第三部分图像及追及相遇问题

解法一：利用解析法求解
s汽 v汽2 v自2 100 16 m=7 m
2a
26
t v汽 v自 10 4 s=1 s
a
6
这段时间内自行车发生的位移:s自=v自t=4×1 m=4 m
汽车关闭油门时离自行车的距离:s=s汽-s自=(7-4)m=3 m.
解法二：利用v-t图线进行 求解.
如右图所示，直线Ⅰ、Ⅱ 分别表示汽车与自行车的速度 图像，其中，划斜线部分的面 积表示当两车车速相等时汽车 比自行车多发生的位移，即为汽车关闭油门时离自行 车的距离s.图线Ⅰ的斜率即为汽车减速运动的加速度， 所以应有：
一．运动的图像问题
1．运动图象的认识要点
1．从图象识别物体运动的性质（注意坐标轴） 2．能认识图像的截距的意义。 3．能认识图像的斜率的意义。 4．能认识图线覆盖面积的意义。 5．能说出图线上一点的状况。
2、位移—时间(s-t)图像
1、它表示做直线运动物体的位移随时间变化的关系，
2、匀速直线运动，匀变速直线运动，非匀变速运动的速度图 线分别如何？图中几条图线表达式如何？ v2
0.5t 0.5s
t/s t
0.5s 0.5t
t t/s
6、图象并非物体的运动轨迹。
3、速度——时间（v—t）图象
1、匀速直线运动，匀变速直线运动，非匀变速运动的速度图 线分别如何？图中几条图线表达式如何？
分别为v=常数、v=v0+at、v=at、v=v0-at.
2、图象的斜率表示物体加速度，正负表示方向，绝对值大小。
3、图象交点意义表示两物体在此时刻速度相等，而不是相遇。
解析：依题意，人与车运动的时间相等，设为t
当人追上车时，两者之间的位关系为：
s车+s0= s人
即： at2／2 + s0= v人t 由此方程求解t，若有解，则可追上；
若无解，则不能追上。
代入数据并整理得：t2－12t+50=0 △=b2－4ac=122－4×50×1=－56＜0
所以，人追不上车。
在刚开始追车时，由于人的速度大于车的速
【例2】.甲、乙两个物体在同一条直线上运动， 它们的速度图像如图2-5-4所示，则( )
A.甲、乙两物体都做匀加速直 线运动
B.甲物体的加速度比乙物体的 加速度大
C.甲物体的初速度比乙物体的 初速度大
D.在t1以后的任意时刻，甲物 体的速度大于同时刻乙物体的 速度
【例3】甲、乙、丙三辆汽车以相同的速度同时经过某一 路标，从此时开始，甲车一直做匀速直线运动，乙车先加 速后减速，丙车先减速后加速，它们经过下一路标时速度 又相同，则哪一辆车先经过下一个路标？
解法一：当两车速度相同时，两车相距最远，此时
两车运动时
对甲车：
间v为=t1v，1+两a车1t1速度为v
对乙车： v = v2+a2t1
两式联立得 t1=(v1-v2)/(a1-a2) = 4s
此时两车相距
△s=s1-s2=(v1t1+a1t12/2) - (v2t1+a2t12/2)=24m
当乙车追上甲车时，两车位移均为s，运动时间为t．则：
处理相遇、追及问题常用的三种解题方法： (1)解析法；(2)图像法；(3)巧取参考系法.
练习、甲乙两车同时同向从同一地点出发，甲车以
v动加1=，速16乙直m车 线/s的以 运初动v2=速，4度m求／，两sa车的1=再速-2次度m/相，s2的遇a2=加前1速两m／度车s作相2的匀距加减最速速大度直距作线离匀运和 再次相遇时两车运动的时间。
例4、如图示，两个光滑斜面的总长度相等、高度
也相等，两小球分别由静止从顶端下滑，若小球在图
中转折点无能量损耗，则 （B ） a
b
A. 两球同时落地 B.b球先落地
C. a球先落地 D.无法确定
解：若用公式求解此题很繁琐，应用v-t图分析较简单。
b球下滑的加速度开始大于a球，后来的加速度小于a球.
因为下落高度相等，所以最终速度相等； v
表示物体向正方向运动，位移逐渐增大，速度逐渐 减小，在t1时刻物体的位移最大，速度为0;在t1～t2 时间内，纵坐标逐渐减小，图线斜率为负，且绝对
值逐渐增大，表示物体沿负向运动，位移减小，速 度逐渐增大.
(b)图为v-t图线，在0～t1时间内，物体沿正方 向做加速度逐渐减小的加速运动，至t1时刻加速度 为零，速度达到最大值；在t1～t2时间内，物体沿 正方向(图线在t轴上方)做加速度逐渐增大(图线斜 率增大)的减速运动(纵坐标逐渐减小，斜率为负值).
分别为s=vat+s0、s=vbt、s=vc(t-t0)
3、图象的斜率表示物体的速度。曲线则其某点切线的斜率表示物 体在该时刻的速度，斜率的正负表示速度的方向，斜率的绝对值 表示速度的大小。（那个物体的速度大？）
4、图象的交点的意义是表示两物体在此时 到达了同一位置即两物体“相遇”。
5、图象纵轴的截距表示的是物体的初始位置， 而横轴的截距表示物体开始运动的时刻，或物 体回到原点时所用的时间。
度，因此人车间的距离逐渐减小；当车速大于 人的速度时，人车间的距离逐渐增大。因此， 当人车速度相等时，两者间距离最小。
at′=6
t′=6s
在这段时间里，人、车的位移分别为：
s人=v人t=6×6=36m s车=at′2/2=1×62/2=18m △s=s0+s车－s人=25+18－36=7m
【例3】有两个光滑固定斜面 AB和BC，A和C两点在同一 水平面上，斜面BC比斜面AB 长(如图2-5-8)一个滑块自A点 以速度vA上滑，到达B点时速 度减小为0，紧接着沿BC滑下， 设滑块从A点到C点的总时间 是t0，那么下列2-5-9四个图 中，正确表示滑块速度的大 小v随时间t变化规律是( )
C
练习、物体沿直线运动，在t 时间内通过的路程为s，
它在中间位置0.5 s处的速度为v1，在中间时刻0.5 t 处 的速度为v2，则v1和v2的关系为 （ A B C ）
A. 当物体做匀加速直线运动时 v1 >v2
B. 当物体做匀减速直线运动时 v1>v2
C. 当物体做匀速直线运动时 v1=v2
D. 当物体做匀减速直线运动时 v1<v2
s vt2 v02 2a
0 62 2 (6)
m=3 m.
总结：
追和被追的两物体的速度相等（同向运动）是能追上、 追不上，两者距离有极值的临界条件。
①速度大的物体如减速追速度小的物体时：当两者的速度相等时 若追者位移仍小于被追者位移，则永远追不上，此时两者间有最 小位移；若此时两者位移相等，则恰能追上，也是避碰的条件 ②速度小者加速（如初速度为零的匀加速直线运动）追速度大者 （如匀速运动）时，当两者速度相等时有最大距离，当位移相等 时，则追上
vt
ba
因为路程相等， 所以图线所围的面积相等。
v-t图线如图示：
不难看出， tb < ta
所以b球先落地
t
0
tb ta
二、相遇与追及问题
例5 一辆汽车以10 m/s的速度在平直的 公路上前进，突然发现正前方有一辆自行车以 4 m/s的速度做同方向的匀速直线运动，汽车 立即关闭油门做加速度大小为6 m/s2的匀减速 运动，为了保证汽车恰好不碰上自行车，求关 闭油门时汽车至少要离自行车多远?
s v汽 v自 (v汽 v自) 1 3 m.
a
2
解法三：巧取参考系解题
以自行车为参考系，汽车相对于自行车做匀减
速运动，a=-6 m/s2, v0=(10-4)m/s=6 m/s 当汽车追上自行车时，为了保证两车不相碰，
汽车的速度应小于或等于自行车的速度，令vt=0
由vt2 v02 2as
4、图象下的面积表示位移，且时间轴上方的面积表示正位移， 下方的面积表示负位移。
5、图象纵轴的截距表示物体的初速度，而横轴 的截距表示物体开始运动的时刻或物体的速度减 小到零所用时间。
6、速度图象也并非物体的运动轨迹。
例1 试分析下图中(a)和(b)两图像所描述的质 点运动的过程及运动性质.
【解析】(a)图为s-t图线，在0～t1时间内,随时 间的延长，纵坐标越来越大，图线斜率逐渐减小，
v1t+a1t2/2=v2t2+a2t2/2 得 t=8s 或 t=0 (出发时刻 ）
解法二：
甲车位移 乙车位移
s1= v1t+a1t2/2 s2= v2t2+a2t2/2
某一时刻两车相距为△s
△s=s1-s2= (v1t+a1t2/2)-(v2t2+a2t2/2) =12t-3t2/2
当t= -b/2a 时，即t=4s时，两车相距最远
△s=12×4-3×42/2=24m
当两车相遇时，△s=0，即12t- 3t2/2 = 0 ∴ t=8s 或 t=0(舍去)
练习、车从静止开始以1m/s2的加速度前进，车后相距 s0为25m处，某人同时开始以6m/s的速度匀速追车，能 否追上？如追不上，求人、车间的最小距离。
S0 v=6m/s
a=1m/s2