太原市第五中学校七年级数学上册第三单元《一元一次方程》-解答题专项经典复习题(培优)

一、解答题
1．如果,a b 为定值，关于x 的方程
2236
kx a x bk +-=+无论k 为何值时，它的根总是1，求,a b 的值． 解析：a=
132
,b=﹣4 【分析】 先把方程化简，然后把x ＝1代入化简后的方程，因为无论k 为何值时，它的根总是1，就可求出a 、b 的值．
【详解】
解：方程两边同时乘以6得：
4kx ＋2a ＝12＋x−bk ，
（4k−1）x ＋2a ＋bk−12＝0①，
∵无论为k 何值时，它的根总是1，
∴把x ＝1代入①，
4k−1＋2a ＋bk−12＝0，
则当k ＝0，k ＝1时，可得方程组：
12120412120a a b --⎧⎨--⎩
＋＝＋＋＝， 解得：a=
132,b=﹣4 当a=
132,b=﹣4时，无论为k 何值时，它的根总是1． ∴a=132
,b=﹣4 【点睛】
本题主要考查了一元一次方程的解，理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．本题利用方程的解求未知数a 、b ．
2．已知方程3210x a +-=的解与方程20x a -=的解互为相反数，求a 的值． 解析：14
a =- 【分析】
先分别求出两个方程的解，再根据解互为相反数列方程计算即可.
【详解】
3210x a +-=，解得123
a x -=； 20x a -=，解得2x a =．
由题意得，12
20 3
a
a
-
+=，
解得
1
4 a=-.
【点睛】
本题考查一元一次方程的解法，解题的关键是根据两个方程的解互为相反数列方程求解. 3．一批皮鞋，按成本加5成作为售价，后因季节性原因，按原售价的七五折降低价格出售，降价后的新售价是每双63元，问这批皮鞋每双的成本价是多少元按降价后的新售价每双还可赚多少元？
解析：成本价是56元，按降价后的新售价每双还可赚7元.
【分析】
若设成本价为x元，则成本加5成后的售价为（1+50%）x元，再按七五折后的售价为0.75（1+50%）x元，根据降价后的新售价是每双63元即可得方程0.75（1+50%）x=63，解方程求得x的值，根据盈利=售价-进价即可求得答案.
【详解】
设成本价为x元，则成本加5成后的售价为（1+50%）x元，再按七五折后的售价为0.75（1+50%）x元．
根据题意得：0.75（1+50%）x=63，
解得：x=56，
所以成本价是56元，按降价后的新售价每双还可赚7元．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，解决问题时弄清加五成和七五折这些概念．
4．在十一黄金周期间，小明、小华等同学随家长共15人一同到金丝峡游玩，售票员告诉他们：大人门票每张100元，学生门票8折优惠．结果小明他们共花了1400元，那么小明他们一共去了几个家长、几个学生？
解析：10个家长，5个学生
【分析】
设小明他们一共去了x个家长，则有（15﹣x）个学生，根据“大人门票购买费用+学生门票购买费用=1400”列式求解即可.
【详解】
解：设小明他们一共去了x个家长，（15﹣x）个学生，
根据题意得：100x+100×0.8（15﹣x）=1400，
解得：x=10，
15﹣x=5，
答：小明他们一共去了10个家长，5个学生．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用.
5．某家具厂生产一种课桌和椅子，课桌每张定价200元，椅子每把定价80元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：
方案一：每买一张课桌就赠送一把椅子；
方案二：课桌和椅子都按定价的80%付款．
某校计划添置100张课桌和x把椅子．
（1）若x=100，请计算哪种方案划算；
（2）若x＞100，请用含x的代数式分别把两种方案的费用表示出来；
（3）若x=300，如果两种方案可以同时使用，请帮助学校设计一种最省钱的方案．
解析：（1）方案一省钱；（2）见解析；（3）见解析．
【分析】
（1）分别按两种方案结合已知数据计算、比较即可得到结论；
（2）分别根据两种方案列出对应的表达式并化简即可；
（3）按以下三种方式分别计算出各自所需费用并进行比较即可：①全按方案一购买；②全按方案二购买；③先按方案一购买100张课桌，同时送100把椅子，再按方案二购买200把椅子.
【详解】
（1）当x=100时，
按方案一购买所需费用为：100×200=20000（元）；
按方案二购买所需费用为：100×（200+80）×80%=22400（元），
∵20000＜22400，
∴方案一省钱；
（2）当x＞100时，
按方案一购买所需费用为：100×200+80（x﹣100）=80x+12000（元）；
按方案二购买所需费用为：（100×200+80x）×80%=64x+16000（元），
答：方案一、方案二的费用为：（80x+12000）元、（64x+16000）元；
（3）当x=300时，
①全按方案一购买：100×200+80×200=36000（元）；
②全按方案二购买：（100×200+80×300）×80%=35200（元）；
③先按方案一购买100张课桌，同时送100把椅子；再按方案二购买200把椅子，
100×200+80×200×80%=32800（元），
∵36000＞35200＞32800，
∴先按方案一购买100张桌子，同时送100把椅子；再按方案二购买200把椅子最省．【点睛】
（1）读题题意，弄清各数据间的关系是解答第1、2小题的关键；（2）解第3小题时，需分以下三种情况分别计算所需费用：①全按方案一购买；②全按方案二购买；③先按方案一购买100张课桌，同时送100把椅子，再按方案二购买200把椅子；解题时不要忽略了其中任何一种.
6．解下列方程：
(1)2(x－1)＝6；
(2)4－x＝3(2－x)；
(3)5(x＋1)＝3(3x＋1)
解析：（1）x＝4；（2）x＝1；（3）x＝1 2
【分析】
（1）方程去括号，移项合并，将未知数系数化为1，即可求出解；（2）方程去括号，移项合并，将未知数系数化为1，即可求出解；（3）方程去括号，移项合并，将未知数系数化为1，即可求出解；【详解】
(1)去括号，得2x－2＝6.
移项，得2x＝8.
系数化为1，得x＝4.
(2)去括号，得4－x＝6－3x.
移项，得－x＋3x＝6－4.
合并同类项，得2x＝2.
系数化为1，得x＝1.
(3)去括号，得5x＋5＝9x＋3.
移项，得5x－9x＝3－5.
合并同类项，得－4x＝－2.
系数化为1，得x＝1 2 .
【点睛】
此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．
7．解下列方程
（1）-9x-4x+8x=-3-7；
（2）3x+10x=25+0.5x．
解析：（1）x=2；（2）x=2
【分析】
（1）方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【详解】
解：（1）合并同类项，得，-5x=-10
系数化为1，得，x=2
（2）移项，得3x+10x-0.5x=25
合并同类项，得12.5x=25
系数化为1，得，x=2
【点睛】
此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．全班同学去划船，如果减少一条船，每条船正好坐9个同学，如果增加一条船，每条船正好坐6个同学，问原有多少条船？
解析：原有5条船．
【分析】
首先设原有x 条船，根据“减少一条船，那么每条船正好坐9名同学；增加一条船，那么每条船正好坐6名同学”得出等式方程，求出即可．
【详解】
设原有x 条船，如果减少一条船，即(x －1)条，则共坐9(x －1)人．如果增加一条船，则共坐6(x ＋1)人，根据题意，得
9(x －1)＝6(x ＋1)．
去括号，得9x －9＝6x ＋6.
移项，得9x －6x ＝6＋9.
合并同类项，得3x ＝15.
系数化为1，得x ＝5.
答：原有5条船．
【点睛】
此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意利用全班人数列出等量关系式是完成本题的关键．
9．解方程：
（1）5(8)6(27)22m m m +--=-+
（2）2(3)7636
x x x --+=- 解析：（1）10m =；（2）5x =
【分析】
（1）直接去括号、移项、合并同类项、化系数为1即可求解；
（2）直接去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1即可求解．
【详解】
解：（1）5(8)6(27)22m m m +--=-+
5m 4012m 42m 22+-+=-+
6m 60-=-
m 10=
（2）2(3)7636
x x x --+=- ()6x 4x 336(x 7+-=--）
6x 4x 1236x 7+-=-+
11x 55=
x 5=
【点睛】
此题主要考查解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解题步骤．
10．如图A 在数轴上所对应的数为﹣2．
（1）点B在点A右边距A点4个单位长度，求点B所对应的数；
（2）在（1）的条件下，点A以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到﹣6所在的点处时，求A，B两点间距离．
（3）在（2）的条件下，现A点静止不动，B点沿数轴向左运动时，经过多长时间A，B两点相距4个单位长度．
解析：（1）B所对应的数为2；（2）A，B两点间距离是12个单位长度；（3）经过4秒或8秒长时间A，B两点相距4个单位长度．
【分析】
（1）根据左减右加可求点B所对应的数；
（2）先根据时间＝路程÷速度，求出运动时间，再根据路程＝速度×时间求解即可；
（3）分两种情况：运动后的B点在A点右边4个单位长度；运动后的B点在A点左边4个单位长度；列出方程求解即可．
【详解】
解：（1）﹣2+4＝2．
故点B所对应的数为2；
（2）（﹣2+6）÷2＝2（秒），
4+（2+2）×2＝12（个单位长度）．
故A，B两点间距离是12个单位长度．
（3）运动后的B点在A点右边4个单位长度，
设经过x秒长时间A，B两点相距4个单位长度，依题意有
2x＝12﹣4，
解得x＝4；
运动后的B点在A点左边4个单位长度，
设经过x秒长时间A，B两点相距4个单位长度，依题意有
2x＝12+4，
解得x＝8．
故经过4秒或8秒长时间A，B两点相距4个单位长度．
【点睛】
本题考查了数轴，行程问题的数量关系的运用，解答时根据行程问题的数量关系列出方程是解决问题的关键．
11．为了鼓励市民节约用水，某市水费实行分段计费制，每户每月用水量在规定用量及以下的部分收费标准相同，超出规定用量的部分收费标准相同.下表是小明家1至4月份水量和缴纳水费情况，根据表格提供的数据，回答：
月份一二三四
用水量
（吨）791215
）规定用量内的收费标准是 元吨，超过部分的收费标准是 元/吨；
（2）问该市每户每月用水规定量是多少吨？
（3）若小明家六月份应缴水费50元，则六月份他们家的用水量是多少吨？
解析：（1）2；3（2）规定用水量为10吨（3）六月份的用水量为20吨
【分析】
（1）由小明家1，2月份的用水情况，可求出规定用量内的收费标准；由小明家3，4月份的用水情况，可求出超过部分的收费标准；
（2）设该市规定用水量为a 吨，由小明家3月份用水12吨缴纳26元，即可得出关于a 的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）设小明家6月份的用水量是x 吨，根据应缴水费=2×10+3×超出10吨部分，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】
（1）由表可知，规定用量内的收费标准是2元/吨，超过部分的收费标准为3元/吨 （2）设规定用水量为a 吨；
则23(12)26a a +-=，
解得：10a =，
即规定用水量为10吨；
（3）∵2102050⨯=<，
∴六月份的用水量超过10吨，
设用水量为x 吨，
则2103(10)50x ⨯+-=，
解得：20x
， ∴六月份的用水量为20吨
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：通过分析小明家1-4月用水量和交费情况，找出结论；找准等量关系，正确列出一元一次方程． 12．为鼓励居民节约用电,某市试行每月阶梯电价收费制度,具体执行方案如下:
档次
每户每月用电量(度) 执行电价(元/度) 第一档
小于或等于200 0.5 第二档
大于200且小于或等于450时，超出200的部分 0.7 第三档 大于450时，超出450的部分 1
(1)一户居民七月份用电300度,则需缴电费__________元.
(2)某户居民五、六月份共用电500度，缴电费290元.已知该用户六月份用电量大于五月
份，且五、六月份的用电量均小于450度.
①请判断该户居民五、六月份的用电量分别属于哪一个档次？并说明理由.
②求该户居民五、六月份分别用电多少度?
解析：(1) 170元；(2)①五月份用电量在第一档，六月份用电量在第二档. ②设五、六月份分别用电100度、400度.
【分析】
（1）根据阶梯电价收费制度，七月份用电300度属于第二档，所以应缴电费
200×0.5+100×0.7=170(元)；（2）①分情况进行讨论，从而确定五六月份的用电量分别位于哪一档；②由①的结论，设五月份用电x度，列方程求解即可.
【详解】
解:(1) ∵200＜300小于450
∴应缴电费：200×0.5+100×0.7=170(元)
故答案为：170
(2)①因为两个月的总用电量为500度,所以每个月用电量不可能都在第一档；假设该用户
五、六月每月用电均超过200度,此时的电费共计200×0.5+200×0.5+100×0.7=270(元)，而270＜290，不符合题意；又因为六月份用电量大于五月份，所以五月份用电量在第一档，六月份用电量在第二档.
②设五月份用电x度，则六月份用电(500-x)度，
根据题意，得0.5x+200×0.5+0.7×(500-x-200)=290
解得x=100，500-x=400.
答:该户居民五、六月份分别用电100度、400度.
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据收费标准列式计算；（2）分情况讨论用电量，列出关于x的一元一次方程．
13．数学课上，某班同学用天平和一些物品（如图）探究了等式的基本性质.该班科技创新小组的同学提出问题：仅用一架天平和一个10克的砝码能否测量出乒乓球和一次性纸杯的质量？科技创新小组的同学找来足够多的乒乓球和某种一次性纸杯（假设每个乒乓球的质量相同，每个纸杯的质量也相同），经过多次试验得到以下记录：
记录天平左边天平右边状态
记录一6个乒乓球，
1个10克的砝码
14个一次性纸杯平衡
请算一算，一个乒乓球的质量是多少克？一个这种一次性纸杯的质量是多少克？
解：（1）设一个乒乓球的质量是x 克，则一个这种一次性纸杯的质量是______克；（用含x 的代数式表示）
（2）列一元一次方程求一个乒乓球的质量，并求出一个这种一次性纸杯的质量. 解析：（1）
61014x +或8107x -；（2）一个乒乓球的质量是3克，一个这种一次性纸杯的质量是2克.
【分析】
(1)根据题意即可得出答案；
（2）弄清题意，找到合适的等量关系，列出方程，解方程即可．
【详解】
解：（1）61014x +或8107
x - （2）根据题意得，610810147x x +-= 6101620x x +=-
6162010x x -=--
1030x -=-
3x =．
当3x =时，610631021414
x +⨯+==（克）． 答：一个乒乓球的质量是3克，一个这种一次性纸杯的质量是2克．
【点睛】
本题考查了一元一次方程与实际问题，解题的关键是找到合适的等量关系，列出方程，解方程．
14．解方程：
2x 13+=x 24
+-1． 解析：x=-2．
【分析】
按去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤进行求解即可.
【详解】
去分母得：4(2x+1)=3(x+2)-12，
去括号得：8x+4=3x+6-12，
移项得：8x-3x=6-12-4，
合并同类项得：5x=-10，
系数化为1得：x=-2．
【点睛】
本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤以及注意事项是解题的关键.
15．一天，某客运公司的甲、乙两辆客车分别从相距380千米的A、B两地同时出发相向而行，并以各自的速度匀速行驶，两车行驶2小时时甲车先到达服务区C地，此时两车相距20千米，甲车在服务区C地休息了20分钟，然后按原速度开往B地；乙车行驶2小时15分钟时也经过C地，未停留继续开往A地．（友情提醒：画出线段图帮助分析）
（l）乙车的速度是千米／小时，B、C两地的距离是千米，A、C两地的距离是千米；
（2）甲车的速度是千米／小时；
（3）这一天，乙车出发多长时间，两车相距200千米？
解析：（1）80,180,200；（2）100（3）乙车出发1小时或
11
3
27
小时，两车相距200千米
【分析】
（1）由题意可知，甲车2小时到达C地，休息了20分钟，乙车行驶2小时15分钟也到C 地，这20分钟甲车未动，即乙车15分钟走了20千米，据此可求出乙车的速度，再根据速度求出B、C两地的距离和A、C两地的距离即可解答．
（2）根据A、C两地的距离和甲车到达服务区C地的时间可求出甲车的速度；
（3）此题分为两种情况，未相遇和相遇以后相距200千米，据此根据题意列出符合题意得方程即可解答．
【详解】
解：（1）15分钟=1
4
小时，2小时15分=
9
4
小时，20分钟=
1
3
小时
乙车的速度为：20÷1
4
=80(千米/小时)；
B、C两地的距离是：80×9
4
=180(千米)；
A、C两地的距离是：380-180=200(千米)；
故答案为：80,180,200；
（2）甲车的速度是：200÷2=100(千米/小时)；故答案为：100；
（3）设乙车出发x小时，两车相距200千米．
由题意得，100x+80x+200=380或100(x-1
3
)+80x=380+200
解得：x=1或x=
11 3 27
答：乙车出发1小时或
11
3
27
小时，两车相距200千米
【点睛】
本题主要考查一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
16．在“五一”期间，小明､小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，小明与爸爸的对话(如图)，请根据图中的信息，解答下列问题：
(1)他们共去了几个成人，几个学生？
(2)请你帮他们算算，用哪种方式购票更省钱？
解析：（1）他们一共去了8个成人，4个学生；（2）按团体票购票更省钱
【分析】
（1）本题有两个相等关系：学生人数+成人人数=12人，成人票价+学生票价=400元，据此设未知数列方程组求解即可；
（2）计算出按照团体票购买需要的钱数，然后与400元作对比即得答案．
【详解】
解：(1)设去了x个成人，y个学生，
依题意得，
12
40400.5400
x y
x y
+=
⎧
⎨
+⨯=
⎩
，解得
8
4
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
答：他们一共去了8个成人，4个学生；
(2)若按团体票购票，共需16×40×0.6＝384(元)，
∵384＜400，
∴按团体票购票更省钱．
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的应用，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．
17．一项工程，由甲队独做需12个月完工，由乙队独做需15个月完工．现决定由两队合作，且为了加快进度，甲、乙两队都将提高工作效率．若甲队的工作效率提高40%，乙队的工作效率提高25%，，则两队合作，几个月可以完工？
解析：5
【分析】
设两队合作x个月完成，甲队原来的工作效率为
1
12
，将工作效率提高40%以后为
1
12
（1
＋40%），乙队原来的工作效率为
115，将工作效率提高25%以后为115
（1＋25%），根据工作效率×工作时间＝工作总量1,列出方程，解方程即可
【详解】 解：设两队合作x 个月完成，由题意，得[
112
（1＋40%）＋115（1＋25%）]x ＝1， 解得x ＝5．
答：两队合作，5个月可以完工．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程． 18．依据下列解方程
0.30.5210.23
x x +-=的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据。

解：原方程可变形为
352123
x x +-=（ ） （ ），得3(35)2(21)x x +=-（ ） 去括号，得91542x x +=-
（ ），得94152x x -=--（ ）
合并同类项，得517x =-（合并同类项法则）
（ ），得175
x =-（ ） 解析：分数的基本性质；去分母；等式性质2；乘法分配律；移项；等式性质1；系数化为1；等式性质2.
【分析】
根据题意由方程去分母，去括号，移项合并，将x 系数化为1，进行分析即可．
【详解】 解：原方程可变形为
352123
x x +-= （分数的基本性质） （去分母），得3（3x+5）=2（2x-1）．（等式性质2）
去括号，得9x+15=4x-2．（乘法分配律）
（移项），得9x-4x=-15-2．（等式性质1）
合并同类项，得5x=-17．（合并同类项法则） （系数化为1），得175
x =-．（等式性质2） 故答案为：分数的基本性质；去分母；等式性质2；乘法分配律；移项；等式性质1；系数化为1；等式性质2.
【点睛】
本题考查解一元一次方程，注意掌握解一元一次方程常见的一般步骤即去分母，去括号、
移项、系数化为1，最后得解．
19．小明用的练习本可以到甲商店购买，也可以到乙商店购买．已知两店的标价都是每本1元，甲商店的优惠条件是买10本以上，从第11本开始按标价的7折卖；乙商店的优惠条件是购买10本以上，每本按标价的8折卖．
（1）小明要买20本练习本，到哪个商店较省钱？
（2）小明要买10本以上练习本，买多少本时到两个商店付的钱一样多？
（3）小明现有32元钱，最多可买多少本练习本？
解析：（1）到乙商店较省钱；（2）买30本；（3）最多可买41本练习本．
【分析】
（1）分别按照甲商店与乙商店给的优惠活动，计算出费用，哪个商店的费用更低，即更省钱，即可解决；
（2）可设买x 本时到两个商店付的钱一样多，分别用x 表示到甲商店购买的钱与到乙商店购买的钱，令其相等，解出x ，即可解决本题；
（3）设可买y 本练习本，分别算出到甲商店能买多少本，到乙商店能买多少本，取更多的即可解决．
【详解】
解：（1）∵甲商店：101(2010)170%17⨯+-⨯⨯=(元)；乙商店：
20180%16⨯⨯=(元)．
又∵17＞16，
∴小明要买20本练习本时，到乙商店较省钱．
（2）设买x 本时到两个商店付的钱一样多．
依题意，得10170%(10)80%x x ⨯+-=，解得30x =．
∴买30本时到两个商店付的钱一样多．
（3）设可买y 本练习本．
在甲商店购买：1070%(10)32y +-=． 解得29034177
y ==． ∵y 为正整数，∴在甲商店最多可购买41本练习本．
在乙商店购买：80%32y =．
解得40y =．∴在乙商店最多可购买40本练习本．
∵41＞40，∴最多可买41本练习本．
【点睛】
本题主要考查了一元一次方程的实际应用，能够找出等量关系，列出方程是解决本题的关键．
20．公园门票价格规定如下表：
某校七（1）、七（2）两个班共104人去公园游玩，其中七（1）班人数较少，不足50人．若两个班都以班为单位购票，则一共应付1240元，问：
（1）如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省多少元？
（2）两班各有多少学生？
（3）如果七（1）班单独组织去公园游玩，作为组织者的你将如何购票才最省钱？
解析：（1）304元；（2）七（1）班有48人，七（2）班有56人；（3）买51张门票可以更省钱．
【分析】
（1）利用算术方法即可解答；
（2）若设初一（1）班有x 人，根据总价钱即可列方程；
（3）应尽量设计的能够享受优惠．
【详解】
（1）12401049304-⨯=(元)，所以可省304元．
（2）设七（1）班有x 人，则七（2）班有(104)x -人．
由题意得1311(104)1240x x +-=或139(104)1240x x +-=，
解得48x =或76x =(不合题意，舍去)．
即七（1）班有48人，七（2）班有56人．
（3）由（2）可知七（1）班共48人，若买48张门票，共需4813624⨯=(元)，若买51张门票，共需5111561⨯=(元)，
所以买51张门票可以更省钱．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用．在优惠类一类问题中，注意认真理解优惠政策，审题要细心．
21．松雷中学原计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工这种校服16件，乙工厂每天能加工这种校服24件．且单独加工这批校服甲工厂比乙工厂要多用20天在加工过程中，学校每天需付甲工厂费用80元，乙工厂费用120元．
（1）这批校服共有多少件？
（2）在实际加工过程中，甲、乙两个工厂按原生产效率合作一段时间后，甲工厂停工了，乙工厂每天的生产效率提高25%，乙工厂单独完成剩余部分，且乙工厂的全部工作时间比甲工厂工作时间的2倍还多4天，则乙工厂共加工多少天？
（3）经学校研究制定如下方案：方案一：由甲工厂单独完成；方案二：由乙工厂单独完成；方案三：按第（2）问方式完成并且每种方案在加工过程中，每个工厂需要一名工程师进行技术指导，并由学校提供每天10元的午餐补助费，请你通过计算帮学校选择一种既省时又省钱的加工方案．
解析：（1）960件
（2）28天
（3）方案三
【分析】
（1）由题意设这批校服共有x 件，并根据题意建立一元一次方程进行求解即可；
（2）根据题意设甲工厂加工a 天，则乙工厂共加工(24)a +天，并根据题意建立一元一次方程进行求解即可；
（3）根据题意分别计算三种方案所需的时间与费用，并进行比较即可得出答案．
【详解】
解：（1）设这批校服共有x 件． 由题意，得
201624
x x -=．解得960x =． 答：这批校服共有960件．
（2）设甲工厂加工a 天，则乙工厂共加工(24)a +天．依题意得 (1624)24(125%)(24)960a a a ++⨯++-=．
解得12a =．
2424428a +=+=．
答：乙工厂共加工28天．
（3）①方案一：需要耗时9601660÷=（天），费用为60(1080)5400⨯+=（元）； ②方案二：需要耗时9602440÷=（天），费用为40(12010)5200⨯+=（元）； ③方案三：甲工厂耗时12天，乙工厂耗时28天，故需要耗时28天，
费用为12(1080)28(10120)4720⨯++⨯+=（元）．
综上，方案三既省时又省钱．
【点睛】
本题考查一元一次方程的实际应用，读懂题干并依据题干条件建立一元一次方程求解是解题的关键．
22．阅读下列解题过程，指出它错在哪一步？为什么？2(1)13(1)1x x --=--． 两边同时加上1，得2(1)3(1)x x -=-．第一步
两边同时除以(1)x -，得23=．第二步
所以原方程无解．第三步
解析：第二步出错，见解析
【分析】
根据等式的基本性质判断即可.
【详解】
解题过程在第二步出错理由如下：
等式两边不能同时除以1x -，1x -可能为0．
【点睛】
此题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解本题的关键．利用等式的性质2进行化简时，一定要注意等式两边不能同时除以一个可能为0的式子，否则容易导致类似本题中出现的错解．
23．一位商人来到一座新城市，想租一套房子，A 家房东的条件是先交2000元，每月租金1200元；B 家房东的条件是每月租金1400元．
（1）这位商人想在这座城市住半年，则租哪家的房子划算？
（2）如果这位商人想住一年，租哪家的房子划算？
（3）这位商人住多长时间时，租两家的房子租金一样？
解析：（1）住半年时，租B 家的房子划算；（2）住一年时，租A 家的房子划算；（3）这位商人住10个月时，租两家的房子租金一样．
【分析】
（1）分别根据A 、B 两家租金的缴费方式计算A 、B 两家半年的租金，然后比较即得答案；
（2）分别根据A 、B 两家租金的缴费方式计算A 、B 两家一年的租金，然后比较即得答案；
（3）根据A 家租金（2000+1200×租的月数）=B 家租金（1400×租的月数）设未知数列方程解答即可．
【详解】
解：（1）如果住半年，交给A 家的租金是1200620009200⨯+=(元)，
交给B 家的租金是140068400⨯=(元)，
因为9200＞8400，所以住半年时，租B 家的房子划算．
（2）如果住一年，交给A 家的租金是120012200016400⨯+=(元)，
交给B 家的租金是14001216800⨯=(元)，
因为16400＜16800，所以住一年时，租A 家的房子划算．
（3）设这位商人住x 个月时，租两家的房子租金一样，
根据题意，得120020001400x x +=．
解方程，得10x =．
答：这位商人住10个月时，租两家的房子租金一样．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，属于常考题型，正确理解题意、明确A 、B 两家租金的缴费方式是解题的关键．
24．李老师准备购买一套小户型商品房，他去售楼处了解情况得知，该户型商品房的单价是5000元2/m ，如图所示(单位：m ，卫生间的宽未定，设宽为xm )，售楼处为李老师提供了以下两种优惠方案：
方案一：整套房的单价为5000元2/m ，其中卫生间可免费赠送一半的面积；
方案二：整套房按原销售总金额的9.5折出售．
（1）用含x 的代数式表示该户型商品房的面积及按方案一、方案二购买一套该户型商品房
（2）当2x =时，通过计算说明哪种方案更优惠，优惠多少元．
解析：（1）该户型商品房的面积为2
(482)x m +，按方案一购买一套该户型商品房的总金额为(2400005000)x +元，按方案二购买一套该户型商品房的总金额为(2280009500)x +元；（2）当2x =时，方案二更优惠，优惠3000元．
【分析】
（1）该户型商品房的面积=大长方形的面积-卫生间右侧的长方形，代入计算，也可以利用各间的面积和来求；方案一：（总面积-厨房的
12
）×单价5000；方案二：总价×0.95； （2）分别把数据代入计算即可；
【详解】
解：（1）该户型商品房的面积为： 2473(84)2(73)(842)(482)x x m ⨯+⨯-+⨯-+--=+
按方案一购买一套该户型商品房的总金额为：
147342425000(2400005000)2x x ⎛⎫⨯+⨯+⨯+⨯⨯=+ ⎪⎝⎭
元； 按方案二购买一套该户型商品房的总金额为：
(4734242)500095%(2280009500)x x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=+元．
（2）当2x =时，方案一总金额为2400005000250000x +=(元)；
方案二总金额为2280009500247000x +=(元)．
方案二比方案一优惠2500002470003000-=(元)．
所以方案二更优惠，优惠3000元．
【点睛】
本题是根据实际应用列代数式，是楼房销售问题，考查了图形面积与销售总额及银行利率的知识；解题的关键是熟练掌握利用代数式表示图形的面积．
25．解方程：32122234x x ⎡⎤⎛⎫---= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
． 解析：8x =-
【分析】
先去括号，再按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可．
【详解】 解：去括号，得1324
x x ---=， 移项、合并同类项，得364
x -
=， 系数化为1，得8x =-．
【点睛】 本题考查了一元一次方程的解法，属于常考题型，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题。