七年级初一数学第二学期第六章 实数单元 易错题提优专项训练试卷

七年级初一数学第二学期第六章 实数单元 易错题提优专项训练试卷
一、选择题
1．下列说法正确的是（ ）
A ．有理数是整数和分数的统称
B ．立方等于本身的数是0，1
C ．a -一定是负数
D ．若a b =，则a b =
2．下列命题中，真命题是（ ）
A ．实数包括正有理数、0和无理数
B ．有理数就是有限小数
C ．无限小数就是无理数
D ．无论是无理数还是有理数都是实数
3．实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A ．ac ＞0
B ．|b |＜|c |
C ．a ＞﹣d
D ．b +d ＞0
4．下列各数-(-3),0,22
1(-)--2--42π，
，，中,负数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5．若2a a a -=，则实数a 在数轴上的对应点一定在（ ）
A ．原点左侧
B ．原点或原点左侧
C ．原点右侧
D ．原点或原点右侧 6．若3y +，则xy 的值为（ ） A ．8 B ．2 C ．-6 D ．±2
7．有下列四种说法：
①数轴上有无数多个表示无理数的点；
②带根号的数不一定是无理数；
③平方根等于它本身的数为0和1；
④没有最大的正整数，但有最小的正整数；
其中正确的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 8．在3.14，
237，2-327，π这几个数中，无理数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
9．33x y ，则x 和y 的关系是( )．
A ．x ＝y ＝0
B ．x 和y 互为相反数
C ．x 和y 相等
D ．不能确定 10．2243522443355+=22444333555
+=，仔细22202042020344
4333+个个 ）
A ．20174555个
B ．20185555个
C ．20195555个
D ．20205
555个 二、填空题
11．若x +1是125的立方根，则x 的平方根是_________．
12．一个数的平方为16，这个数是 ．
13___________．
14．若实数a 、b 满足20a +=，则a b
=_____．
15．+（y+2）2=0，则(x+y)2019等于_____．
16．
=__________． 17．现定义一种新运算：对任意有理数a 、b ，都有a ⊗b=a 2﹣b ，例如3⊗2=32﹣2=7，2⊗（﹣
1）=_____． 18．定义新运算a ☆b ＝3a ﹣2b ，则（﹣2）☆1＝_____． 19．
1111111111112018201920182019202020182019202020182019⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++----+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭________．
20．已知实数x 的两个平方根分别为2a +1和3-4a ，实数y 的立方根为-a 的值为______．
三、解答题
21．（1）观察下列式子：
①100222112-=-==；
②211224222-=-==；
③322228442-=-==；
……
根据上述等式的规律，试写出第n 个等式，并说明第n 个等式成立；
（2）求01220192222+++
+的个位数字. 22．对于有理数a ，b ，定义运算：a ⊕b ＝ab －2a －2b ＋1.
(1)计算5⊕4的值；
(2)计算[(－2)⊕6]⊕3的值；
(3)定义的新运算“⊕”交换律是否还成立？请写出你的探究过程．
23．观察下列各式的计算结果 2113131-1-24422===⨯ 2118241-1-39933
===⨯
21115351-
1-4161644===⨯ 21124461-1-5252555
===⨯ （1）用你发现的规律填写下列式子的结果： 211-
6= × ； 211-10
= × ； （2）用你发现的规律计算： 22222
111111-1-1-1-1-23420162017⨯⨯⨯⋯⨯⨯（）（）（）（）（） （3）计算()222221111111111234
1n n ⎡⎤⎛⎫-⨯-⨯-⨯⨯-⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦（）（）（）（直接写出结果） 24．探究：
(
)()()
211132432222122222222-=⨯-⨯=-=
=-=
= …… （1）请仔细观察，写出第5个等式；
（2）请你找规律，写出第n 个等式；
（3）计算：22018
201920202222-2++⋅⋅⋅++
．
25．对于结论：当a+b ＝0时，a 3+b 3＝0也成立．若将a 看成a 3的立方根，b 看成b 3的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”
（1）举一个具体的例子来判断上述结论是否成立；
（2x+5的平方根是它本身，求x+y 的立方根．
26．观察下列解题过程：
计算231001555...5+++++
解：设231001555...5S =+++++①
则23410155555....5S =+++++②
由-②①得101451S =-
101514
S -∴= 即10123100511555 (54)
-+++++= 用学到的方法计算：2320191222...2+++++
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
根据有理数的定义、立方的性质、负数的性质、绝对值的性质对各项进行分析即可．
【详解】
A. 有理数是整数和分数的统称，正确；
B. 立方等于本身的数是-1，0，1，错误；
C. a -不一定是负数，错误；
D. 若a b =，则a b =或=-a b ，错误；
故答案为：A ．
【点睛】
本题考查了判断说法是否正确的问题，掌握有理数的定义、立方的性质、负数的性质、绝对值的性质是解题的关键．
2．D
解析：D
【分析】
直接利用实数以及有理数、无理数的定义分析得出答案．
【详解】
A 、实数包括有理数和无理数，故此命题是假命题；
B 、有理数就是有限小数或无限循环小数，故此命题是假命题；
C 、无限不循环小数就是无理数，故此命题是假命题；
D 、无论是无理数还是有理数都是实数，是真命题．
故选：D ．
【点睛】
此题主要考查了命题与定理，正确掌握相关定义是解题关键．
3．D
解析：D
【分析】
根据实数在数轴上的位置判断大小，结合实数运算法则可得.
【详解】
根据数轴，﹣4＜a ＜﹣3，﹣2＜b ＜﹣1，0＜c ＜1，2＜d ＜3，
∵﹣4＜a ＜﹣3，0＜c ＜1，∴ac ＜0，故A 错误；
∵﹣2＜b ＜﹣1，0＜c ＜1，∴1＜|b |＜2，0＜|c |＜1，故|c |＜|b |，故B 错误； ∵﹣4＜a ＜﹣3，2＜d ＜3，∴﹣3＜﹣d ＜﹣2，故a ＜﹣d ，故C 错误；
∵﹣2＜b ＜﹣1，2＜d ＜3，∴b +d ＞0，故D 正确．
【点睛】
本题主要考查实数与数轴以及实数的大小比较，熟练实数相关知识点是解答此题的关键．
4．C
解析：C
【分析】
根据相反数的定义，有理数的乘方，绝对值的性质分别化简，再根据正负数的定义进行判断即可得解
【详解】
解：-(-3)=3；211()24-=
；224-=-；44--=-； 所以2-2-4π--，
，是负数，共3个。

故选：以C.
【点睛】
本题考查了正数和负数，主要利用了相反数的定义，绝对值的性质以及有理数的乘方，是基础题，熟记概念并准确化简是解题的关键．
5．B
解析：B
【分析】
根据非正数的绝对值是它的相反数，可得答案．
【详解】
解：由a-|a|=2a ，得
|a|=-a ，
故a 是负数或0，
∴实数a 在数轴上的对应点在原点或原点左侧
故选：B ．
【点睛】
本题考查了实数与数轴，利用了非负数的绝对值，非正数与数轴的关系：非正数位于原点及原点的左边．
6．C
解析：C
【分析】
根据非负数的性质列出方程求出x 、y 的值，代入所求代数式计算即可．
【详解】
根据题意得：2030x y -⎧⎨+⎩
＝＝， 解得：23x y ⎧⎨-⎩
＝＝，
故选：C ．
【点睛】
此题考查绝对值和偶次方非负数的性质，解题关键在于掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
7．C
解析：C
【分析】
根据实数的定义，实数与数轴上的点一一对应，平方根的定义可得答案．
【详解】
①数轴上有无数多个表示无理数的点是正确的；
2=；
③平方根等于它本身的数只有0，故本小题是错误的；
④没有最大的正整数，但有最小的正整数，是正确的．
综上，正确的个数有3个，
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了实数的有关概念，正确把握相关定义是解题关键．
8．B
解析：B
【分析】
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】
3.14，
237，π中无理数有:, π,共计2个. 故选B. 【点睛】
考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
9．B
解析：B
【解析】
分析：先移项，再两边立方，即可得出x=-y ，得出选项即可．
详解：
,
=
∴x=-y ，
即x 、y 互为相反数，
故选B ．
点睛：考查了立方根，相反数的应用，解此题的关键是能得出x=-y ．
10．D
解析：D
【分析】
当根号内的两个平方的底数为1位数时，结果为5，当根号内的两个平方的底数为2位数时，结果为55，当根号内的两个平方的底数为3位数时，结果为555，据此即可找出规律，根据此规律作答即可．
【详解】
5，
55=，
555=，
……
20205555
个．
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了与算术平方根有关的数的规律探求问题，解题的关键是由前三个式子找到规律，再根据所找到的规律解答．
二、填空题
11．±2
【分析】
先根据立方根得出x 的值，然后求平方根．
【详解】
∵x+1是125的立方根
∴x+1=，解得：x=4
∴x 的平方根是±2
故答案为：±2
【点睛】
本题考查立方根和平方根，注意一个正
解析：±2
【分析】
先根据立方根得出x 的值，然后求平方根．
【详解】
∵x+1是125的立方根
∴x+1=3125，解得：x=4
∴x 的平方根是±2
故答案为：±2
【点睛】
本题考查立方根和平方根，注意一个正数的平方根有2个，算术平方根只有1个．
12．【详解】
解：这个数是
解析：
【详解】
解：2(4)16,±=∴这个数是4±
13．2
【分析】
的值为8，根据立方根的定义即可求解．
【详解】
解：，8的立方根是2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查算术平方根和立方根的定义，明确算术平方根和立方根的定义是解题的关键．
解析：2
【分析】
648，根据立方根的定义即可求解．
【详解】
648=，8的立方根是2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查算术平方根和立方根的定义，明确算术平方根和立方根的定义是解题的关键．
14．﹣
【解析】
根据题意得：a+2=0，b-4=0，解得：a=-2，b=4，则=﹣．故答案是﹣． 解析：﹣
12
【解析】
根据题意得：a+2=0，b-4=0，解得：a=-2，b=4，则a
b
=﹣
1
2
．故答案是﹣
1
2
．
15．-1
【分析】
根据非负数的性质先求出x与y，然后代入求解即可. 【详解】
解：∵+（y+2）2=0
∴
∴(x+y)2019=-1
故答案为：-1.
【点睛】
本题主要考查了非负数的性质，熟
解析：-1
【分析】
根据非负数的性质先求出x与y，然后代入求解即可.
【详解】
（y+2）2=0
∴
10
20 x
y
-=
+=⎧
⎨
⎩
1
2 x
y
=
⎧
∴⎨
=-
⎩
∴(x+y)2019=-1
故答案为：-1.
【点睛】
本题主要考查了非负数的性质，熟练掌握性质，并求出x与y是解题的关键.
16．351
【分析】
先计算题干中四个简单式子，算出结果，找出规律，根据规律得出最后式子的的值．
【详解】
=1
=3
=6
=10
发现规律：1+2+3+
∴1+2+3=351
故答案为：351
【点
解析：351
【分析】
先计算题干中四个简单式子，算出结果，找出规律，根据规律得出最后式子的的值．【详解】
=10
+
=1+2+3+n
+=351
=1+2+326
故答案为：351
【点睛】
本题考查找规律，解题关键是先计算题干中的4个简单算式，得出规律后再进行复杂算式的求解．
17．5
【解析】利用题中的新定义可得：2⊗（﹣1）=4﹣（﹣1）=4+1=5.
故答案为：5．
点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．解析：5
【解析】利用题中的新定义可得：2⊗（﹣1）=4﹣（﹣1）=4+1=5.
故答案为：5．
点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．﹣8
【分析】
原式利用题中的新定义计算即可得到结果．
【详解】
解：根据题中的新定义得：（﹣2）☆1＝3×（−2）−2×1＝−6−2＝−8，
故答案为−8.
【点睛】
此题考查了有理数的混合运算，
解析：﹣8
【分析】
原式利用题中的新定义计算即可得到结果．
【详解】
解：根据题中的新定义得：（﹣2）☆1＝3×（−2）−2×1＝−6−2＝−8，
故答案为−8.
【点睛】
此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
19．【分析】
设，代入原式化简即可得出结果.
【详解】
原式
故答案为：.
【点睛】
本题考查了整式的混合运算，设将式子进行合理变形是解题的关键. 解析：12020
【分析】 设1120182019
m =
+，代入原式化简即可得出结果. 【详解】 原式()111120202020m m m m ⎛
⎫⎛⎫=-+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 221202*********
m m m m m m =-+
--++ 12020= 故答案为：
12020
. 【点睛】 本题考查了整式的混合运算，设1120182019m =
+将式子进行合理变形是解题的关键. 20．3
【分析】
利用平方根、立方根的定义求出x 与y 的值，即可确定的值．
【详解】
解：根据题意的2a+1+3-4a=0，
解得a=2，
∴，
，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了平方根和立方根，熟
解析：3
【分析】
利用平方根、立方根的定义求出x 与y 的值．
【详解】
解：根据题意的2a+1+3-4a=0，
解得a=2，
∴25,8x y ==-，
∴=
，
故答案为：3．
【点睛】 本题考查了平方根和立方根，熟练掌握相关的定义是解题的关键．
三、解答题
21．（1）11222n n n ---=，理由见解析；（2）01220192222++++的个位数字为5.
【分析】
（1）找规律，发现等式满足11222n n n ---=，证明，即可．（2）利用公式11222n n n ---=，分别表示每个项，利用相消法，计算结果，即可.
【详解】
（1）11222n n n ---=
理由是：122n n -- 11122n n +--=-
11222n n --=⨯-
()1212n -=-⨯
12n -=
（2）原式=()()()()1021322020201922222222-+-+-++-
2020022=-
()505421=-
505161=-
因为6的任何整数次幂的个位数字为6.
所以505161-的个位数字为5，即01220192222++++的个位数字为5.
【点睛】
本题考查了与数字运算有关的规律题，仔细观察发现规律是解题的关键.
22．(1)3；(2)－24；(3)成立．
【解析】
【分析】
（1）按照给定的运算程序，一步一步计算即可；
（2）先按新定义运算，先计算（-2）⊕6、再将所得结果-19与3计算规定运算可得； （3）成立，按新定义分别运算即可说明理由．
【详解】
(1)5⊕4＝5×4－2×5－2×4＋1
＝20－10－8＋1
＝2＋1
＝3.
(2)原式＝[－2×6－2×(－2)－2×6＋1]⊕3
＝(－12＋4－12＋1)⊕3
＝－19⊕3
＝－19×3－2×(－19)－2×3＋1
＝－24.
(3)成立．
∵a ⊕b ＝ab －2a －2b ＋1，b ⊕a ＝ab －2b －2a ＋1，
∴a ⊕b ＝b ⊕a ，
∴定义的新运算“⊕”交换律还成立．
【点睛】
此题是定义新运算题型．直接把对应的数字代入所给的式子可求出所要的结果．
23．（1）
5766⨯；9111010⨯（2）10092017（3）12n n + 【解析】
试题分析：（1）根据题目中所给的规律直接写出答案；（2）根据所得的规律进行计算即可；（3）根据所得的规律进行计算即可德结论.
试题解析：
（1）5766⨯ ， 9111010
⨯； （2）原式=1324352016201822334420172017⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭（） =
1201822017
⨯ =10092017
; （3）12n n +. 点睛：本题是一个数字规律探究题，解决这类问题的基本方法为：通过观察，分析、归纳
发现其中的规律，并应用规律解决问题．
24．（1）655552222122-=⨯-⨯=；（2）12222122n n n n n +--=⨯⨯=；（3）-2
【分析】
（1）直接根据规律即可得出答案；
（2）根据前3个式子总结出来的规律即可求解；
（3）利用规律进行计算即可．
【详解】
解（1）26﹣25＝2×25﹣1×25＝25 ，
（2）2n +1﹣2n ＝2×2n ﹣1×2n ＝2n ，
（3）21+22+…+22018+22019﹣22020＝21+22+…+22018+（22019﹣22020）＝21+22+…+22018﹣22019＝21+22+…+22017+（22018﹣22019）＝…＝21﹣22＝-2．
【点睛】
本题主要考查有理数的运算与规律探究，找到规律是解题的关键．
25．（1）成立，例子见解析；（2）﹣2
【分析】
（1
（2）根据互为相反数的和为0，列等式可得y 的值，根据平方根的定义得：x+5＝0，计算x+y 并计算它的立方根即可．
【详解】
解：（10，则2+（﹣2）＝0，即2与﹣2互为相反数；
所以“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”成立；
（2
＝0，
∴8﹣y+2y ﹣5＝0，
解得：y ＝﹣3，
∵x+5的平方根是它本身，
∵x+5＝0，
∴x ＝﹣5，
∴x+y ＝﹣3﹣5＝﹣8，
∴x+y 的立方根是﹣2．
【点评】
本题考查立方根和平方根的知识，难度一般，注意互为相反数的和为0，知道这一知识是本题的关键．
26．22020−1
【分析】
根据题目提供的求解方法进行计算即可得解．
【详解】
设S ＝2320191222...2+++++①
则2S ＝2＋22＋23＋…＋22019＋22020，②
②−①得，S ＝（2＋22＋23＋…＋22019＋22020）-（2320191222...2+++++）=22020−1 即2320191222...2+++++=22020−1．
【点睛】
本题考查了规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，读懂题目信息，理解并掌握求解方法是解题的关键．。