【创新设计】(浙江专用)高考数学总复习 第九篇 解析几何 第6讲 双曲线课件 理

＋16λ＝5⇒λ＝
1 4
，则a2＝1，b2＝4.又a>0，b>0，故a＝1，b
＝2.
答案 1 2
ay22－bx22＝1 (a>0，b>0)
图形
范围
x≥ a 或 x≤ －a ∈R
，y x∈R，y≤－a 或 y≥a
对称性 性
顶点 质
渐近线
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
A1(－a,0)，A2(a,0) y＝±bax
A1(0，－a)，A2(0，a) y＝±abx
离心率
e＝ac，e∈
(1，＋∞) a2＋b2
，其中 c＝
实虚轴
线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段 B1B2 叫做 双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a 叫做双曲线的半实轴长，b 叫做双曲线的半虚轴长
a，b，c 的关系 c2＝ a2＋b2
(c＞a＞0，c＞b＞0)
【助学·微博】 一个复习指导 双曲线的定义、标准方程、离心率及范围、渐近线方程和 准线方程等知识是高考考查的重点，以填空题等形式考 查，主要考查双曲线的基本知识、基本性质以及双曲线中 各基本量的计算，属于中、低档题目． 两种方法 求双曲线方程的两种方法： (1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲 线定义，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方 程；
[优美解法] 设双曲线方程为27x－2 λ＋36y－2 λ＝1(27<λ<36)，由 于曲线过点( 15，4)，故271－5 λ＋361－6 λ＝1，解得λ1＝32，λ2 ＝0(舍去)．故所求双曲线方程为y42－x52＝1.
[反思] 求解双曲线的标准方程最常用的方法是定义法和待定 系数法．但本例可利用共焦点的曲线系方程求解，其要点是 根据题目中的一个条件写出含一个参数的共焦点的二次曲线 方程，再根据另外一个条件求出这个参数．
x2 m
－
m2y＋2 4＝1的离心率为 5，则m的值为________．
解析 由题意，双曲线的焦点在x轴上，所以e＝
m2＋m＋4＝ m
5，所以m＝2.
答案 2
考向一 双曲线定义的应用
【例1】►(1)(2012·全国)已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝2的 左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝ ( )．
b ·a
＝－1(－
b a
显然不符
合)，即b2＝ac，又c2－a2＝b2，所以c2－a2＝ac，两边同除
以a2，
整理得e2－e－1＝0，解得e＝ 52＋1(负值舍去)． 答案 (1)B (2)D
[方法锦囊] (1)求双曲线的离心率，就是求c与a的比值，一般 不需要具体求出a，c的值，只需列出关于a，b，c的方程或不 等式解决即可． (2)双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，二者 之间可以互求．
方程与几何性质的考查主要是：焦点、顶点、离心率、渐
近线方程等知识，均以选择题、填空题的形式出现，一般
不会在解答题中出现，难度中等偏下．
【真题探究】►
(2013·北京模拟)设双曲线与椭圆
x2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ7
＋
y2 36
＝1
有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为( 15 ，
4)，则此双曲线的标准方程是________．
2，由双曲线定义，得|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
[方法锦囊] 双曲线定义的应用 (1)判定动点与两定点距离差的轨迹是否为双曲线． (2)用于解决双曲线上的点与焦点距离有关的问题．在圆锥曲 线的问题中，充分应用定义来解决问题可以使解答过程简 化．
解析 由|3P|PFF1|1－|＝|P4F|P2|F＝2|2，， 可解得||PPFF12||＝ ＝86， . 又由|F1F2|＝10可得△PF1F2是直角三角形， 则S△PF1F2＝12|PF1|×|PF2|＝24.
6 B. 2 D. 3
解析 不妨设c＝1，则直线PQ：y＝bx＋b，两渐近线为y＝
b ±a
x，因此有交点P
－a＋a 1，a＋b 1
，Q
1－a a，1－b a
，设PQ
的中点为N，则点N的坐标为1－a2a2，1－b a2，因为线段PQ的
垂直平分线与x轴交于点M，|MF2|＝|F1F2|，所以点M的坐标
1
3
A.4
B.5
3
4
C.4
D.5
(2)(2012·辽宁)已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个
焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|
的值为________．
1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/182022/1/182022/1/181/18/2022 7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/182022/1/18January 18, 2022 8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/182022/1/182022/1/182022/1/18
经典考题训练
【试一试1】
(2011·湖南)设双曲线
x2 a2
－
y2 9
＝1(a＞0)的渐近线
方程为3x±2y＝0，则a的值为
( )．
A．4
B．3
C．2
D．1
解析
双曲线
x2 a2
－
y2 9
＝1的渐近线方程为3x±ay＝0与已知方
程比较系数得a＝2.
答案 C
解析 圆心的坐标是(3,0)，圆的半径是2，双曲线的渐近线 方程是bx±ay＝0，根据已知得 a32＋b b2＝2，即33b＝2，解得b ＝2，则a2＝5，故所求的双曲线方程是x52－y42＝1，故选A.
为(3,0)，因此有kMN＝11－－ab2aa22－－03＝－1b，
所以3－4a2＝b2＝1－a2，所以a2＝23，所以e＝
6 2.
答案 B
解析
与双曲线
x2 4
－
y2 16
＝1有共同渐近线的双曲线的方程可
设为
x2 4
－
y2 16
＝λ(λ>0)，即
x2 4λ
－
y2 16λ
＝1.由题意知c＝
5 ，则4λ
(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c 为常数且a>0，c>0；
①当 a<c 时，P点的轨迹是双曲线； ②当 a＝c 时，P点的轨迹是 两条射线 ； ③当 a>c 时，P点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
ax22－by22＝1 (a>0，b>0)
＝6－4＝2>1，∴|PF2|＝17. 答案 B
解析
设双曲线的标准方程为
x2 a2
－
y2 b2
＝1(a>0，b>0)，由PF1
的中点为(0,2)知，PF2⊥x轴，P(
5
，4)，即
b2 a
＝4，b2＝
4a，∴5－a2＝4a，a＝1，b＝2，∴双曲线方程为x2－y42＝1.
答案 B
5．(2012·江苏)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线
答案 A
【试一试3】
(2012·浙江)如图，F1，F2分别是双曲线C：
x2 a2
－
y2 b2
＝1(a，b>0)的左，右焦点，B是虚轴的端点，直线
F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂
直平分线与x轴交于点M.若|MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是 ( )．
23 A. 3 C. 2
1．(2011·安徽)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是
A．2
B．2 2
C．4
D．4 2
( )．
解析
将双曲线2x2－y2＝8化成标准方程
x2 4
－
y2 8
＝1，则a2＝
4，所以实轴长2a＝4.
答案 C
2．(2012·福建)已知双曲线
x2 a2
－
y2 5
＝1的右焦点为(3,0)，则该
双曲线的离心率等于
第6讲 双曲线
【2014年高考浙江会这样考】 1．考查利用双曲线的定义求动点的轨迹方程或某些最值问
题． 2．考查双曲线的离心率与渐近线问题．考查利用基本量求
双曲线的标准方程，考查双曲线的几何图形、几何性质．
考点梳理
1．双曲线的定义
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数 (小于|F1F2|)的点的轨迹叫做 双曲线．这两个定点叫双曲 线的 焦点 ，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
解析 如图，由l2⊥PF1，l2∥PF2，可得PF1⊥PF2，则|OP|
＝
1 2
|F1F2|＝c，设点P的坐标为
m，bam
，则
m2＋bam2 ＝
c a
m＝c，解得m＝a，即得点P的坐标为(a，b)，则由kPF2＝
a－b c＝－ba，可得2a＝c，即e＝ac＝2，故应选B.
答案 B
方法优化15 巧妙运用双曲线的标准方程及其性质 【命题研究】 通过近三年的高考试题分析，对双曲线的标准
D. 2
[审题视点] 设出双曲线的方程，由条件可以确定一个关于 a，b，c的关系式，结合c2－a2＝b2可解．
(2)设双曲线方程为
x2 a2
－
y2 b2
＝1(a>0，b>0)，不妨设一个焦点
为F(c,0)，虚轴端点为B(0，b)，则kFB＝－
b c
.又渐近线的斜率
为±ba
，所以由直线垂直关系得
－bc
( )．
3 14 A. 14
32 B. 4
3
4
C.2
D.3
解析 由双曲线的右焦点为(3,0)，知c＝3，即c2＝9，又∵c2
＝a2＋b2，∴9＝a2＋5，即a2＝4，a＝2.故所求离心率e＝
c a
＝32.
答案 C
解析 由双曲线定义||PF1|－|PF2||＝8，又|PF1|＝9，∴|PF2|＝ 1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c－a
答案 C
[审题视点] (2)中分别讨论双曲线的焦点在x轴上和y轴上，设 出相应的标准方程可解；也可根据渐近线方程的形式设出双 曲线的方程，再进行求解．
(2)设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直
线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心
率为
( )．
A. 2 3＋1
C. 2
B. 3 5＋1
抓住3个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
[审题视点] 结合双曲线的定义求解． 解析 (1)因为c2＝2＋2＝4，所以c＝2,2c＝|F1F2|＝4，由题 可知|PF1|－|PF2|＝2a＝2 2 ，|PF1|＝2|PF2|，所以|PF2|＝ 2 2 ，|PF1|＝4 2 ，由余弦定理可知，cos∠F1PF2＝ 4 22×24＋22×222－2 42＝34，故选C. (2)不妨设|PF1|>|PF2|.由双曲线方程x2－y2＝1知a＝b＝1，c＝