吉林省长春市农安县2015届中考数学模拟试题(含解析)

吉林省长春市农安县2015届中考数学模拟试题
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．﹣3的绝对值是( )
A．3 B．﹣3 C．﹣D．
2．如图的几何体是由六个完全相同的正方体组成的，这个几何体的主视图是( )
A．B．C．D．
3．下列运算正确的是( )
A．a+a=a2B．（﹣a3）4=a7C．a3•a=a4D．a10÷a5=a2
4．不等式5x﹣1＞2x+5的解集在数轴上表示正确的是( )
A．B．C．
D．
5．如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B=30°，则∠C为( )
A．30° B．60° C．80° D．120°
6．如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=34°，则∠AEO的度数是( )
A．51° B．56° C．68° D．78°
7．如图，在▱ABCD中，E为AD的三等分点，AE=AD，连接BE交AC于点F，AC=12，则AF 为( )
A．4 B．4.8 C．5.2 D．6
8．如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax+4的解集为( )
A．x＜B．x＜3 C．x＞D．x＞3
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．2﹣=__________．
10．已知
…
依据上述规律
计算的结果为__________（写成一个分数的形式）
11．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD切⊙O于点D，连接AD．若∠A=25°，则∠C=__________度．
12．如图，▱ABCD的顶点B在矩形AEFC的边EF上，点B与点E、F不重合，若△ACD的面积为3，则图中阴影部分两个三角形的面积和为__________．
13．如图，已知点A在反比例函数图象上，AM⊥x轴于点M，且△AOM的面积为1，则反比例函数的解析式为__________．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直
线交抛物线y=于点B、C，则BC的长为__________．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．先化简，再求值：（﹣1）÷，其中a=+1，b=﹣1．
16．在一个不透明的箱子中装有3个小球，分别标有A，B，C．这3个小球除所标字母外，其它都相同．从箱子中随机地摸出一个小球，然后放回；再随机地摸出一个小球．请你用画树形图（或列表）的方法，求两次摸出的小球所标字不同的概率．
17．“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5000元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元．求第一批盒装花每盒的进价是多少元？
18．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，∠B=30°，∠DAB=45°．
（1）求∠DAC的度数；
（2）求证：DC=AB．
19．如图，岸边的点A处距水面的高度AB为2.17米，桥墩顶部点C距水面的高度CD为23.17
（结米．从点A处测得桥墩顶部点C的仰角为26°，求岸边的点A与桥墩顶部点C之间的距离．
果精确到0.1米）
参考数据：sin26°=0.44，cos26°=0.90，tan26°=0.49．
20．从全校1200名学生中随机选取一部分学生进行调查，调查情况：A、上网时间≤1小时；
B、1小时＜上网时间≤4小时；
C、4小时＜上网时间≤7小时；
D、上网时间＞7小时．统计结果制成了如图统计图：
（1）参加调查的学生有__________人；
（2）请将条形统计图补全；
（3）请估计全校上网不超过7小时的学生人数．
21．甲、乙两支清雪队同时开始清理某路段积雪，一段时间后，乙队被调往别处，甲队又用了3小时完成了剩余的清雪任务，已知甲队每小时的清雪量保持不变，乙队每小时清雪50吨，甲、乙两队在此路段的清雪总量y（吨）与清雪时间x（时）之间的函数图象如图所示．（1）乙队调离时，甲、乙两队已完成的清雪总量为__________吨；
（2）求此次任务的清雪总量m；
（3）求乙队调离后y与x之间的函数关系式．
22．感知：如图①，点E在正方形ABCD的边BC上，BF⊥AE于点F，DG⊥AE于点G，可知△ADG≌△BAF．（不要求证明）
拓展：如图②，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC，求证：△ABE≌△CAF．应用：如图③，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F 在线段AD上，∠1=∠2=∠BA C．若△ABC的面积为9，则△ABE与△CDF的面积之和为__________．
23．已知抛物线y=x2+1（如图所示）．
（1）填空：抛物线的顶点坐标是（__________，__________），对称轴是__________；（2）已知y轴上一点A（0，2），点P在抛物线上，过点P作PB⊥x轴，垂足为B．若△PAB 是等边三角形，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点M在直线AP上．在平面内是否存在点N，使四边形OAMN为菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
24．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=6cm，BD=8cm，动点P，Q分别从点B，D同时出发，运动速度均为1cm/s，点P沿B→C→D运动，到点D停止，点Q沿D→O→B 运动，到点O停止1s后继续运动，到点B停止，连接AP，AQ，PQ．设△APQ的面积为y（cm2）（这里规定：线段是面积0的几何图形），点P的运动时间为x（s）．
（1）填空：AB=__________cm，AB与CD之间的距离为__________cm；
（2）当4≤x≤10时，求y与x之间的函数解析式；
（3）直接写出在整个运动过程中，使PQ与菱形ABCD一边平行的所有x的值．
2015年吉林省长春市农安县中考数学模拟试卷
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．﹣3的绝对值是( )
A．3 B．﹣3 C．﹣D．
【考点】绝对值．
【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
【解答】解：﹣3的绝对值是3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了绝对值的定义，规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．如图的几何体是由六个完全相同的正方体组成的，这个几何体的主视图是( )
A．B．C．D．
【考点】简单组合体的三视图．
【专题】常规题型．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【解答】解：从正面看易得第一层有2个正方形，第二层有3个正方形．
故选：A．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3．下列运算正确的是( )
A．a+a=a2B．（﹣a3）4=a7C．a3•a=a4D．a10÷a5=a2
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【专题】计算题．
【分析】根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方的知识求解即可求得答案．
【解答】解：A、a+a=2a，故A选项错误；
B、（﹣a3）4=a12，故B选项错误；
C、a3•a=a4，故C选项正确；
D、a10÷a5=a5，故D选项错误．
故选：C．
【点评】此题考查了合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方等知识，解题的关键是熟记法则．
4．不等式5x﹣1＞2x+5的解集在数轴上表示正确的是( )
A．B．C．
D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．
【专题】存在型．
【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解答】解：移项得，5x﹣2x＞5+1，
合并同类项得，3x＞6，
系数化为1得，x＞2，
在数轴上表示为：
故选A．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
5．如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B=30°，则∠C为( )
A．30° B．60° C．80° D．120°
【考点】平行线的性质；角平分线的性质．
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠EAD=∠B，再根据角平分线的定义求出∠EAC，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】解：∵AD∥B C，∠B=30°，
∴∠EAD=∠B=30°，
∵AD是∠EAC的平分线，
∴∠EAC=2∠EAD=2×30°=60°，
∴∠C=∠EAC﹣∠B=60°﹣30°=30°．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
6．如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=34°，则∠AEO的度数是( )
A．51° B．56° C．68° D．78°
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】数形结合．
【分析】由==，可求得∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，继而可求得∠AOE的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数．
【解答】解：如图，∵==，∠COD=34°，
∴∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，
∴∠AOE=180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC=78°．
又∵OA=OE，
∴∠AEO=∠OAE，
∴∠AEO=×（180°﹣78°）=51°．
故选：A．
【点评】此题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
7．如图，在▱ABCD中，E为AD的三等分点，AE=AD，连接BE交AC于点F，AC=12，则AF 为( )
A．4 B．4.8 C．5.2 D．6
【考点】平行线分线段成比例；平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形的对边相等可得AD=BC，然后求出AE=AD=BC，再根据平行线分线段成比例定理求出AF、FC的比，然后求解即可．
【解答】解：在▱ABCD中，AD=BC，AD∥BC，
∵E为AD的三等分点，
∴AE=AD=BC，
∵AD∥BC，
∴==，
∵AC=12，
∴AF=×12=4.8．
故选B．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的对边平行且相等的性质，熟记定理并求出AF、FC的比是解题的关键．
8．如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax+4的解集为( )
A．x＜B．x＜3 C．x＞D．x＞3
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【分析】先根据函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），求出m的值，从而得出点A 的坐标，再根据函数的图象即可得出不等式2x＜ax+4的解集．
【解答】解：∵函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），
∴3=2m，
m=，
∴点A的坐标是（，3），
∴不等式2x＜ax+4的解集为x＜；
故选A．
【点评】此题考查的是用图象法来解不等式，充分理解一次函数与不等式的联系是解决问题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．2﹣=3．
【考点】二次根式的加减法．
【分析】先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可．
【解答】解：原式=4﹣
=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．
10．已知
…
依据上述规律
计算的结果为（写成一个分数的形式）
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】压轴题．
【分析】根据已知得出原式=×[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]进而求出即可．
【解答】解：∵
…
∴
=×[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]
=×（1﹣）
=．
【点评】此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出数字中的变与不变是解题关键．
11．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD切⊙O于点D，连接AD．若∠A=25°，则∠C=40度．
【考点】切线的性质；圆周角定理．
【专题】计算题．
【分析】连接OD，由CD为圆O的切线，利用切线的性质得到OD垂直于CD，根据OA=OD，
利用等边对等角得到∠A=∠ODA，求出∠ODA的度数，再由∠COD为△AOD外角，求出∠COD 度数，即可确定出∠C的度数．
【解答】解：连接OD，
∵CD与圆O相切，
∴OD⊥DC，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA=25°，
∵∠COD为△AOD的外角，
∴∠COD=50°，
∴∠C=90°﹣50°=40°．
故答案为：40
【点评】此题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，以及外角性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
12．如图，▱ABCD的顶点B在矩形AEFC的边EF上，点B与点E、F不重合，若△ACD的面积为3，则图中阴影部分两个三角形的面积和为3．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】根据平行四边形的性质求出AD=BC，DC=AB，证△ADC≌△CBA，推出△ABC的面积是3，求出AC×AE=6，即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，DC=AB，
∵在△ADC和△CBA中
，
∴△ADC≌△CBA，
∵△ACD的面积为3，
∴△ABC的面积是3，
即AC×AE=3，
AC×AE=6，
∴阴影部分的面积是6﹣3=3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了矩形性质，平行四边形性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用面积公式进行计算的能力，题型较好，难度适中．
13．如图，已知点A在反比例函数图象上，AM⊥x轴于点M，且△AOM的面积为1，则反比例
函数的解析式为y=﹣．
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三
角形面积S是个定值，即S=|k|．
【解答】解：由于A是图象上任意一点，则S△AOM=|k|=1，
又反比例函数的图象在二、四象限，k＜0，则k=﹣2．
所以这个反比例函数的解析式是y=﹣．
故答案为：y=﹣．
【点评】主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，
所得三角形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直
线交抛物线y=于点B、C，则BC的长为6．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】压轴题．
【分析】先由y轴上点的横坐标为0求出A点坐标为（0，3），再将y=3代入y=，求出
x的值，得出B、C两点的坐标，进而求出BC的长度．
【解答】解：∵抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，
∴A点坐标为（0，3）．
当y=3时，=3，
解得x=±3，
∴B点坐标为（﹣3，3），C点坐标为（3，3），
∴BC=3﹣（﹣3）=6．
故答案为6．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，两函数交点坐标的求法，平行于x轴上的两点之间的距离，比较简单．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．先化简，再求值：（﹣1）÷，其中a=+1，b=﹣1．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a，b的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式=×
=a+b，
当a=+1，b=﹣1时，原式=+1+﹣1=2．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
16．在一个不透明的箱子中装有3个小球，分别标有A，B，C．这3个小球除所标字母外，其它都相同．从箱子中随机地摸出一个小球，然后放回；再随机地摸出一个小球．请你用画树形图（或列表）的方法，求两次摸出的小球所标字不同的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】依据题意画树状图法分析所有可能的出现结果即可解答．
【解答】解：如图所示：
P（两次摸出的小球所标字母不同）==．
【点评】此题主要考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17．“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，上市后很快售
完，接着又用5000元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元．求第一批盒装花每盒的进价是多少元？【考点】分式方程的应用．
【专题】应用题．
【分析】设第一批盒装花的进价是x元/盒，则第一批进的数量是：，第二批进的数量
是：，再根据等量关系：第二批进的数量=第一批进的数量×2可得方程．
【解答】解：设第一批盒装花的进价是x元/盒，则
2×=，
解得 x=30
经检验，x=30是原方程的根．
答：第一批盒装花每盒的进价是30元．
【点评】本题考查了分式方程的应用．注意，分式方程需要验根，这是易错的地方．
18．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，∠B=30°，∠DAB=45°．
（1）求∠DAC的度数；
（2）求证：DC=AB．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】计算题．
【分析】（1）由AB=AC，根据等腰三角形的两底角相等得到∠B=∠C=30°，再根据三角形的内角和定理可计算出∠BAC=120°，而∠DAB=45°，则∠DAC=∠BAC﹣∠DAB=120°﹣45°；（2）根据三角形外角性质得到∠ADC=∠B+∠DAB=75°，而由（1）得到∠DAC=75°，再根据等腰三角形的判定可得DC=AC，这样即可得到结论．
【解答】（1）解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
∵∠C+∠BAC+∠B=180°，
∴∠BAC=180°﹣30°﹣30°=120°，
∵∠DAB=45°，
∴∠DAC=∠BAC﹣∠DAB=120°﹣45°=75°；
（2）证明：∵∠DAB=45°，
∴∠ADC=∠B+∠DAB=75°，
∴∠DAC=∠ADC，
∴DC=AC，
∴DC=AB．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定定理：等腰三角形的两底角相等；有两个角相
等的三角形为等腰三角形．也考查了三角形的内角和定理．
19．如图，岸边的点A处距水面的高度AB为2.17米，桥墩顶部点C距水面的高度CD为23.17米．从点A处测得桥墩顶部点C的仰角为26°，求岸边的点A与桥墩顶部点C之间的距离．（结果精确到0.1米）
参考数据：sin26°=0.44，cos26°=0.90，tan26°=0.49．
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【专题】应用题；函数及其图像．
【分析】由CD﹣DE求出CE的长，在直角三角形CAE中，利用锐角三角函数定义求出AC的长即可．
【解答】解：由题意知，DE=AB=2.17（米），
则CE=CD﹣DE=12.17﹣2.17=10（米）
在Rt△CAE中，∠CAE=26°，sin∠CAE=，
则AC===≈22.7（米）．
答：岸边的点A与桥墩顶部点C之间的距离约为22.7米．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．从全校1200名学生中随机选取一部分学生进行调查，调查情况：A、上网时间≤1小时；
B、1小时＜上网时间≤4小时；
C、4小时＜上网时间≤7小时；
D、上网时间＞7小时．统计结果制成了如图统计图：
（1）参加调查的学生有200人；
（2）请将条形统计图补全；
（3）请估计全校上网不超过7小时的学生人数．
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【专题】图表型．
【分析】（1）用A的人数除以所占的百分比求出总人数；
（2）用总人数减去A、B、D的人数，再画出即可；
（3）用总人数乘以全校上网不超过7小时的学生人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）参加调查的学生有20÷=200（人）；
故答案为：200；
（2）C的人数是：200﹣20﹣80﹣40=60（人），补图如下：
（3）根据题意得：
1200×=960（人），
答：全校上网不超过7小时的学生人数是960人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．甲、乙两支清雪队同时开始清理某路段积雪，一段时间后，乙队被调往别处，甲队又用了3小时完成了剩余的清雪任务，已知甲队每小时的清雪量保持不变，乙队每小时清雪50吨，甲、乙两队在此路段的清雪总量y（吨）与清雪时间x（时）之间的函数图象如图所示．（1）乙队调离时，甲、乙两队已完成的清雪总量为270吨；
（2）求此次任务的清雪总量m；
（3）求乙队调离后y与x之间的函数关系式．
【考点】一次函数的应用．
【专题】数形结合．
【分析】（1）由函数图象可以看出乙队调离时，甲、乙两队已完成的清雪总量为 270吨；（2）先求出甲队每小时的清雪量，再求出m．
（3）设乙队调离后y与x之间的函数关系式为：y=kx+b，把A，B两点代入求出函数关系式．【解答】解：（1）由函数图象可以看出乙队调离时，甲、乙两队已完成的清雪总量为270吨；
故答案为：270．
（2）乙队调离前，甲、乙两队每小时的清雪总量为=90吨；
∵乙队每小时清雪50吨，
∴甲队每小时的清雪量为：90﹣50=40吨，
∴m=270+40×3=390吨，
∴此次任务的清雪总量为390吨．
（3）由（2）可知点B的坐标为（6，390），设乙队调离后y与x之间的函数关系式为：y=kx+b （k≠0），
∵图象经过点A（3，270），B（6，390），
∴
解得
∴乙队调离后y与x之间的函数关系式：y=40x+150．
【点评】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是甲队每小时的清雪量．
22．感知：如图①，点E在正方形ABCD的边BC上，BF⊥AE于点F，DG⊥AE于点G，可知△ADG≌△BAF．（不要求证明）
拓展：如图②，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC，求证：△ABE≌△CAF．应用：如图③，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F 在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为9，则△ABE与△CDF的面积之和为6．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；正方形的性质．
【专题】压轴题．
【分析】拓展：利用∠1=∠2=∠BAC，利用三角形外角性质得出∠4=∠ABE，进而利用AAS 证明△ABE≌△CAF；
应用：首先根据△ABD与△ADC等高，底边比值为：1：2，得出△ABD与△ADC面积比为：1：2，再证明△ABE≌△CAF，即可得出△ABE与△CDF的面积之和为△ADC的面积得出答案即可．【解答】拓展：
证明：∵∠1=∠2，
∴∠BEA=∠AFC，
∵∠1=∠ABE+∠3，∠3+∠4=∠BAC，∠1=∠BAC，
∴∠BAC=∠ABE+∠3，
∴∠4=∠ABE，
∴，
∴△ABE≌△CAF（AAS）．
应用：
解：∵在等腰三角形ABC中，AB=AC，CD=2BD，
∴△ABD与△ADC等高，底边比值为：1：2，
∴△ABD与△ADC面积比为：1：2，
∵△ABC的面积为9，
∴△ABD与△ADC面积分别为：3，6；
∵∠1=∠2，
∴∠BEA=∠AFC，
∵∠1=∠ABE+∠3，∠3+∠4=∠BAC，∠1=∠BAC，
∴∠BAC=∠ABE+∠3，
∴∠4=∠ABE，
∴，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴△ABE与△CAF面积相等，
∴△ABE与△CDF的面积之和为△ADC的面积，
∴△ABE与△CDF的面积之和为6，
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了三角形全等的判定与性质以及三角形面积求法，根据已知得出
∠4=∠ABE，以及△ABD与△ADC面积比为：1：2是解题关键．
23．已知抛物线y=x2+1（如图所示）．
（1）填空：抛物线的顶点坐标是（0，1），对称轴是x=0（或y轴）；
（2）已知y轴上一点A（0，2），点P在抛物线上，过点P作PB⊥x轴，垂足为B．若△PAB 是等边三角形，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点M在直线AP上．在平面内是否存在点N，使四边形OAMN为菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】压轴题．
【分析】（1）根据函数的解析式直接写出其顶点坐标和对称轴即可；
（2）根据等边三角形的性质求得PB=4，将PB=4代入函数的解析式后求得x的值即可作为P 点的横坐标，代入解析式即可求得P点的纵坐标；
（3）首先求得直线AP的解析式，然后设出点M的坐标，利用勾股定理表示出有关AP的长即可得到有关M点的横坐标的方程，求得M的横坐标后即可求得其纵坐标，
【解答】解：（1）顶点坐标是（0，1），对称轴是y轴（或x=O）．
（2）∵△PAB是等边三角形，
∴∠ABO=90°﹣60°=30°．
∴AB=20A=4．
∴PB=4．
解法一：把y=4代入y=x2+1，
得x=±2．
∴P1（2，4），P2（﹣2，4）．
解法二：∴OB==2
∴P1（2，4）．
根据抛物线的对称性，得P2（﹣2，4）．
（3）∵点A的坐标为（0，2），点P的坐标为（2，4）
∴设线段AP所在直线的解析式为y=kx+b
∴
解得：
∴解析式为：y=x+2
设存在点N使得OAMN是菱形，
∵点M在直线AP上，
∴设点M的坐标为：（m，m+2）
如图，作MQ⊥y轴于点Q，则MQ=m，AQ=OQ﹣OA=m+2﹣2=m
∵四边形OAMN为菱形，
∴AM=AO=2，
∴在直角三角形AMQ中，AQ2+MQ2=AM2，
即：m2+（m）2=22解得：m=±
代入直线AP的解析式求得y=3或1，
当P点在抛物线的右支上时，分为两种情况：
当N在右图1位置时，
∵OA=MN，
∴MN=2，
又∵M点坐标为（，3），
∴N点坐标为（，1），即N1坐标为（，1）．
当N在右图2位置时，
∵MN=OA=2，M点坐标为（﹣，1），
∴N点坐标为（﹣，﹣1），即N2坐标为（﹣，﹣1）．
当P点在抛物线的左支上时，分为两种情况：
第一种是当点M在线段PA上时（PA内部）我们求出N点坐标为（﹣，1）；
第二种是当M点在PA的延长线上时（在第一象限）我们求出N点坐标为（，﹣1）
∴存在N1（，1），N2（﹣，﹣1）N3（﹣，1），N4（，﹣1）使得四边形OAMN是菱形．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是仔细读题，并能正确的将点的坐标转化为线段的长，本题中所涉及的存在型问题更是近几年中考的热点问题．
24．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=6cm，BD=8cm，动点P，Q分别从点B，D同时出发，运动速度均为1cm/s，点P沿B→C→D运动，到点D停止，点Q沿D→O→B 运动，到点O停止1s后继续运动，到点B停止，连接AP，AQ，PQ．设△APQ的面积为y（cm2）（这里规定：线段是面积0的几何图形），点P的运动时间为x（s）．
（1）填空：AB=5cm，AB与CD之间的距离为cm；
（2）当4≤x≤10时，求y与x之间的函数解析式；
（3）直接写出在整个运动过程中，使PQ与菱形ABCD一边平行的所有x的值．
【考点】四边形综合题；勾股定理；菱形的性质；相似图形．
【专题】几何综合题；压轴题；分类讨论．
【分析】（1）根据勾股定理即可求得AB，根据面积公式求得AB与CD之间的距离．（2）当4≤x≤10时，运动过程分为三个阶段，需要分类讨论，避免漏解：
①当4≤x≤5时，如答图1﹣1所示，此时点Q与点O重合，点P在线段BC上；
②当5＜x≤9时，如答图1﹣2所示，此时点Q在线段OB上，点P在线段CD上；
③当9＜x≤10时，如答图1﹣3所示，此时点Q与点B重合，点P在线段CD上．（3）有两种情形，需要分类讨论，分别计算：
①若PQ∥CD，如答图2﹣1所示；
②若PQ∥BC，如答图2﹣2所示．
【解答】解：（1）∵菱形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，
∴AC⊥BD，
∴AB===5，
设AB与CD间的距离为h，
∴△ABC的面积S=AB•h，
又∵△ABC的面积S=S菱形ABCD=×AC•BD=×6×8=12，
∴AB•h=12，
∴h==．
（2）设∠CBD=∠CDB=θ，则易得：sinθ=，cosθ=．
①当4≤x≤5时，如答图1﹣1所示，此时点Q与点O重合，点P在线段BC上．
∵PB=x，
∴PC=BC﹣PB=5﹣x．
过点P作PH⊥AC于点H，则PH=PC•cosθ=（5﹣x）．
∴y=S△APQ=QA•PH=×3×（5﹣x）=﹣x+6；
②当5＜x≤9时，如答图1﹣2所示，此时点Q在线段OB上，点P在线段CD上．PC=x﹣5，PD=CD﹣PC=5﹣（x﹣5）=10﹣x．
过点P作PH⊥BD于点H，则PH=PD•sinθ=（10﹣x）．
∴y=S△APQ=S菱形ABCD﹣S△ABQ﹣S四边形BCPQ﹣S△APD
=S菱形ABCD﹣S△ABQ﹣（S△BCD﹣S△PQD）﹣S△APD
=AC•BD﹣BQ•OA﹣（BD•OC﹣QD•PH）﹣PD×h
=×6×8﹣（9﹣x）×3﹣[×8×3﹣（x﹣1）•（10﹣x）]﹣（10﹣x）×=﹣x2+x﹣；
③当9＜x≤10时，如答图1﹣3所示，此时点Q与点B重合，点P在线段CD上．
y=S△APQ=AB×h=×5×=12．
综上所述，当4≤x≤10时，y与x之间的函数解析式为：
y=．
（3）有两种情况：
①若PQ∥CD，如答图2﹣1所示．
此时BP=QD=x，则BQ=8﹣x．
∵PQ∥CD，
∴，
即，
∴x=；
②若PQ∥BC，如答图2﹣2所示．
此时PD=10﹣x，QD=x﹣1．
∵PQ∥BC，
∴，
即，
∴x=．
综上所述，满足条件的x的值为或．
【点评】本题是运动型综合题，考查了菱形的性质、勾股定理、图形面积、相似等多个知识点，重点考查了分类讨论的数学思想．本题第（2）（3）问均需分类讨论，这是解题的难点；另外，试题计算量较大，注意认真计算．。