人教版高中数学必修一《集合与函数概念》之《集合》课时训练及解析

数学·必修1(人教A版)
集合与函数概念
本章概述
学习内容
1.集合
(1)了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系．
(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．
(3)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
(4)在具体情境中，了解全集与空集的含义．
(5)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
(6)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
(7)能使用韦恩图(Venn)表达集合的关系及运算．
2.函数概念
(1)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．
(2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
(3)了解简单的分段函数，并能简单应用．
(4)理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．
(5)会运用函数图象理解和研究函数的性质
知识结构
1.1 集 合 1．1.1 集合的含义与表示
►基础达标
1．集合{x∈N*|x<5}的另一种表示法是( ) A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}
答案：B
2．由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是( ) A．{x|－3<x<11，x∈Q}
B．{x|－3<x<11}
C．{x|－3<x<11，x＝2k，k∈N}
D．{x|－3<x<11，x＝2k，k∈Z}
答案：D
3．下列各个集合是有限集的是( )
A．{小于10 000的自然数}
B．{x|0＜x＜1}
C．{小于10 000的整数}
D．{x|x＜1}
答案：A
4．下列所给关系正确的个数是( )
①π∈R ②3∉Q③0∈N*④|－4|∉N*
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：∵π是实数，3是无理数，∴①②正确，又∵N*表示正整数集，而0不是正整数，故③不正确；又|－4|是正整数，故④不正确，∴正确的共有2个．答案：B
5．已知集合A＝{2,4，x2－x}，若6∈A，则x＝______.
答案：3或－2
6．用“∈”或“∉”填空．
(1)A＝{x|x2－x＝0}，则1____A，－2____A.
答案：∈∉
(2)B＝{x|1≤x≤5，x∈N}，则1____B，1.5____B.
答案：∈∉
(3)C＝{x|－1＜x＜3，x∈Z}，则0.2____C，3____C.
答案：∉∉
7．在数轴上画出下列集合所表示的范围：
(1){x|x＞－1}；
(2){x|－1＜x≤3}；
(3){x|x≥2或x＜－1}．
答案：作图如下：
(1)
(2)
(3)
►巩固提高
8．已知集合A ＝{一条边长为2，一个角为30°的等腰三角形}，则A 中元素的个数为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．无数个
解析：两腰为2，底角为30°；或两腰为2，顶角为30°；或底边为2，底角为30°；或底边为2，顶角为30°.共4个元素．故选C.
答案：C
9．已知1∈{ x | x 2
－3x ＋a ＝ }0，则实数a ＝______.
答案：2
10．用列举法表示下列集合： (1){x ∈N|x 是15的约数}； (2){(x ，y )|x ∈{1,2}，y ∈{1,2}}； (3){(x ，y )⎪⎪⎪
⎩⎪
⎨
⎪
⎧ x ＋y ＝2x －2y ＝4}；
(4){x |x ＝(－1)n
，n ∈N}；
(5){(x ，y )|3x ＋2y ＝16，x ∈N ，y ∈N}； (6){(x ，y )|x ，y 分别是4的正整数约数}．
解析：(1){1,3,5,15}
(2) {(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}
(3) ⎩⎨⎧⎭⎬⎫
⎝ ⎛⎭⎪⎫83
，－23
(4) {－1,1} (5){(0,8)，(2,5)，(4,2)}
(6) {(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)}
1．理解集合的含义需把握三个关键词：(1)指定；(2)对象；(3)集在一起．把“指定的
对象”集在一起就构成了一个集合，所有被“指定的对象”都是这个集合的元素，没有被“指定的对象”都不是这个集合的元素．
2．要理解和认识给定的集合需抓住“元素”，明确其元素是什么，有何性质．集合中的元素必须是确定的，不能含混不清、模棱两可；集合中的元素必须是互不相同的，相同的元素在集合中只能算一个．
3．用列举法表示集合时要注意集合中的元素不重不漏；用描述法表示集合时应注意集合与它的代表元素所采用的字母名称无关，而与代表元素的形式以及所具有的性质相关．有时要把用描述法表示的集合用列举法、图示法来表示，使抽象问题具体化、形象化．
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1．1.2集合间的基本关系
►基础达标
1．下列关系：①1∈{0,1,2}；②{1}∈{0,1,2}；③∅{0,1,2}；④{0,1,2}⊆{0,1,2}；
⑤{0,1,2}＝{2,0,1}．其中错误的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：只有②不正确．故选A.
答案：A
2．集合M＝{2,4,6}的真子集的个数为( )
A．6个B．7个C．8个D．9个
答案：B
3．用Venn图画出下列两个集合的关系：
(1)A＝{0,1,2}，B＝{1,2,4}；
(2)A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,3}．
答案：
4．已知集合A＝{1,2，x}，B＝{1,2，x2}且A＝B，求实数x的值．
解析：因为A＝B，所以x＝x2，
当x＝1时A＝{1,2,1}不符合元素互异性，舍去；
当x＝0时A＝B＝{1,2,0}．故x＝0.
5．写出满足{a，b}A⊆{a，b，c，d，e}的所有集合A.
解析：满足{a，b}A⊆{a，b，c，d，e}的集合分别为：{a，b，c}；{a，b，d}；{a，b，e}；{a，b，c，d}；{a，b，c，e}；{a，b，d，e}；{a，b，c，d，e}．
6．(1)写出集合{1,2,3}的所有真子集．
答案：集合{1,2,3}的所有真子集分别是：∅；{1}；{2}；{3}；{1,2}；{1,3}；{2,3}
(2)集合{1,2,3}的子集有：________个，真子集有________个，非空真子集有________个．
答案：(2)8 7 6
►巩固提高
7．已知集合A ＝⎩⎨⎧
⎭⎬⎫x |x ＝k
3，k ∈Z ，B ＝x |x ＝k
6，k ∈Z 则( )
A ．A
B B ．B A
C ．A ＝B
D ．A 与B 关系不确定
解析：对B 集合中，x ＝k 6，k ∈Z ，当k ＝2m 时，x ＝m 3，m ∈Z ；当k ＝2m －1时，x ＝m 3－1
6，
m ∈Z ，故按子集的定义，必有A
B .
答案：A
8．已知集合M ＝{(x ，y )|x ＋y <0，xy >0}，P ＝{(x ，y )|x <0，y <0}，则M ，P 的关系是________．
答案：M ＝P
9．集合A ＝{1,3，a }，B ＝{a 2
}，且B A ，求实数a 的取值的集合．
解析：由于B ＝{a 2
}
A ＝{1,3，a }，
∴①a 2
＝1，得a ＝1(不合题意，舍去)或a ＝－1，
10．已知集合：A ＝{x |－1＜x ≤5}，B ＝{x |m －5≤x ≤2m ＋3}且A ⊆B ，求实数m 的取值
范围．
1．元素与集合之间是属于与不属于的关系，集合与集合之间是包含与不包含的关系．2．集合相等必须元素全部相同，但顺序和表达方式可以不同．
3．空集是任何集合的子集，任何集合是它自己的子集．
4．Venn图是表达非确定集合关系的直观方法．
5．无限集大多可用数轴表示．一般n个元素的集合有2n个子集，其中2n－1个真子集．非空子集：2n－1个非空真子集为：2n－2个.
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1.1.3集合的基本运算
►基础达标
1．若集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x2－3x＝0}，则M∩N＝( )
A．{3} B．{0} C．{0,2} D．{0,3}
答案：B
2．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3} ，C＝{2,3,4}，则(A∩B)∪C＝( )
A．{1,2,3} B．{1,2,4}
C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}
答案：D
3．满足{1,3}∪A＝{1,3,5}的所有集合A的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：由于{1,3}∪A＝{1,3,5}，所以A⊆{1,3,5}且A中至少有一个元素为5，从而A 中其余的元素可以是集合{1,3}的子集的元素，而{1,3}有4个子集，因此满足条件的A的个数是4，它们分别是{5}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}．
答案：D
4．设全集U ＝{}1，2，3，4，5，集合M ＝{}1，4，N ＝{}1，3，5，则N ∩()∁U M ＝( )
A ．{1,3}
B ．{1,5}
C ．{3,5}
D ．{4,5}
解析：∁U M ＝{}2，3，5，N ＝{}1，3，5，则N ∩()∁U M ＝{}1，3，5∩{}2，3，5＝{}3，5.
答案：C
5．设集合M ＝{1,2,4,8}，N ＝{x |x 是2的倍数}，则M ∩N ＝( )
A ．{2,4}
B ．{1,2,4}
C ．{2,4,8}
D ．{1,2,8}
解析：因为N ＝{x |x 是2的倍数}＝{…，0,2,4,6，8，…}，故M ∩N ＝{}2，4，8，选
C.
答案：C
6．设集合M ＝{x |0＜x ＜1}，N ＝{x |－2＜x ＜2}，则( )
A ．M ∩N ＝∅
B ．M ∩N ＝M
C ．M ∪N ＝M
D ．M ∪N ＝R
解析：画数轴表示集合：
∴M ∩N ＝M .
答案：B
►巩固提高
7．设集合A ＝{1,2}，则满足A ∪B ＝{1,2,3}的集合B 的个数是( )
A ．1个
B ．3个
C ．4个
D ．8个
解析：A ＝{1,2}，A ∪B ＝{1,2,3}，则集合B 中必有元素3，即此题可转化为求集合A ＝{1,2}的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B 共有22
＝4个，故选择答案C.
答案：C
8．下列各式中，正确的是( )
A ．2⊆{x |x ≤2}
B ．{x |y ＝x ＋1}＝{(x ，y )|y ＝x ＋1}
C ．{x |x ＝4k ±1，k ∈Z}≠{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z}
D ．{x |x ＝3k ＋1，k ∈Z}＝{x |x ＝3k －2，k ∈Z}
答案：D
9．已知A ＝{2,5}，B ＝{x |x 2＋px ＋q ＝0}，A ∪B ＝A ，A ∩B ＝{5}，求p 、q 的值．
分析：由A ∪B ＝A 知B ⊆A .又A ∩B ＝{5}，可判断出B 中的元素，解出p 、q .
解析：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .
又A ∩B ＝{5}，且A ＝{2,5}，
∴5∈B ，且2∈/B ，∴B ＝{5}．
即⎩⎪⎨⎪⎧ 25＋5p ＋q ＝0，p 2－4q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝－10，q ＝25.
10．设全集U ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{|2a －1|,2}，∁U A ＝{5}，求实数a 的值．
解析：∵∁U A ＝{5}，∴5∈U ，且5∉A .
∴a 2＋2a －3＝5，解得a ＝2，或a ＝－4.
当a ＝2时，|2a －1|＝3≠5，
这时A ＝{3,2}，U ＝{2,3,5}．
满足∁U A ＝{5}适合题意，∴a ＝2.
当a ＝－4时，|2a －1|＝9，这时A ＝{9,2}，U ＝{2,3,5}，A
U .
∴a ＝－4不合题意，舍去．
综上可知：a ＝2.
1．求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法．2．集合并、交、补运算有下列运算特征：
(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A；
(2)A∪∅＝A，A∪B＝B∪A；
(3)A∩B⊆(A∪B)；
(3)A⊆B⇔A∩B＝A；A⊆B⇔A∪B＝B.1.1.4 集合的综合问题
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1.1.4 集合的综合问题
►基础达标
1．已知集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|－1＜x＜1}，则( )
解析：直接判断集合间的关系．
∵A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|－1＜x＜1}，∴B A.
答案：B
2．下列五个关系式：①{0}＝∅；②∅＝0；③{0}⊇∅；
④0∈∅；⑤∅≠{0}，其中正确的个数( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：B
3．下列语句：
(1)0与{0}表示同一个集合；
(2)由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；
(3)方程(x－1)2(x－2)2＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；
(4)集合{x|4＜x＜5}是有限集．
正确的是( )
A．只有(1)和(4) B．只有(2)和(3)
C．只有(2) D．以上语句都不对
答案：C
4．(2013·重庆卷)已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)＝( )
A．{1,3,4} B．{3,4}
C．{3} D．{4}
答案：D
5．设方程x2－px－q＝0的解集为A，方程x2＋qx－p＝0的解集为B，若A∩B＝{1}，则p＋q＝( )
A．2 B．0 C．1 D．－1
答案：C
6．(2013·广东卷)设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M ∪N＝( )
A．{0} B．{0,2}
C．{－2,0} D．{－2,0,2}
答案：D
►巩固提高
7．设集合P＝{3,4,5}，Q＝{4,5,6,7}，定义P※Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q}，则P※Q 中元素的个数为( )
A．3个 B．4个 C．7个 D．12个
8．已知集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|a≤x≤a＋3}，若A⊆B，则实数a的取值范围是________．
答案：[0,1]
9．已知集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3,2a－1，a2＋1}, 若A∩B＝{－3}，求实数a的值．
解析：∵A∩B＝{－3}，∴－3∈B.
若a－3＝－3则a＝0，
此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－1,1}．
∵A∩B＝{－3,1}与题设A∩B＝{－3}不符合，
∴a≠0.
若2a－1＝－3则a＝－1，
此时A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}．
A∩B＝{－3}符合，∴a＝－1.
若a2＋1＝－3，则a2＝－4无解．
综上知：a＝－1.
10．已知集合A＝{x|3≤x≤7}，B＝{x|2＜x＜10}，C＝{x|x＜a}．
(1)求A∪B；
解析：(1)借助数轴可知：A∪B＝{x|2＜x＜10}．
(2)求(∁R A)∩B；
解析：∁R A＝{x|x＜3或x＞7}．
∴借助数轴可知，(∁R A)∩B＝{x|2＜x＜3或7＜x＜10}．
(3)若A∩C＝A，求a的取值范围．
解析：∵A∩C＝A，∴A⊆C，结合数轴可知a＞7.
1．集合的元素要分清是数还是数组，甚至集合也可做元素．2．对于无明确元素的集合选择题可考虑将集合特殊化再分析．3．一个式子有多种运算应先内后外、先交后并的顺序进行．4．关于二次方程问题一定注意方程无解的情况．
5．∁S(A∩B)＝(∁S A)∪(∁S B)，
∁S(A∪B)＝(∁S A)∩(∁S B).1.2 函数及其表示。