湖南省常德市芷兰中学2018-2019学年度第一学期八年级数学期中复习试题(含答案)

湖南省常德市芷兰中学2018-2019学年度第一学期八年级数学
期中复习试题
一．选择题（满分24分，每小题3分）
1．在式子、、、、、中，分式的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个
2．给出下列长度的四组线段：①1，，；②3，4，5；③6，7，8；④a﹣1，a+1，4a（a＞1）．其中能构成直角三角形的有
（）
A．①②③B．②③④C．①②D．①②④
3．使分式有意义的x的取值范围为（）
A．x≠﹣2B．x≠2C．x≠0D．x≠±2
4．利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”，应先假设（）A．直角三角形的每个锐角都小于45°
B．直角三角形有一个锐角大于45°
C．直角三角形的每个锐角都大于45°
D．直角三角形有一个锐角小于45°
5．关于x的方程＝+1无解，则m的值是（）
A．0B．0或1C．1D．2
6．如图，AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，连接BE、CE，若△ABC的面积是8，则阴影部分的面积为（）
A．2B．4C．6D．8
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝32°．分别以A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于点D和E，连接DE，交AB于点F，连接CF，则∠AFC的度数
为（）
A．60°B．62°C．64°D．65°
8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，点D是AB中点，AF⊥CD于点H，交BC于点F，BE∥AC交AF的延长线于点E，给出下列结论：①∠BAE＝∠ACD，
②△ADC≌△BEA，③AC＝AF，④∠BDE＝∠EDC，⑤BC⊥DE．上述结论正确的序号
是（）
A．①②⑤B．②④⑤C．①②④D．①②③
二．填空题（满分21分，每小题3分）
9．计算﹣＝．
10．若分式的值为零，则x的值为．
11．已知一粒大米的质量约为0.000021千克，这个数用科学记数法表示为千克．12．如图，已知△ABC（AC＞AB），DE＝BC，以D，E为顶点作三角形，使所作的三角形△ABC全等，这样的三角形最多可以作出个．
13．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC，BE⊥AC，垂足为点E，△BDE是等边三角形，若AD＝4，则线段BE的长为．
14．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，AB的垂直平分线DE交AB于D点，交BC 于E点，连接AE，则∠EAC＝．
15．分式，当时，其值为0；当时，分式无意义；当时，分式的值为正数．
三．解答题（共10小题，满分72分）
16．（5分）先化简，再求值：÷（1﹣），请你给x赋予一个恰当的值，并求出代数式的值．
17．（5分）解下列方程：
（1）
（2）
18．（6分）先化简，再求值：（x﹣2+）÷，其中x＝﹣．
19．（6分）如图①，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM．以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）若AM+BM+CM的值最小，则称点M为△ABC的费马点．若点M为△ABC的费马点，试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数；
（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费马点的简便方法：如图②，分别以△ABC 的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点
M即为△ABC的费马点．试说明这种作法的依据．
20．（7分）如图所示，一个四边形纸片ABCD，∠B＝∠D＝90°，把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的F点，AE是折痕．
（1）试判断FE与DC的位置关系，并说明理由．
（2）如果∠C＝130°，求∠AEB的度数．
21．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，中线BD、CE相交于点O．求证：OB＝OC．
22．（8分）为了迎接市中学生田径运动会，计划由某校八年级（1）班的3个小组制作240面彩旗，后因一个小组另有任务，改由另外两个小组完成制作彩旗的任务．这样，这两个小组的每个同学就要比原计划多做4面彩旗．如果这3个小组的人数相等，那么每个小组有多少名学生？
23．（8分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点O是AB的中点，点D是OB上的一点（点D不与点O，B重合）．过点A，点B作直线CD的垂线，垂足分别为点E和点F．（1）如图1，求证：EF＝AE﹣BF；
（2）如图2，连接OE，OF，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由．
24．（10分）某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元．
（1）求第一批购进书包的单价是多少元？
（2）若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？25．（10分）已知，如图△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE ⊥AC于E，与CD相交于点F．求证：
（1）BF＝AC；
（2）CE＝BF．
参考答案
一．选择题
1．解：、、9x +这3个式子的分母中含有字母，因此是分式． 其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式．
故选：B ．
2．解：∵①12+2＝2，故能构成直角三角形；
②42+32＝52，故能构成直角三角形；
③62+72≠82，故不能构成直角三角形；
④（a ﹣1）2+（a +1）2≠（4a ）2，故不能构成直角三角形．
∴能构成直角三角形的是①②．
故选：C ．
3．解：x +2≠0，
∴x ≠﹣2
故选：A ．
4．解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不小于45°”时，应先假设直角三角形的每个锐角都小于45°．
故选：A ．
5．解：去分母得：x 2﹣2x +1＝mx ﹣2m +x 2﹣3x +2，
整理得：（m ﹣1）x ＝2m ﹣1，
由分式方程无解，得到m ﹣1＝0且2m ﹣1≠0，即m ＝1；
当m ≠1时，
＝1或＝2，
解得：m ＝0．
故选：B ．
6．解：∵AD 是△ABC 的中线，
∴S △ABD ＝S △ACD ＝S △ABC ，
∵点E 是AD 的中点，
∴S △ABE ＝S △ADE ＝S △ABD ，S △CDE ＝S △CAE ＝S △ACD ，
∵S △ABE ＝S △ABC ，S △CDE ＝S △ABC ，
∴S △ABE +S △CDE ＝S △ABC ＝×8＝4；
∴阴影部分的面积为4，
故选：B ．
7．解：由作图可得：DE 是AB 的垂直平分线，
∵∠ACB ＝90°，
∴CF ＝FB ，
∵∠B ＝32°，
∴∠BCF ＝32°，
∴∠AFC ＝32°+32°＝64°，
故选：C ．
8．解：∵∠BAC ＝90°，∠ACB ＝45°，
∴△ABC 是等腰直角三角形，∠BAE +∠F AC ＝90°，
∴AB ＝AC ，∠CBA ＝∠ACB ＝45°，
∵AF ⊥CD ，
∴∠AHC ＝90°，
∴∠ACD +∠F AC ＝90°，
∴∠BAE ＝∠ACD ，①正确；
∵BE ∥AC ，
∴∠ABE +∠BAC ＝180°，
∴∠ABE ＝90°，
在△ADC 和△BEA 中，
，
∴△ADC ≌△BEA （ASA ），②正确；
∵AC ＝AB ＞AF ，
∴③不正确；
∵△ADC ≌△BEA ，
∴AD＝BE，
∵点D是AB中点，
∴AD＝BD，
∴BE＝BD，
∴∠BDE＝45°≠∠EDC，④不正确；
∵∠ABE＝90°，BE＝BD，∠CBA＝45°，
∴∠EBP＝45°，
即BP平分∠ABE，
∴BP⊥DE，
即BC⊥DE，⑤正确．
故选：A．
二．填空题（共7小题，满分21分，每小题3分）
9．解：原式＝
＝
＝，
故答案为：．
10．解：依题意得：3﹣|x|＝0且x+3≠0，
解得x＝3．
故答案是：3．
11．解：0.000 021＝2.1×10﹣5．
故答案为：2.1×10﹣5．
12．解：如图，可以作出这样的三角形4个
故答案为：4
13．解：∵△BDE是正三角形，
∴∠DBE＝60°；
∵在△ABC中，∠C＝∠ABC，BE⊥AC，
∴∠C＝∠ABC＝∠ABE+∠EBC，则∠EBC＝∠ABC﹣60°＝∠C﹣60°，∠BEC＝90°；∴∠EBC+∠C＝90°，即∠C﹣60°+∠C＝90°，
解得∠C＝75°，
∴∠ABC＝75°，
∴∠A＝30°，
∵∠AED＝90°﹣∠DEB＝30°，
∴∠A＝∠AED，
∴DE＝AD＝4，
∴BE＝DE＝4，
故答案为：4．
14．解：∵DE垂直平分AB
∴AE＝BE
∴∠B＝∠BAE＝20°
∵∠AEC＝∠B+∠BAE
∴∠AEC＝40°
∵∠C＝90°，∠AEC＝40°
∴∠EAC＝50°
故答案为50°
15．解：依题意得：当|x|＝0且1﹣|x|≠0，即x＝0时，＝0；
当1﹣|x|＝0即x＝±1时，无意义；
当1﹣|x|＞0即﹣1＜x＜1时，＞0．
故答案是：x＝0；±1；﹣1＜x＜1．
三．解答题（共10小题，满分72分）
16．解：原式＝÷
＝•
＝，
当x＝0时，原式＝．
17．解：（1）去分母得：3x﹣9＝2x，
解得：x＝9，
检验：经检验，x＝9是原方程的解；
（2）去分母得：3x＝2x﹣3x﹣3，
解得：x＝﹣0.75，
检验：经检验x＝﹣0.75是原分式方程的解．
18．解：原式＝（+）•
＝•
＝2（x+2）
＝2x+4，
当x＝﹣时，
原式＝2×（﹣）+4
＝﹣1+4
＝3．
19．解：（1）证明：∵△ABE为等边三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．
而∠MBN＝60°，
∴∠ABM＝∠EBN．
在△AMB与△ENB中，
∵，
∴△AMB≌△ENB（SAS）．
（2）连接MN．由（1）知，AM＝EN．
∵∠MBN＝60°，BM＝BN，
∴△BMN为等边三角形．
∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．
∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小．
此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；
∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；
∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．
（3）由（2）知，△A BC的费马点在线段EC上，同理也在线段BF上．因此线段EC与BF的交点即为△ABC的费马点．
20．解：（1）由翻折的性质可知∠B＝∠AFE＝90°．
又∵∠D＝90°，
∴∠AFE＝∠D．
∴EF∥DC．
（2）∵EF∥DC，
∴∠BEF＝∠C＝130°．
由翻折的性质可知：∠AEB＝∠AEF＝∠BEF＝65°．
21．证明：∵△ABC的两条中线BD、CE，
∴CD＝AC，BE＝AB，
∵AB＝AC，
∴CD＝BE，∠EBC＝∠DCB，
在△EBC和△DCB中
∴△EBC≌△DCB（SAS），
∴∠DBC＝∠ECB，
22．解；设每个小组有x名学生，根据题意得：
，
解之得x＝10，
经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意．
答：每组有10名学生．
23．（1）证明：如图1中，
∵AE⊥CD，BF⊥CD，
∴∠AEC＝∠F＝∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠BCF＝90°，∠BCF+∠CBF＝90°，∴∠ACE＝∠CBF，
∵AC＝CB，
∴△ACE≌△CBF（AAS），
∴AE＝CF，CE＝BF，
∴EF＝CF﹣CE＝AE﹣BF．
（2）解：结论：OE＝OF，OE⊥OF．
理由：如图2中，延长EO交BF的延长线于点G．∵AE⊥CD，BG⊥CD，
∴AE∥BG，
∴∠EAO＝∠GBO，
∵OA＝OB，∠AOE＝∠BOG，
∴△AOE≌△BOG（AAS），
∴AE＝BG，OE＝OG，
∴FG＝BG﹣BF＝AE﹣BF＝EF，
∴OF⊥EG，∠EFO＝∠GFO＝45°，
∴∠OEF＝∠EF0＝45°，
∴OE＝OF．
24．解：（1）设第一批购进书包的单价是x元．
则：×3＝．
解得：x＝80．
经检验：x＝80是原方程的根．
答：第一批购进书包的单价是80元．
（2）×（120﹣80）+×（120﹣84）＝3700（元）．答：商店共盈利3700元．
25．（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDC＝∠ADC＝∠AEB＝90°，
∴∠A+∠ABE＝90°，∠ABE+∠DFB＝90°，
∴∠A＝∠DFB，
∵∠ABC＝45°，∠BDC＝90°，
∴∠DCB＝90°﹣45°＝45°＝∠DBC，
∴BD＝DC，
在△BDF和△CDA中
∵，
∴△BDF≌△CDA（AAS），
∴BF＝AC；
（2）证明：∵BE⊥AC，∴∠AEB＝∠CEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
在△AEB和△CEB中
∵，
∴△AEB≌△CEB（ASA），∴AE＝CE，
即CE＝AC，
∵由（1）知AC＝BF，
∴CE＝BF．。