第4讲 万有引力与宇宙航行

第4讲 万有引力与宇宙航行
考点 考题统计
考情分析
开普勒定律和万有引力定律的应用
2023·湖北卷T 2、2022·河北卷T 2、 2022·湖南卷T 8、2022·全国乙卷T 14、 2021·山东卷T 5、2021·湖北卷T 7、 2021·湖南卷T 7
1.对于天体问题近几年有关万有引力定律及其应用的题目在高考中通常以选择题的形式出现，难度一般中等；在考查内容上一般考查天体运动参量间的关系、天体质量（密度）的估算、万有引力定律等基本概念和基本规律的理解与应用。

2.从命题趋势上看，分析人造卫星的运行规律仍是考试中的热点，以近几年中国及世界空间技术和宇宙探索为背景的题目在复习中要多加练习。

人造卫星和天体运动
2023·山东卷T 3、2023·辽宁卷T 7、 2023·新课标卷T 17、2023·湖南卷T 4、
2022·山东卷T 6、2022·广东卷T 2、 2022·湖北卷T 2、2022·辽宁卷T 9、 2021·辽宁卷T 8、2021·海南卷T 4、 2021·河北卷T 4、2021·广东卷T 2
考点一 开普勒定律和万有引力定律
1.（2023·湖北高考）2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。

火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为3∶2，如图所示。

根据以上信息可以得出（ ）
A.火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27∶8
B.当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大
C.火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9∶4
D.下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前
命题意图 本题以“火星冲日”为背景，综合考查了开普勒第三定律、万有引力定律及圆周运动规律。

考查的关键能力及学科素养主要体现在应用开普勒第三定律结合万有引力定律推理运算，建立天体运动追及模型。

解析：B 由题意得火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，根据开普勒第三定律得
T 火T 地
＝√(r 火
r 地
)3
＝√27
8，A 错误；当火星与地球相距最远时，火星和地球分居太阳两侧，两者的速度方向相反，
故地球和火星相对速度最大，B 正确；忽略天体自转产生的影响，根据物体在天体表面所受的重力等于万有引力得g ＝GM
R 2，根据题目中所给条件无法计算出比例关系，C 错误；设经过时间t 会再次出现“火星冲日”，地球比火星多运动一周，则t T 地
－t T 火
＝1，所以t ＝
1－23√
2
3
年＞2年，D 错误。

2.（2021·全国乙卷）科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。

科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1 000 AU （太阳到地球的距离为1 AU ）的椭
圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。

这项研究工作获得了2020
年诺贝尔物理学奖。

若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M ，可以推测出该黑洞质量约为（ ）
A.4×104M
B.4×106M
C.4×108M
D.4×1010M
命题意图 本题以科学家对银河系中心附近的恒星的持续观测为素材创设问题情境。

考查开普勒行星运动定律和万有引力定律。

解析：B S2绕黑洞做椭圆运动，其运动周期与绕黑洞做半径为1 000 Au 的圆周运动的周期相同。

由题图可知，S2绕黑洞的周期T ＝16年，地球的公转周期T 0＝1年，S2绕黑洞做圆周运动的半径r 与地球绕太阳做圆周运动的半径R 关系是r ＝1 000R 。

地球绕太阳的向心力由太阳对地球的引力提供，由向心力公式可知G Mm
R 2＝mRω2＝mR (2πT 0
)2
，解得太阳的质
量为M ＝4π2R 3GT 02
，同理S2绕黑洞的向心力由黑洞对它的万有引力提供，由向心力公式可知
G
M x m'r 2
＝m'rω2
＝m'r (2πT )
2，解得黑洞的质量为
M x ＝
4π2r 3GT 2
，综上可得M x ≈4×106M ，故选B 。

规律方法
计算天体质量和密度的两条基本思路
（1）利用天体的半径R 和表面的重力加速度g 求解 由G Mm
R 2＝mg ，求出M ＝
gR 2G
，进而求得ρ＝3g
4πGR 。

注意：天体表面的重力加速度g ＝GM
R 2，是g 的决定式，具有普适性。

（2）利用绕行天体的轨道半径r 、周期T 求解 由G Mm
r 2＝m 4π2
T 2r ，可得出M ＝
4π2r 3GT 2
，ρ＝3πr 3
GT 2R 3；
若绕行天体绕中心天体表面（近地）做匀速圆周运动时，轨道半径r ≈R ，则 ρ＝3π
GT 2。

1.（2023·山东高考）牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间（如地球与月球）的引力具有相同的性质，且都满足F ∝
Mm r 2。

已知地月之间的距离r 大约是地球半径的60倍，地球表面
的重力加速度为g ，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期为（ ） A.30π√r
g
B.30π√g
r
C.120π√r g
D.120π√g
r
解析：C 设比例系数为k ，根据牛顿的猜想，地球表面物体的重力可表示为mg ＝k Mm
R 2，地球对月球的吸引力可表示为F 月＝k
Mm 月r 2
，月球绕地球做匀速圆周运动，地球对月球的吸引力提供向心力，有F 月＝m 月4π2
T 2 r ，
又r ＝60R ，联立解得T ＝120π√r
g ，C 正确。

2.（万有引力与单摆综合）某实验小组设计了用单摆测量海底深度的实验。

在静止于海底的蛟龙号里，测得摆长为l 的单摆，完成N 次全振动用时为t 。

设地球为均质球体，半径为R ，地球表面的重力加速度大小为g 。

已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。

则下列说法正确的是（ ） A.此海底处的重力加速度大于地球表面的重力加速度 B.此海底处的重力加速度为无穷大
C.此海底处的深度为h ＝
gt 2－4π2lN 2
gt 2
R D.此海底处的重力加速度大小为
4π2lN t 2
解析：C 在星球表面，根据万有引力等于重力得G
Mm R 2
＝mg ，化简得g ＝G M
R
2＝G
ρ43
πR 3R 2
＝
4πRρG 3
，已知质量分
布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，所以此海底处的R 减小，重力加速度减小，故A 、B 错误；根据单摆周期公式T ＝2π√l
g 可知，此海底处的重力加速度大小为g'＝
4π2l T 2
＝4π2l·（N
t
）2＝
4π2lN 2
t 2
，所以g'g
＝R'
R
，解得
R'＝g'
g R ＝
4π2lN 2gt 2
R ，此海底处的深度为h ＝R －R'＝
gt 2－4π2lN 2
gt 2
R ，故C 正确，D 错误。

考点二 人造卫星和天体运动
卫星运行参量
1.一个“模型”
无论是自然天体（如地球、月亮）还是人造天体（如宇宙飞船、人造卫星）都可以看作质点，围绕中心天体做匀速圆周运动。

2.两条“思路”
（1）万有引力提供向心力：G Mm
r 2＝m v 2
r
＝mω2r ＝m
4π
2
T 2
r ＝ma 。

（2）天体对其表面物体的万有引力近似等于表面物体的重力：GMm R 2
＝mg 或gR 2＝GM （R 、g 分别是天体的
半径、表面重力加速度）。

公式gR 2＝GM 应用广泛，被称为“黄金代换式”。

【典例1】 （2023·浙江6月选考）木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为1∶2∶4。

木卫三周期为T ，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径r 的n 倍。

月球绕地球公转周期为T 0，则（ ）
A.木卫一轨道半径为n
16r B.木卫二轨道半径为n
2r
C.周期T 与T 0之比为n 3
2 D.木星质量与地球质量之比为T 02T 2
n 3
答案：D
解析：由开普勒第三定律得r
13
r 3
3＝12
42，r
23
r 3
3＝22
42，解得r 1＝
2√2
3
，r 2＝√4
3，A 、B 错误；对木卫三，由牛顿第二定
律得
Gm 木m 3（nr ）
2＝m 34π2T
2（nr ），解得m 木＝4π2（nr ）
3
GT 2，对月球，
Gm 地m 月
r 2
＝m 月4π2T 0
2r ，解得m 地＝4π2r 3
GT 0
2，整理得
m 木
m 地
＝T 02T 2n 3
，D 正确；由于m 木＞m 地，则T
T 0
＜n 3
2
，C 错误。

卫星的变轨问题
1.两类变轨运动
（1）点火加速，v 突然增大，G Mm
r 2＜m v 2
r ，卫星将做离心运动。

（2）点火减速，v 突然减小，G Mm
r 2＞m v 2
r ，卫星将做近心运动。

2.变轨过程中的能量变化
卫星在同一轨道上稳定运行过程中机械能守恒。

在变轨过程中，点火加速，做离心运动，轨道升高，机械能增加；点火减速，做近心运动，轨道降低，机械能减少。

【典例2】北京时间2022年9月13日21时18分，我国在文昌航天发射场使用长征七号运载火箭，成功将“中星1E”卫星发射升空。

卫星最终顺利进入地球同步轨道，发射任务获得圆满成功。

该卫星发射过程可以简化为如图过程：Ⅰ是运行周期为T1的近地圆轨道（轨道半径可视为等于地球半径），Ⅲ为距地面高度为h的同步圆轨道，Ⅱ为与轨道Ⅰ、Ⅲ相切的椭圆转移轨道，切点分别为A、B。

已知地球半径为R，地球自转周期为T0，第一宇宙速度大小为v0，则下列说法中正确的是（）
A.卫星在轨道Ⅱ运行的周期大于T0
B.卫星在轨道Ⅱ上运行的速度大小有可能大于、小于或等于v0
C.卫星在轨道Ⅱ上运行的周期T2＝√2R＋ℎ
2R
T1
D.卫星在轨道Ⅱ上从A点运动到B点过程中，动能减小、势能增加、加速度大小不变
答案：B
解析：根据开普勒第三定律a3
T2
＝k，卫星在轨道Ⅱ的半长轴小于同步卫星的轨道半径，同步卫星的周期为
T0，则卫星在轨道Ⅱ运行的周期小于T0，A错误；在轨道Ⅰ处的速度为v0，要使卫星从轨道Ⅰ转移到轨道Ⅱ，在A点要加速，所以轨道Ⅱ上A点运行的速度大于v0，卫星从A到B减速，到B点的速
度小于v0，所以卫星在轨道Ⅱ上运行的速度大小有可能大于、小于或等于v0，B正确；根据开普勒第三定
律T12
T22＝R
3
（
2R＋ℎ
2
）
3
，解得T2＝√（2R＋ℎ
2R
）
3
T1，C错误；卫星在轨道Ⅱ上从A点运动到B点过程中，卫星与地
球的距离增加，万有引力减小，引力做负功，动能减小，势能增大，加速度大小减小，D错误。

1.（2023·江苏高考）设想将来发射一颗人造卫星，能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行，该轨道可视为圆轨道。

该卫星与月球相比，一定相等的是（）
A.质量
B.向心力大小
C.向心加速度大小
D.受到地球的万有引力大小
解析：C月球和卫星质量大小无法判断，A错误；F万＝G Mm
r2
F万、F向大小关系均不确定，B、D
错误；G Mm
r2＝ma向⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ a向＝GM
r2
a向相同，C正确。

2.2022年11月1日，23吨的梦天实验舱与60吨的天和核心舱组合体顺利对接，完成了中国空间站建设最后一个模块的搭建。

若对接前天和核心舱组合体在距地高度380 km的正圆轨道运动，运行速度略小于梦天实验舱对接前的速度，则（）
A.对接时梦天舱和天和舱因冲击力而产生的加速度相同
B.对接前空间站内宇航员所受地球的引力为零
C.对接后空间站绕地运行速度大于第一宇宙速度
D.若不启动发动机调整轨道，对接后空间站的轨道将会是椭圆
解析：D 梦天舱和天和舱之间因冲击对梦天舱和天和舱产生的力大小相等，方向相反，可知梦天舱和天和舱的加速度方向不同，梦天舱和天和舱的质量不等，根据F ＝ma 可知梦天舱和天和舱的加速度大小也不相等，故A 错误；空间站内的宇航员受到地球的万有引力，由于万有引力全部提供其做圆周运动所需的向心力，所以宇航员处于完全失重状态，故B 错误；第一宇宙速度为卫星环绕地球做圆周运动的最大速度，可知对接后空间站绕地运行速度小于第一宇宙速度，故C 错误；对接后空间站的速度会发生变化，若不启动发动机调整轨道，对接后空间站的轨道将会是椭圆，故D 正确。

3.（2023·新课标卷）2023年5月，世界现役运输能力最大的货运飞船天舟六号，携带约5 800 kg 的物资进入距离地面约400 km （小于地球同步卫星与地面的距离）的轨道，顺利对接中国空间站后近似做匀速圆周运动。

对接后，这批物资（ ） A.质量比静止在地面上时小 B.所受合力比静止在地面上时小 C.所受地球引力比静止在地面上时大
D.做圆周运动的角速度大小比地球自转角速度大
解析：D 质量是物体的一个基本属性，由物体本身决定，与其所处位置、状态均无关，A 错误；物资所受地球引力的大小F ＝G
m 地m r 2
，物资静止在地面时到地心的距离为地球半径，物资与空间站对接后，到地心的
距离大于地球半径，故其所受地球引力比静止在地面上时小，C 错误；货运飞船天舟六号轨道半径小于地球同步卫星轨道半径，由万有引力提供向心力可知，
Gm 地m r 2
＝mrω2，化简得：ω＝√
Gm 地r 3
，故物资做圆周运动的
角速度大于地球同步卫星的角速度，所以物资做圆周运动的角速度一定大于地球自转角速度，D 正确；物资所受合力即为其做圆周运动所需的向心力，由向心力公式F ＝mω2r 可知，对接后物资所受合力比静止在地面上时的大，B 错误。

4.如图所示是某火星探测器简化飞行路线图，其地火转移轨道是椭圆轨道。

假设探测器在近日点P 点进入地火转移轨道，在远日点Q ，被火星俘获。

已知火星的轨道半径是地球轨道半径的1.5倍，则（ ）
A.地球公转的周期大于火星公转的周期
B.探测器进入地火转移轨道后，速度逐渐增大
C.探测器在地火转移轨道上的周期大于火星的公转周期
D.探测器从发射到被火星俘获，经历的时间约255天
解析：D 根据开普勒第三定律可知地球公转的周期小于火星公转的周期，故A 错误；探测器进入地火转移轨道后，如果只考虑太阳的引力，距离太阳越来越远，根据开普勒第二定律可知速度越来越小，故B 错误；根据开普勒第三定律可知探测器在地火转移轨道上的周期小于火星的公转周期，故C 错误；设地球的轨道半径为2R ，则火星的轨道半径为3R ，则地火转移轨道的半长轴为2.5R ，根据开普勒第三定律
（2R ）3
T 地
2
＝
（2.5R ）3
T 地火
2
，解得T 地火＝
5√58T 地＝5√58×365天＝510天，探测器从发射到被火星俘获，经历的时间为1
2
T 地火
＝255天，故D 正确。

5.（2023·辽宁高考）在地球上观察，月球和太阳的角直径（直径对应的张角）近似相等，如图所示。

若月球绕地球运动的周期为T 1，地球绕太阳运动的周期为T 2，地球半径是月球半径的k 倍，则地球与太阳的平均密度之比约为（ ）
A.k 3(T
1T
2
)2
B.k 3(T
2T
1
)2
C.1
k 3(T 1T
2
)2
D.1
k 3(T 2T
1
)2
解析：D 设月球绕地球运动的轨道半径为r 1，地球绕太阳运动的轨道半径为r 2，根据G Mm r 2
＝m
4π2T 2
r 可得，
G
m 地m 月r 12＝m 月4π2
T 1
2r 1，G
m 地m 日r 22
＝m 地4π2
T 2
2r 2。

根据题意有r 1
r 2
＝R 月R 日
＝R 地
kR 日
，均匀球体的密度ρ＝m 4
3
πR 3
，联立可得
ρ地ρ日
＝1
k 3(T 2T 1
)2
，D 正确，A 、B 、C 错误。

6.已知地球半径为R ，质量为M ，万有引力常量为G 。

如图所示，某卫星携带一探测器在半径为3R 的圆轨道1上绕地球飞行。

在a 点，卫星上的辅助动力装置短暂工作，将探测器沿圆轨道切线方向射出（设辅助动力装置喷出的气体质量可忽略）。

之后卫星沿椭圆轨道2运动，其近地点b 距地心的距离为2R ，则卫星在椭圆轨道2上运行的周期为（ ）
A.5πR √5R
GM B.πR √5R
2GM C.6πR √
3R GM D.5πR √
5R 2GM
解析：D 设卫星在圆轨道1上绕地球飞行的周期为T 1，根据万有引力提供向心力可得GMm
（3R ）
2
＝ m 4π2
T 12·3R ，解
得T 1＝6πR √
3R
GM
，设卫星在椭圆轨道2上运行的周期为T 2，根据开普勒第三定律可得
a 23T 22
＝
（3R ）3
T 12
，又
a 2＝5R
2，联立解得T 2＝5πR √5R
2GM ，故D 正确。

7.在电影《流浪地球》中，宏大的太空电梯场景十分引人入胜，目前已发现的高强度轻质材料碳纳米管，其强度是钢的1 000倍，密度是钢的1
6，这使得人们有望在赤道上建造垂直于水平面的“太空电梯”（如图甲所示）。

如图乙a -r 图像所示，图线A 表示地球引力对电梯仓产生的加速度大小a 与电梯仓到地心的距离r 的关系，图线B 表示航天员由于地球自转而产生的向心加速度大小与r 的关系，其中R 为地球半径，已知地球自转角速度为ω，关于相对地面静止在不同高度的电梯仓内的质量为m 的航天员，下列说法正确的有（ ）
A.航天员在r ＝R 处的线速度等于第一宇宙速度
B.航天员在r ＝R 与r ＝r 0处的线速度的比值为
√r 0R
C.电梯仓运动至r ＝r 0处，航天员对电梯仓的压力为零
D.地球表面重力加速度可以表示为g ＝
ω2R 3r 02
解析：C 第一宇宙速度是万有引力完全提供向心力，但是在r ＝R 处，地球引力对航天员产生的加速度与航天员由于地球自转而产生的加速度大小不相等，万有引力不完全提供向心力，所以此处的线速度不等于第一宇宙速度，故A 错误；航天员在r ＝R 与r ＝r 0处的角速度与地球自转角速度相等，根据v ＝ωr 可知航天员在r ＝R 与r ＝r 0处的线速度的比为v v'＝R
r 0
，故B 错误；由题意知，在r ＝r 0处，航天员的加速度等于地球同步卫
星的加速度，所以航天员处于完全失重状态，航天员对电梯仓的压力为零，故C 正确；因为有太空天梯的存在，航天员的位置相对地球保持不变，即可认为在r ＝r 0处是地球的同步卫星，由万有引力提供向心力得 G
Mm r 0
2＝mω2
r 0，又在
r ＝R 处，G
Mm R 2
＝mg ＋mω2R ，解得g ＝
ω2（r 03－R 3）
R 2
，故D 错误。

8.如图所示，假设火星表面的重力加速度为g 0，其第一宇宙速度为v 0，质量为m 0的探测器绕火星做匀速圆周运动，与火星表面的距离是火星半径的0.5倍，若质量为m 的绕行天体距离质量为M 的中心天体球心的距离为r 时，绕行天体的引力势能为E p ＝－
GMm r
，万有引力常量为G ，下列说法正确的是（ ）
A.火星的质量为
v 0
4
Gg 0
B.探测器的角速度为ω＝
4g 09v 0
C.探测器的动能为1
4m 0v 02 D.探测器的引力势能为－1
3m 0v 02
解析：A 设火星半径为R ，对在火星表面附近飞行的飞行器由牛顿第二定律得G Mm
R 2＝m v 02R
，在火星表面附
近重力等于万有引力，则G Mm R
2＝mg 0，解得M ＝
v 04
Gg 0
，选项A 正确；对探测器由牛顿第二定律得
G
Mm 0r 2
＝m 0ω2r ，可得探测器的角速度为ω＝
2√6g 0
9v 0
，选项B 错误；对探测器由牛顿第二定律得G
Mm 0r 2
＝m 0v 2
r ，
又r ＝3
2R ，探测器的动能为E k ＝1
2m 0v 2，可得E k ＝1
3m 0v 02，选项C 错误；探测器的引力势能为E p ＝－GMm r
，
解得E p ＝－2
3m 0v 02，选项D 错误。

9.春分时，当太阳光直射地球赤道时，某天文爱好者在地球表面上某处用天文望远镜恰好观测到其正上方有一颗被太阳照射的地球同步卫星。

已知：地球半径为R ，地球表面重力加速度为g ，地球自转角速度为ω，若不考虑大气对光的折射，下列关于在日落后的12小时内，该观察者看不见此卫星的时间t 满足的关系式正确的是（ ） A.sin （ωt ）＝√Rω2g
3
B.sin （ωt ）＝√g
Rω23
C.sin （ωt
2）＝√
Rω2g
3 D.sin （ωt
2）＝√g
Rω23
解析：C 根据光的直线传播规律可知，日落后的12小时，同步卫星相对地心转过角度θ的时间t 内，该观察者看不见此卫星，如图所示，同步卫星相对地心转过的角度为θ＝2α，且sin α＝R
r ，对同步卫星有G
Mm'r 2
＝m'rω2，对在地球表面的物体有
G Mm R 2＝mg ，结合θ＝ωt ，解得sin （ωt 2）＝√
Rω2g
3
，故选C 。

10.（2023·湖南高考）根据宇宙大爆炸理论，密度较大区域的物质在万有引力作用下，不断聚集可能形成恒星。

恒星最终的归宿与其质量有关，如果质量为太阳质量的1～8倍将坍缩成白矮星，质量为太阳质量的10～20倍将坍缩成中子星，质量更大的恒星将坍缩成黑洞。

设恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体，质量不变，体积缩小，自转变快。

不考虑恒星与其他物体的相互作用。

已知逃逸速度为第一宇宙速度的√2倍，中子星密度大于白矮星。

根据万有引力理论，下列说法正确的是（ ） A.同一恒星表面任意位置的重力加速度相同 B.恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍缩前的大 C.恒星坍缩前后的第一宇宙速度不变 D.中子星的逃逸速度小于白矮星的逃逸速度
解析：B 恒星自转 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 万有引力F 万有两个效果{
自转效果：F 向重力效果：mg
从赤道到两极
F 向↓，mg ↑，
A 错误；两极
g 极＝GM
R 2
R ↓，g 极↑，B 正确；第一宇宙速度
v ＝√
GM R
v ↑，C 错误；逃逸速度v'＝√2v ＝√
2GM R
v'＝(32
3πG 3M 2
ρ)
16
D 错误。

11.2022年11月3日，随着空间站梦天实验舱顺利完成转位，中国空间站天和核心舱、问天实验舱与其相拥，标志着中国空间站“T ”字基本构型在轨组装完成。

已知空间站绕地球做匀速圆周运动周期为T ，空间站中某宇航员质量为m ，地球半径为R ，地球表面重力加速度为g ，引力常量为G ，忽略地球自转的影响。

下列说法中正确的是（ ）
A.宇航员在空间站中所受的重力大小为mg
B.空间站绕地球转动的线速度大小v ＝√2πgR 2T
3
C.空间站离地面的高度h ＝√gR 2T 24π2
3
D.地球的平均密度ρ＝3π
GT 2
解析：B 地球表面重力加速度为g ，对地球表面的物体，则有G
Mm'R 2
＝m'g ，得GM ＝gR 2，已知空间站绕地
球做匀速圆周运动周期为T ，设空间站距离地球表面的高度为h ，对空间站中的宇航员，由万有引力提供向心力可得G
Mm
（R ＋ℎ）
2
＝m 4π2
T 2
（R ＋h ），得（R ＋h ）3＝
GMT
2
4π2
＝
gR 2T 24π2
，则宇航员在空间站中所受的重力大小为
F ＝G
Mm
（R ＋ℎ）2
＝ m
gR 2
(√
gR 2T 2
4π2
3)2
＝mgR 2(√4π2
gR 2T 23
)2
，A 错误； 空间站绕地球转动的线速度大小为v ＝ω（R ＋h ）
＝
2πT
√
gR 2T 24π2
3
＝√
2πgR 2
T
3
，B 正确；由R ＋h ＝√
gR 2T 24π2
3
，可得h ＝√
gR 2T 24π2
3
－R ，C 错误；由GM ＝gR 2，可得
M ＝
gR 2
G
，则地球的平均密度ρ＝M
V ＝gR 2
G 4
3
πR 3＝3g
4πGR ，D 错误。

12.（万有引力与能量综合）2022年12月14日，神舟十四号顺利脱离天和核心舱空间站，安全返回地球。

规定无穷远处引力势能为0，空间站到地心距离为r 时其引力势能可表示为E p ＝－GMm r
，其中G 为引力常
量，M 为地球质量，m 为空间站质量。

已知地球半径为R ，空间站绕地球做匀速圆周运动时距地面的高度为
h ，若忽略地球的自转及空气阻力，下列说法正确的是（ ） A.空间站在地球表面的引力势能为
GMm R
B.空间站在离地面高度为h 轨道运行的动能为GMm R ＋ℎ
C.空间站在离地面高度为h 轨道运行的机械能为
GMm R ＋ℎ
(ℎR －1
2)
D.从地面发射到离地面高度为h 轨道做圆周运动需要对空间站做的功为
GMm R ＋ℎ
(ℎR ＋1
2)
解析：D 根据题意，由公式可得，空间站在地球表面的引力势能为E p0＝－GMm R
，故A 错误；根据万有引
力提供向心力有GMm
（R ＋ℎ）
2
＝m
v 2
R ＋ℎ
，又E k ＝1
2
mv 2，解得空间站在离地面高度为h 轨道运行的动能为
E k1＝
GMm 2（R ＋ℎ）
，故B 错误；空间站在离地面高度为h 轨道运行的引力势能为E p1＝－
GMm R ＋ℎ
，机械能为
E 1＝E p1＋E k1＝－GMm 2（R ＋ℎ）
，故C 错误；由功能关系可知，从地面发射到离地面高度为h 轨道做圆周运动需要
对空间站做的功为W ＝E 1－E p0＝－GMm 2（R ＋ℎ）
＋
GMm R
＝
GMm R ＋ℎ
(ℎR ＋1
2)，故D 正确。

13.引力波的发现证实了爱因斯坦100多年前所做的预测。

1974年发现了脉冲双星间的距离在减小就已间接地证明了引力波的存在。

如图所示，如果将脉冲双星系统简化为理想的圆周运动模型，绕彼此连线上的O 点做匀速圆周运动。

若万有引力常量为G ，双星之间的距离为L ，观测到双星的周期为T ，则可估算出双星的（ ）
A.线速度
B.轨道半径
C.质量之和
D.向心加速度
解析：C 线速度v ＝2πr T
，由于双星运动半径未知，所以无法求出线速度，A 错误；根据
G
m 1m 2L 2
＝m 14π2
T 2r 1＝m 24π2
T 2r 2得r 1＝Gm 2T 2
4π2L 2，r 2＝Gm 1
T 2
4π2L 2
，由于双星质量未知，无法求出运动半径，B 错误；由上式得m 1＝4π2L 2r 2GT 2
，m 2＝
4π2L 2r 1GT 2
，双星质量之和为m 1＋m 2＝
4π2L 2r 2GT 2
＋
4π2L 2r 1GT 2
＝
4π2L 3GT 2
，C 正确；由
G m 1m 2L 2
＝m 1a 1＝m 2a 2得a 1＝G m
2L 2，a 2＝G m
1L 2，由于双星质量未知，无法求出向心加速度，D 错误。