2016-2017学年广西钦州市钦州港区高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)

2016-2017学年广西钦州市钦州港区高二（下）期末数学试卷（文
科）
一、选择题
1．（3分）关于渐开线和摆线的叙述，正确的是（）
A．只有圆才有渐开线
B．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形
C．正方形也可以有渐开线
D．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同2．（3分）给出下列说法：
①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；
②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出
坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；
③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得
到不同的参数方程；
④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点．
其中正确的说法有（）
A．①③B．②④C．②③D．①③④
3．（3分）双曲线﹣＝1的渐近线与圆（x﹣3）2+y2＝r2（r＞0）相切，则r＝（）
A．B．2C．3D．6
4．（3分）方程|x|﹣1＝表示的曲线是（）
A．一条直线B．两条直线C．一个圆D．两个半圆5．（3分）设a，b∈R，a2+2b2＝6，则a+b的最小值是（）
A．﹣2B．﹣C．﹣3D．﹣
6．（3分）椭圆（θ为参数）的左焦点的坐标是（）
A．（﹣，0）B．（0，﹣）C．（﹣5，0）D．（﹣4，0）
7．（3分）点P（1，0）到曲线（其中参数t∈R）上的点的最短距离为（）
A．0B．1C．D．2
8．（3分）设直线l的参数方程为（t为参数），l上的点P1对应的参数为t1，则点
P1与点P（a，b）之间的距离是（）
A．|t1|B．2|t1|C．|t1|D．|t1|
9．（3分）若直线的参数方程为（t为参数），则直线的斜率为（）A．B．﹣C．2D．﹣2
10．（3分）若曲线（θ为参数），则点（x，y）的轨迹是（）
A．直线x+2y﹣2＝0
B．以（2，0）为端点的射线
C．圆（x﹣1）2+y2＝1
D．以（2，0）和（0，1）为端点的线段
11．（3分）直线系方程为x cosφ+y sinφ＝2，圆的参数方程为，（φ为参数），则直线与圆的位置关系为（）
A．相交不过圆心B．相交且经过圆心
C．相切D．相离
12．（3分）若直线y＝ax+b经过第二、三、四象限，则圆，（θ为参数）的圆心在（）
A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限
二、填空题
13．（3分）设F1是椭圆x2+＝1的下焦点，O为坐标原点，点P在椭圆上，则•的最大值为．
14．（3分）在极坐标系中，过点A（4，﹣）引圆ρ＝4sinθ的一条切线，则切线长为．15．（3分）若x2+y2＝4，则x﹣y的最大值是．
16．（3分）动点（2﹣cosθ，cos2θ）的轨迹的普通方程是．
三、解答题
17．设点M的直角坐标为（1，1，），求它的球坐标．
18．设地球的半径为R，在球坐标系中，点A的坐标为（R，45°，70°），点B的坐标为（R，45°，160°），求A、B两点的球面距离．
19．已知直线l是过点P（﹣1，2），方向向量为＝（﹣1，）的直线，圆方程ρ＝2cos （θ+）
（1）求直线l的参数方程
（2）设直线l与圆相交于M，N两点，求|PM|•|PN|的值．
20．经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测，并通过数据汇总，计算出一个航天器在某一时刻的位置，离地面2384千米，地球半径为6371千米，此时经度为80°，纬度为75°．试建立适当的坐标系，确定出此时航天器点P的坐标．
21．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为（1，﹣5），点M的极坐标为（4，）．若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心、4为半径．
（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）试判定直线l和圆C的位置关系．
22．已知实数x、y满足（x+1）2+（y﹣2）2＝16，求3x+4y的最值．
2016-2017学年广西钦州市钦州港区高二（下）期末数学
试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．【解答】解：不止圆有渐开线，椭圆、正方形等也有渐开线，故A错，C正确；
渐开线和摆线的定义是不一样的，得到了不同的图形，故B错；
对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状相同，故D错．故选：C．
2．【解答】解：对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择坐标系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，
相应的参数方程也会有所区别，
至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．
故选：C．
3．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，
圆心（3，0）到直线的距离d＝＝，
∴r＝．
故选：A．
4．【解答】解：∵|x|﹣1＝，∴x≥1或x≤﹣1
∴（|x|﹣1）2+（y﹣1）2＝1，
∴（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，x≥1或（x+1）2+（y﹣1）2＝1，x≤﹣1
故选：D．
5．【解答】解：因为a，b∈R，a2+2b2＝6
故可设．θ⊊R．
则：a+b＝，
再根据三角函数最值的求法可直接得到a+b的最小值是﹣3．
故选：C．
6．【解答】解：根据题意，椭圆的参数方程为：，
其普通方程为：+＝1，
其中a＝4，b＝3，
则c＝＝，
即该椭圆的左焦点坐标为（﹣，0）；
故选：A．
7．【解答】解：点P（1，0）到曲线（其中参数t∈R）上的点的距离：
∵t2+1≥1
故选：B．
8．【解答】解：∵l上的点P1对应的参数为t1，则P1（a+t1，b+t1），
∴|P 1P|＝＝＝．
故选：C．
9．【解答】解：∵直线的参数方程为（t为参数），消去参数化为普通方程可得y ＝﹣2x+4．
故直线的斜率等于﹣2．
故选：D．
10．【解答】解：∵曲线（θ为参数），
∴，（θ为参数），
消去参数θ，得：x＝2（1﹣y），即x+2y﹣2＝0，（0≤x≤2），
∴点（x，y）的轨迹是以（2，0）和（0，1）为端点的线段．
故选：D．
11．【解答】解：根据题意，圆的参数方程为，
则圆的普通方程为x2+y2＝4，圆心坐标为（0，0），半径为2，
圆心到直线x cosφ+y sinφ＝2的距离为d，
则d＝＝2，
则直线与圆相切；
故选：C．
12．【解答】解：根据题意，若直线y＝ax+b经过第二、三、四象限，
则有a＜0，b＜0，
而圆的参数方程为：，则其圆心的坐标为（a，b），
又由a＜0，b＜0，
则该圆的圆心在第三象限；
故选：B．
二、填空题
13．【解答】解：根据椭圆的标准方程知，设P（x，y），则：
＝＝
；
又﹣2≤y≤2；
∴y＝2时，取最大值4．
故答案为：4．
14．【解答】解：在极坐标系中，过点A（4，﹣），
在直角坐标系下，A（0，﹣4），
圆ρ＝4sinθ化为x2+y2﹣4y＝0，
如图：圆心（0，2），半径：2
切线长为：＝4，
故答案为：4．
15．【解答】解：令b＝x﹣y，则b是直线y＝x﹣b在y轴上的截距的相反数，∵该直线与圆x2+y2＝4有公共点，
∴当直线与圆相切于第四象限时，截距取到最小值，
∵，
∴b＝2或b＝﹣2（舍去），
∴b的最大值为2．
故答案为2．
16．【解答】解：∵动点（2﹣cosθ，cos2θ）
cos2θ＝2cos2θ﹣1，
∴，（θ是参数），
消去参数θ，得到动点（2﹣cosθ，cos2θ）的轨迹的普通方程是y＝2（x﹣2）2﹣1（1≤x ≤3）．
故答案为：y＝2（x﹣2）2﹣1（1≤x≤3）．
三、解答题
17．【解答】解：设M的球坐标为（r，φ，θ），其中r≥0，0≤φ≤π，0≤θ＜2π，则r＝OM＝＝2，
cosφ＝，∴φ＝．
又，∴θ＝．
∴M的球坐标为（2，，）．
18．【解答】解：如图所示，球坐标系中，点A的坐标为（R，45°，70°），点B的坐标为（R，45°，160°），
设纬度圈的半径为O′A＝r，
A、B两地对应点的经度差是160°﹣70°＝90°，
则|AB|＝r，OA＝OB＝r，
∴△AOB是等边三角形，球心角∠AOB＝；
∴A、B两地对应点的球面距离为l＝R．
19．【解答】解：（1）∵，∴直线的倾斜角α＝，∴直线的参数方程为，（t为参数）
即（t为参数）
（2）∵ρ＝2（cosθ﹣sinθ）＝cosθ﹣sinθ，
∴ρ2＝ρcosθ﹣ρsinθ，
∴x2+y2﹣x+y＝0，将直线的参数方程代入得t2+（2+3）t+6+2＝0，∴|t1t2|＝6+2．
20．【解答】解：在赤道平面上，选取地球球心O为极点，
以O为端点且与零子午线相交的射线Ox为极轴，建立球坐标系，如图．由已知航天器位于经度80°，可知θ＝80°，
由航天器位于纬度75°，可知φ＝90°﹣75°＝15°，
由航天器离地面2384千米，地球半径为6371千米，
可知r＝2384+6371＝8755千米．
∴点P的球坐标为（8755 km，15°，80°）．
21．【解答】解（I）直线l的参数方程为，（t为参数）
圆C的极坐标方程为ρ＝8sinθ．（6分）
（II）因为对应的直角坐标为（0，4）
直线l化为普通方程为
圆心到，
所以直线l与圆C相离．（10分）
22．【解答】解：∵实数x、y满足（x+1）2+（y﹣2）2＝16，∴，（θ是参数），
∴3x+4y＝﹣3+12cosθ+8+16sinθ＝20sin（θ+α）+5，（tanα＝），
当sin（θ+α）＝1时，3x+4y取得最大值25，
当sin（θ+α）＝﹣1时，3x+4y取得最小值﹣15，
∴3x+4y最大值为25，最小值为﹣15．。