨⎪=⎩，即()()()211111212372149a d a d a d a d ⎧
+=++⎪⎨⎪+=⎩ 解得112a d =⎧⎨=⎩或1
73a d =⎧⎪⎨=⎪⎩
因为数列{}n a 为各项均为整数，所以11
2a d =⎧⎨
=⎩
，即21n a n =- （2）令()()12211
21212121
n n n b a a n n n n +===--+-+ 所以11111111220181133557212121212019n n T n n n n =-
+-+-+-=-=<-+++ 即12018
1212019n -<+，解得1009n < 所以n 的最大值为1008
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式，考查裂项相消法求数列的和．在等差数列和等比数列中基本量法是解题的基本方法．
20．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1
(sin 2cos sin )sin 22
c A B C b C -=． （1）求角A 的大小； （2）若,24
C c π
=
=，求ABC V 的面积．
【答案】（1）3
A π
=；（2
【解析】 【分析】
(1)利用正弦定理边化角,再利用二倍角的正弦公式与正弦的和角公式化简求解即可. (2)由(1)有3
A π
=,
根据正弦定理可得a =
进而求得sin B 的值,再根据三角形的面积公式求解即可.
【详解】
（1）由1(sin 2cos sin )sin 22c A B C b C -=
,得1
sin 2sin 2cos sin 2
c A b C c B C =+, 得1
2sin cos 2sin cos cos sin 2
c A A b C C c B C =
⋅+, 由正弦定理得22sin sin cos sin sin cos cos sin C A A B C C B C =+, 显然sin 0C ≠,同时除以sin C ,得2sin cos sin cos cos sin A A B C B C =+. 所以2sin cos sin()A A B C =+.所以2sin cos sin A A A =.
显然sin 0A ≠,所以2cos 1A =,解得1cos 2A =.又(0,)A π∈,所以3
A π=. （2）若,24C c π==,由正弦定理得
sin sin c a C A
=,得2sin sin 43
a
ππ=
,
解得a =
又1sin sin()sin cos cos sin 222B A C A C A C =+=+=
+⨯=
所以11sin 222ABC S ac B ==⨯=
V . 【点睛】
本题主要考查了正余弦定理与面积公式在解三角形中的运用,需要根据题意用正弦定理进行边角互化,再根据三角恒等变换进行化简求解等.属于中档题.
21．贫困人口全面脱贫是全面建成小康社会的标志性指标.党的十九届四中全会提出“坚决打赢脱贫攻坚战，建立解决相对贫困的长效机制”对当前和下一个阶段的扶贫工作进行了前瞻性的部署，即2020年要通过精准扶贫全面消除绝对贫困，实现全面建成小康社会的奋斗目标.为了响应党的号召，某市对口某贫困乡镇开展扶贫工作.对某种农产品加工生产销售进行指导，经调查知，在一个销售季度内，每售出一吨该产品获利5万元，未售出的商品，每吨亏损2万元.经统计A ，B 两市场以往100个销售周期该产品的市场需求量的频数分布如下表：
A 市场：
B 市场：
把市场需求量的频率视为需求量的概率，设该厂在下个销售周期内生产n 吨该产品，在A 、B 两市场同时销售，以X （单位：吨）表示下一个销售周期两市场的需求量，Y （单位：万元）表示下一个销售周期两市场的销售总利润. （1）求200X >的概率；
（2）以销售利润的期望为决策依据，确定下个销售周期内生产量190n =吨还是200n =吨?并说明理由. 【答案】（1）0.42；（2）200n =吨，理由见解析 【解析】 【分析】
（1）设“A 市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件1A ，2A ，3A ，“B 市场需求量为90，100，110
吨”分别记为事件1B ，2B ，3B ，由题可得()1P A ，()2P A ，()3P A ，()1P B ，
2()P B ，()3P B ，代入()()233233200P X P A B A B A B >=++，计算可得答案；
（2）X 可取180，190，200，210，220，求出190n =吨和200n =吨时的期望，比较大小即可. 【详解】
（1）设“A 市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件1A ，2A ，3A ，“B 市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件1B ，2B ，3B ，则
()10.2P A =，()20.5P A =，()30.3P A =， ()10.1P B =，)2(0.6P B =，()30.3P B =， ()()233233200P X P A B A B A B >=++
()()()()()()233233P A P B P A P B P A P B =++ 0.50.30.30.60.30.30.42=⨯+⨯+⨯=；
（2）X 可取180，190，200，210，220，
()()111800.20.10.02P X P A B ===⨯=
()()21121900.50.10.20.60.17P X P A B A B ==+=⨯+⨯=
当190n =时，()()18051020.02190510.02948.()6E Y =⨯-⨯⨯+⨯⨯-=
当200n =时，()()()()18052020.021*******.17200510.020.17E Y =⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯--
985.3=.
9486985.3<Q .，
200n ∴=时，平均利润大，所以下个销售周期内生产量200n =吨.
【点睛】
本题考查离散型随机变量的期望，是中档题.
22．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长
度单位．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t α
α=-+⎧⎨
=⎩
(t 为参数，α为直线的倾斜角)．
(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 与曲线C 有唯一的公共点，求角α的大小． 【答案】（1）当2
π
α=
时，直线l 方程为x ＝－1；当2
π
α≠
时，直线l 方程为
y ＝(x ＋1)tanα； x 2＋y 2＝2x （2）6π或
56
π
. 【解析】 【分析】
（1）对直线l 的倾斜角分类讨论，消去参数t 即可求出其普通方程；由222
,cos x y x ρρθ=+=，即可求出曲线C 的直角坐标方程；
（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，根据条件Δ＝0，即可求解. 【详解】 (1)当2
π
α=
时，直线l 的普通方程为x ＝－1；
当2
π
α≠
时，消去参数t 得
直线l 的普通方程为y ＝(x ＋1)tan α. 由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，
所以x 2＋y 2＝2x ，即为曲线C 的直角坐标方程． (2)把x ＝－1＋tcos α，y ＝tsin α代入x 2＋y 2＝2x ， 整理得t 2－4tcos α＋3＝0. 由Δ＝16cos 2α－12＝0，得cos 2α＝
34
，
所以cos αcos α＝，
故直线l 的倾斜角α为6π或
56
π. 【点睛】
本题考查参数方程化普通方程，极坐标方程化直角坐标方程，考查直线与曲线的关系，属于中档题.
23．在ABC ∠中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c cos sin C c B =-.
（1）求B ；
（2）若b =AD 为BC 边上的中线，当ABC V 的面积取得最大值时，求AD 的长.
【答案】（1）23
π
；（2. 【解析】 【分析】
（1）利用正弦定理及A B C π++=sin sin sin B C C B =-，从而得到tan B =
（2）在ABC V 中，利用余弦定可得22123a c ac ac =++≥，4ac ≤，而1sin 2ABC S ac B ∆==，故当4ac =时，ABC V 的面积取得最大值，此时2a c ==，π
6
C =，在AC
D V 中，再利用余弦定理即可解决. 【详解】
（1cos sin sin A B C C B =-， 结合()sin sin A B C =+，
sin sin sin B C C B =-，
因为sin 0C ≠，所以tan B = 由()0,πB ∈，得2π3
B =
. （2）在ABC V 中，由余弦定得2212a c ac =++， 因为223a c ac ac ++≥，所以4ac ≤，
当且仅当2a c ==时，ABC V 的面积取得最大值，此时π6
C =. 在AC
D V 中，由余弦定理得
222π
2cos
1212176AD CA CD CA CD =+-⋅⋅⋅=+-⋅⋅=⎝⎭
.
即AD =【点睛】
本题考查正余弦定理解三角形，涉及到基本不等式求最值，考查学生的计算能力，是一道容易题.。