专题二 十一类范围问题的解题妙招

数学
方法总结 给数学表达式赋予一定的几何意义,把“式”的问题转化 为“几何图形”的问题,以形助数是数形结合方法一个重要方面,其关 键是熟悉一些数学公式、法则的几何意义.
c c ,在双曲线中根据定义 10-2c=2a2,离心率 e2= .由于 c5 5c
P,F1,F2 三点构成三角形,所以 2c+2c>10,即 c> 得 0<c<5, 故
5 25 <c<5,0< 2 -1<3, 2 c
5 ,根据 10-2c=2a2>0 可 2
1 c2 1 所以 e1e2= = > .故选 C. 2 25 3 25 c 1 c2 答案:(1)C
2 2
2 , 2
此即为曲线 y=ln x 上的点与直线 y=x 上点的距离的最小值,所以[(x-a) +(x-ln a) ]min =
1 1 1 ,不等式(x-a)2+(x-ln a)2>m 恒成立只要 m< ,故 m 的取值范围是(-≦, ).故选 A. 2 2 2
数学
(2)(2015 浙江六校联考)已知向量 a,b 是单位向量,若 a·b=0,且|c-a|+|c-2b|= 5 ,则 |c+2a|的取值范围是( (A)[1,3] (C)[ ) (B)[2 3 ,3]
解析:(2)由题 f(x)=ax-cos2x,已知条件等价于 f(x)在区间[ [
π π π π 3 3 2 , ],2x∈[ , ],得-sin 2x∈[,],只要 a≤,所以实数 a 的取值范围是 2 4 3 8 6 2 2
(-≦,-
3 ]. 2
答案:(2)(-∞,-
3 ] 2
数学
方法总结 在方程有解、不等式恒成立等问题中求参数取值范围时, 如果参数能够分离出来,即方程或不等式的一端为参数,另一端为某个 变量的函数,则只要研究函数的性质即可根据问题的具体设问得出参
.
思路点拨:(2)已知条件等价于 f(x)在区间[ 恒成立,分离参数后化为求函数最值.
π π π π , ]内单调递减,f′(x)≤0 在区间[ , ]上 8 6 8 6
π π , ]内单调递减,等价于 f′(x)= 8 6 π π π π a+2cos xsin x=a+sin 2x≤0 在[ , ]上恒成立,即 a≤-sin 2x 在[ , ]上恒成立,由 x∈ 8 6 8 6
数学
(2)(2015湖南十三校二联)在锐角△ABC中,AC=6,B=2A,则边BC的取值范围
是 . 思路点拨:(2)求出角A的取值范围,以其为变量表达BC,利用三角函数性质 得出其范围.
AC BC 6 BC 3 = ,即 = ,所以 BC= . sin B sin A sin 2 A sin A cos A π π π 由于△ABC 为锐角三角形,所以 B=2A< ,即 A< ,又 A+B=3A> , 2 4 2
数学
专题二 十一类范围问题的解题妙招
数学
范围问题是高中数学中最为普遍的问题之一,在高中数学的主要知识 板块中都有大量的范围类试题,下面从解题方法的角度对其简要介绍.
数学
方法一
建立函数模型的方法
【例 1】 (1)已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左、右焦 点分别为 F1,F2,两条曲线在第一象限的交点记为 P,△PF1F2 是以 PF1 为 底边的等腰三角形.若|PF1|=10,椭圆与双曲线的离心率分别为 e1,e2, 则 e1e2 的取值范围是( )
解析:(2)根据正弦定理,得
π π π 1 3 2 2 3 ,所以 <A< ,所以 <cos A< ,所以 < < 2, cos A 6 6 4 2 2 3 3 所以 2 3 < <3 2 ,即 BC 的取值范围为(2 3 ,3 2 ). cos A
即 A>
答案:(2)(2 3 ,3 2 )
数学
方法总结 选定一个变量建立求解目标的函数关系式,利用函数的性 质得出其取值范围,这是求范围问题最为基本、应用最为广泛的方法, 是函数思想在数学解题中的主要体现之一.
1 1 3 1 1 (A) (0, ) (B) ( , ) (C) ( ,+∞) (D) ( ,+∞) 5 5 5 3 5 思路点拨:(1)椭圆和双曲线的公共元素为半焦距c,以其为变量建立求
解目标的函数关系式;
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解析:(1)根据已知|PF2|=2c,在椭圆中根据定义 2c+10=2a1,离心率 e1=
解析:(1)式子(x-a)2+(x-ln a)2 的几何意义是直线 y=x 上的点(x,x)到曲线 y=ln x 上的 点(a,ln a)距离的平方.y=ln x 的导数 y′=
1 1 ,令 =1 得 x=1,即曲线 y=ln x 上横坐标 x x
为 1 的点处的切线平行于直线 y=x,此时切பைடு நூலகம்(1,0)到直线 y=x 的距离最小,最小值为
2 g 1 2m m 0, 对任意 a∈[-1,1]恒成立,令 g(a)=2ma-m ,则只要 即可,解得 m≤ 2 g 1 2 m m 0 -2 或 m≥2 或 m=0.故所求的 m 的取值范围是(-≦,-2]∪{0}∪[2,+≦).
2
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方法五
根据几何意义求参数
2 2
【例 5】 (1)(2015 福建龙岩市高三 5 月质检)若不等式(x-a) +(x-ln a) >m 对任意 x∈ R,a∈(0,+∞)恒成立,则实数 m 的取值范围是( (A) (-∞,
1 2 ) (B) (-∞, ) 2 2
)
(C)(-∞, 2 ) (D)(-∞,2) 思路点拨:(1)根据两点间的距离公式得出(x-a)2+(x-ln a)2的几何意义;
6 5 6 5 ,2 2 ] (D)[ ,3] 5 5 思路点拨:(2)利用向量减法的几何意义确定|c-a|+|c-2b|= 5 表达的图形和|c+2a|的几何
意义. 解析:(2)根据已知可得 a,b 是相互垂直的单位向量,不妨设 a=(1,0),b=(0,1),把向量 c 的起点
放在坐标原点,则|c-a|+|c-2b|的几何意义就是向量 c 的终点到向量 a,2b 的终点(1,0),(0,2) 的距离之和,由于这两点间距离等于 5 ,故向量 c 的终点在以(1,0),(0,2)为端点的线段上,该 线段所在直线方程为 x+
数学
(2)已知 f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数且 f(1)=1,当 x1,x2∈[-1,1],且 x1+x2≠0 时, 有
f x1 f x2 x1 x2
>0,若 f(x)≤m2-2am+1 对所有 x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,则实数 m .
的取值范围是
答案:(2)(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞)
数学
方法总结 在参数与变量交织在一起,分离参数不方便的情况下,把参 数作为常数,构成一个含参数的函数、不等式、方程等,根据问题的实 际情况从整体上得出参数满足的条件得出其取值范围.
数学
方法四
直接使用数形结合的方法
【例 4】已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=|x-a|-a(a>0), 且对任意 x∈R 恒有 f(x-1)≤f(x),则实数 a 的取值范围是( (A)(0,4] (C)(0,
2
1 2 2 +2,e -2] (D)[e -2,+∞) 2 e 思路点拨:(1)由题意知在定义域上存在x,使得g(x)=-h(x)成立,即方程
g(x)=-h(x)有解,分离参数后求函数值域即得a的取值范围;
数学
1 解析:(1)由题意知在[ ,e]上方程 a-x2=-2ln x 有解,a=x2-2ln x,设 e 1 2 2 f(x)=x -2ln x,则 f(x)在[ ,e]上的值域即为 a 的取值范围.f′(x)=2x- = e x
y =1(0≤x≤1).|c+2a|的几何意义是向量 c 的终点到向量-2a 的终点 2
(-2,0)的距离,显然最大距离即为点(-2,0)到点(1,0)的距离 3,最小距离为点(-2,0)到直线 x+
2 1 6 5 y 6 5 =1 的距离 = .所以|c+2a|的取值范围是[ ,3].故选 D. 2 5 5 1 1 4
1 2 x2 2 =0,得 x=1,且当 ≤x<1 时 f′(x)<0,当 1<x≤e 时 f′(x)>0,故函数 e x
1 f(x)在[ ,1)上单调递减,在(1,e]上单调递增,所以 f(x)min=f(1)=1,又 e 1 1 1 1 f( )= 2 +2,f(e)=e2-2,e2-2> 2 +2,所以 f(x)max=e2-2,故函数 f(x)在[ ,e]上 e e e e
图,由于函数 f(x-1)的图象是由函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位得到 的,只有平移到图(2)、(3)中的情况下,才有 f(x-1)≤f(x),故平移的距 离 4a≤1,所以 0<a≤
1 .故选 D. 4
数学
方法总结 数形结合是广泛使用的一种数学方法.在求参数范围问题 中,使用数形结合的思想就是通过图形位置的变化找到满足题意的参 数所需要的条件,进而得出参数的取值范围.
数学
方法二
分离参数的方法
2 1 【例 2】 (1)(2015 湖南十三校二联)已知函数 g(x)=a-x ( ≤x≤e,e 为自 e
然对数的底数)与 h(x)=2ln x 的图象上存在关于 x 轴对称的点,则实数 a 的取值范围是( (A)[1, (C)[
1 +2] 2 e
) (B)[1,e -2]
1 ] 2
)
(B)(0,2] (D)(0,
1 ] 4
思路点拨:画出函数f(x)的图象,问题等价于f(x-1)的图象不在f(x)图象
下方,结合函数图象得出实数a满足的不等式即得.
数学
x 2a, x a, 解析:f(x)= 根据 f(x)是奇函数画出函数 f(x)的图象,如 x,0 x a.
数的取值范围.
数学
方法三
参数与变量整体处理的方法
3a 2 【例 3】 (1)已知函数 f(x)=x+ -2aln x 在区间(1,2)内是增函数,则实数 a 的 x
取值范围是
.
思路点拨:(1)f′(x)≥0在(1,2)上恒成立,化为一元二次不等式在(1,2)上恒成立,结合
函数图象分类讨论其成立的a的取值范围; 3a 2 2 a 解析:(1)f′(x)=1- 2 .函数 f(x)在区间(1,2)内是增函数等价于 f′(x)≥0 在 x x (1,2)上恒成立,等价于 x2-2ax-3a2≥0 在(1,2)上恒成立.设 g(x)=x2-2ax-3a2.当 a≤1 1 时,g(x)在(1,2)上单调递增,只要 g(1)=1-2a-3a2≥0,解得-1≤a≤ ;当 1<a<2 时,只要 3 g(a)=-4a2≥0,无解;当 a≥2 时,g(x)在(1,2)上单调递减,只要 g(2)=4-4a-3a2≥0,即 2 2 3a +4a-4≤0,解得-2≤a≤ ,与 a≥2 矛盾.综上可知,函数 f(x)在区间(1,2)内是增函数 3 1 时,a 的取值范围是[-1, ]. 3 1 答案:(1)[-1, ] 3
的值域为[1,e2-2],即实数 a 的取值范围为[1,e2-2].故选 B.
答案:(1)B
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(2)已知 f(x)=ax-cos2x,x∈[ 则实数 a 的取值范围为
f x2 f x1 π π π π π π , ],若∀ x1∈[ , ],∀ x2∈[ , ],x1≠x2, <0, x x 8 6 8 6 8 6 2 1
思路点拨:(2)即增函数f(x)满足f(x)≤m2-2am+1对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,即 f(x)max≤m2-2am+1对a∈[-1,1]恒成立,化为关于a的一次不等式在[-1,1]上恒成立问题即可.
解析:(2)用-x2 替换 x2,得
f x1 f x2 x1 x2
>0,由于 f(x)是奇函数,所以
f x1 f x2 x1 x2
2
>0,
等价于函数 f(x)是定义域上的增函数,所以 f(x)max=f(1)=1.不等式 f(x)≤m -2am+1 对所 2 2 有 x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,即 m -2am+1≥1 对任意 a∈[-1,1]恒成立,即 2ma-m ≤0