青海师大附中九年级数学上学期期中试题(含解析) 新人教版

青海师大附中2016届九年级数学上学期期中试题
一、精心选一选，慧眼识金！（每小题3分，共30分）
1．下面四个汽车标志图案中是中心对称图形的是( )
A．B． C．D．
2．将一元二次方程x2﹣2x﹣2=0配方后所得的方程是( )
A．（x﹣2）2=2 B．（x﹣1）2=2 C．（x﹣1）2=3 D．（x﹣2）2=3
3．把抛物线y=（x+1）2向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是( ) A．y=（x+2）2+2 B．y=（x+2）2﹣2 C．y=x2+2 D．y=x2﹣2
4．已知抛物线y=x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c等于( )
A．4 B．8 C．﹣4 D．16
5．在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是( )
A．B．C．
D．
6．如图，A、B、C是⊙O上的三点，且∠ABC=70°，则∠AOC的度数是( )
A．35° B．140°C．70° D．70°或140°
7．如图，⊙O的直径AB=8，点C在⊙O上，∠AB C=30°，则AC的长是( )
A．2 B．2 C．2 D．4
8．如图，在△ABC中，AB=BC=2，以AB为直径的⊙O与BC相切于点B，则AC等于( )
A．B．C．2 D．2
9．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，点C是劣弧AB上的一个动点，若∠P=40°，则∠ACB的度数是( )
A．80° B．110°C．120°D．140°
10．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：
①abc＜0；
②2a﹣b=0；
③4a+2b+c＜0；
④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．
其中说法正确的是( )
A．①② B．②③ C．①②④D．②③④
二、耐心填一填，一锤定音！（每小题3分，共24分）
11．抛物线y=﹣（x+1）2+3的顶点坐标是__________．
12．已知圆锥的底面半径为1cm，母线长为3cm，则其全面积为__________cm2．
13．点A（3，n）关于原点的对称点是B（﹣m，5），则m+n=__________．
14．关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m=0的一个根为1，则方程的另一根为__________．15．方程x2=x的根是__________．
16．已知函数y=﹣x2+2x+c图象经过点（1，﹣2），当__________时，y随x的增大而减小．
17．如图所示，一个农户用24m长的篱笆围成一排一面靠墙、大小相等且彼此相连的三个矩形鸡舍，要使三个鸡舍的总面积为36m2．如果设每个鸡舍的长为x m，根据题意列出的方程是__________．
18．如图，P是等腰Rt△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，已知
∠AP′B=135°，P′A：P′C=1：，则P′A：PB=__________．
三、用心做一做，马到成功！（共46分）
19．（16分）解方程：
（1）2x2+1=3x；
（2）3x2﹣6x+4=0；
（3）x2﹣4x+4=0；
（4）x（x﹣2）=2﹣x．
20．用一条长为40cm的绳子怎样围成一个面积为75cm2的长方形？能否围成一个面积为101cm2的长方形吗？如能，说明围法；如不能，说明理由．
21．在如图所示的直角坐标系中，解答下列问题：
（1）分别写出A、B两点的坐标；
（2）将△ABC绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的△AB1C1．
22．如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P=∠BAC．（1）求证：PA为⊙O的切线；
（2）若OB=5，OP=，求AC的长．
23．已知抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（4，0），B（1，3）．
（1）求该抛物线的解析式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）设抛物线的顶点坐标是C，求△ABC的面积．
2015-2016学年青海师大附中九年级（上）期中数学试卷
一、精心选一选，慧眼识金！（每小题3分，共30分）
1．下面四个汽车标志图案中是中心对称图形的是( )
A．B． C．D．
【考点】中心对称图形．
【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此结合各图形的特点求解．【解答】解：根据中心对称的定义可得：A、C、D都不符合中心对称的定义．
故选B．
【点评】本题考查中心对称的定义，属于基础题，注意掌握基本概念．
2．将一元二次方程x2﹣2x﹣2=0配方后所得的方程是( )
A．（x﹣2）2=2 B．（x﹣1）2=2 C．（x﹣1）2=3 D．（x﹣2）2=3
【考点】解一元二次方程-配方法．
【专题】压轴题．
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣2=0
∴x2﹣2x=2
∴x2﹣2x+1=2+1
∴（x﹣1）2=3
故选C．
【点评】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
3．把抛物线y=（x+1）2向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是( ) A．y=（x+2）2+2 B．y=（x+2）2﹣2 C．y=x2+2 D．y=x2﹣2
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】先写出平移前的抛物线的顶点坐标，然后根据向下平移纵坐标减，向右平移横坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可．
【解答】解：抛物线y=（x+1）2的顶点坐标为（﹣1，0），
∵向下平移2个单位，
∴纵坐标变为﹣2，
∵向右平移1个单位，
∴横坐标变为﹣1+1=0，
∴平移后的抛物线顶点坐标为（0，﹣2），
∴所得到的抛物线是y=x2﹣2．
故选D．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数图象的变化求解更加简便，且容易理解．
4．已知抛物线y=x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c等于( )
A．4 B．8 C．﹣4 D．16
【考点】待定系数法求二次函数解析式．
【分析】顶点在x轴上，所以顶点的纵坐标是0．据此作答．
【解答】解：根据题意，得=0，
解得c=16．
故选D．
【点评】本题考查求抛物线顶点纵坐标的公式，比较简单．
5．在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是( )
A．B．C．
D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【专题】代数综合题．
【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的图象所经过的象限的问题，关键是m的正负的确定，对于二次函数y=ax2+bx+c，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．对称轴为
x=，与y轴的交点坐标为（0，c）．
【解答】解：解法一：逐项分析
A、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，即函数y=﹣mx2+2x+2开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误；
B、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，对称轴为x===＜0，则对称轴应在y
轴左侧，与图象不符，故B选项错误；
C、由函数y=mx+m的图象可知m＞0，即函数y=﹣mx2+2x+2开口方向朝下，与图象不符，故
C选项错误；
D、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，即函数y=﹣mx2+2x+2开口方向朝上，对称轴为x===＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象相符，故D选项正确；
解法二：系统分析
当二次函数开口向下时，﹣m＜0，m＞0，
一次函数图象过一、二、三象限．
当二次函数开口向上时，﹣m＞0，m＜0，
对称轴x=＜0，
这时二次函数图象的对称轴在y轴左侧，
一次函数图象过二、三、四象限．
故选：D．
【点评】主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题．
6．如图，A、B、C是⊙O上的三点，且∠ABC=70°，则∠AOC的度数是( )
A．35° B．140°C．70° D．70°或140°
【考点】圆周角定理．
【分析】由A、B、C是⊙O上的三点，且∠ABC=70°，利用圆周角定理，即可求得答案．【解答】解：∵A、B、C是⊙O上的三点，且∠ABC=70°，
∴∠AOC=2∠ABC=2×70°=140°．
故选B．
【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
7．如图，⊙O的直径AB=8，点C在⊙O上，∠ABC=30°，则AC的长是( )
A．2 B．2 C．2 D．4
【考点】圆周角定理；含30度角的直角三角形．
【分析】根据圆周角定理得出∠ACB=90°，进而利用直角三角形中30°所对直角边等于斜边一半，求出即可．
【解答】解：∵直径AB=8，
∠ACB=90°，
∵点C在⊙O上，∠ABC=30°，
∴AC=AB=4，
故选D．
【点评】此题主要考查了圆周角定理和含有30°角的直角三角形的性质，根据已知得出AC=AB是解题关键．
8．如图，在△ABC中，AB=BC=2，以AB为直径的⊙O与BC相切于点B，则AC等于( )
A．B．C．2 D．2
【考点】切线的性质；等腰三角形的性质．
【分析】首先由切线的性质判定△ABC是直角三角形，进而可根据勾股定理求出AC的长．【解答】解：∵BC是⊙O的切线，且切点为B，
∴∠ABC=90°，
故△ABC是等腰直角三角形；
由勾股定理，得：AC===2；故选C．
【点评】此题主要考查的是切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的应用．
9．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，点C是劣弧AB上的一个动点，若∠P=40°，则∠ACB的度数是( )
A．80° B．110°C．120°D．140°
【考点】切线的性质；圆周角定理．
【专题】计算题．
【分析】连接OA，OB，在优弧AB上任取一点D（不与A、B重合），连接BD，AD，如图所示，由PA与PB都为圆O的切线，利用切线的性质得到OA与AP垂直，OB与BP垂直，在四边形
APBO中，根据四边形的内角和求出∠AOB的度数，再利用同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半求出∠ADB的度数，再根据圆内接四边形的对角互补即可求出∠ACB的度数．
【解答】解：连接OA，OB，在优弧AB上任取一点D（不与A、B重合），
连接BD，AD，如图所示：
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠OAP=∠OBP=90°，又∠P=40°，
∴∠A OB=360°﹣（∠OAP+∠OBP+∠P）=140°，
∵圆周角∠ADB与圆心角∠A OB都对弧AB，
∴∠ADB=∠AOB=70°，
又四边形ACBD为圆内接四边形，
∴∠ADB+∠ACB=180°，
则∠ACB=110°．
故选：B．
【点评】此题考查了切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，以及四边形的内角和，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
10．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：
①abc＜0；
②2a﹣b=0；
③4a+2b+c＜0；
④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．
其中说法正确的是( )
A．①② B．②③ C．①②④D．②③④
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】压轴题．
【分析】根据图象得出a＞0，b=2a＞0，c＜0，即可判断①②；把x=2代入抛物线的解析式
即可判断③，求出点（﹣5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1），根据当x＞﹣1时，y随x的增大而增大即可判断④．
【解答】解：∵二次函数的图象的开口向上，
∴a＞0，
∵二次函数的图象y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0，
∵二次函数图象的对称轴是直线x=﹣1，
∴﹣=﹣1，
∴b=2a＞0，
∴abc＜0，∴①正确；
2a﹣b=2a﹣2a=0，∴②正确；
∵二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．
∴与x轴的另一个交点的坐标是（1，0），
∴把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c＞0，∴③错误；
∵二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=﹣1，
∴点（﹣5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1），
根据当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
∵＜3，
∴y2＜y1，∴④正确；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用，题目比较典型，主要考查学生的理解能力和辨析能力．
二、耐心填一填，一锤定音！（每小题3分，共24分）
11．抛物线y=﹣（x+1）2+3的顶点坐标是（﹣1，3）．
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据y=a（x﹣h）2+k的顶点是（h，k），可得答案．
【解答】解：y=﹣（x+1）2+3的顶点坐标是（﹣1，3），
故答案为：（﹣1，3）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟记顶点式二次函数解析式是解题关键．
12．已知圆锥的底面半径为1cm，母线长为3cm，则其全面积为4πcm2．
【考点】圆锥的计算．
【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．
【解答】解：底面圆的半径为1cm，
则底面周长=2πcm，底面积是πcm2．
侧面面积=×2π×3=3πcm2．
则全面积=3π+π=4πcm2．
【点评】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．
13．点A（3，n）关于原点的对称点是B（﹣m，5），则m+n=﹣2．
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得m、n的值，进而可得m+n 的值．
【解答】解：∵点A（3，n）关于原点对称的点的坐标是B（﹣m，5），
∴m=3，n=﹣5，
∴m+n=﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
14．关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m=0的一个根为1，则方程的另一根为﹣2．
【考点】根与系数的关系．
【分析】将该方程的已知根1代入两根之积公式和两根之和公式列出方程组，解方程组即可求出另一根的值．
【解答】解：设方程的另一根为x1，又∵x=1，
则，解方程组可得．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，列方程组时要注意各系数的正负，避免出错．
15．方程x2=x的根是x1=0，x2=1．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【专题】计算题．
【分析】先把方程化为一般式，再把方程左边因式分解得x（x﹣1）=0，方程就可转化为两个一元一次方程x=0或x﹣1=0，然后解一元一次方程即可．
【解答】解：x2﹣x=0，
x（x﹣1）=0，
∴x=0或x﹣1=0，
∴x1=0，x2=1．
故答案为x1=0，x2=1．
【点评】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程ax2+bx+c=0的方法：先把方程化为一般式，再把方程左边因式分解，然后把方程转化为两个一元一次方程，最后解一元一次方程即可．
16．已知函数y=﹣x2+2x+c图象经过点（1，﹣2），当x＞1时，y随x的增大而减小．【考点】二次函数的性质．
【分析】根据当a＜0时，在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，可得答案．
【解答】解：y=﹣x2+2x+c的a=﹣1＜0，对称轴x=﹣=1，
当x＞1时，y随x的增大而减小，
故答案为：x＞1．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），当a＞0时，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大；当a＜0时，在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小．
17．如图所示，一个农户用24m长的篱笆围成一排一面靠墙、大小相等且彼此相连的三个矩形鸡舍，要使三个鸡舍的总面积为36m2．如果设每个鸡舍的长为x m，根据题意列出的方程是（24﹣4x）•x=36．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】几何图形问题．
【分析】设每个鸡舍的长为xm，然后用含x的代数式表示矩形的宽，进而根据三个鸡舍的总面积为36m2列出方程．
【解答】解：设每个鸡舍的长为xm，则：
（24﹣4x）•x=36，
故答案为（24﹣4x）•x=36．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，用含x的代数式表示出矩形的宽是解题的关键．
18．如图，P是等腰Rt△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B=135°，P′A：P′C=1：，则P′A：PB=1：1．
【考点】旋转的性质．
【分析】连接AP，根据同角的余角相等可得∠ABP=∠CBP′，然后利用“边角边”证明△ABP 和△CBP′全等，根据全等三角形对应边相等可得AP=CP′，连接PP′，根据旋转的性质可得△PBP′是等腰直角三角形，然后求出∠AP′P是直角，再利用勾股定理用AP′表示出
PP′，又等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍，代入整理即可得解．
【解答】解：如图，连接AP，∵BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，
∴BP=BP′，∠ABP+∠ABP′=90°，
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，∠CBP′+∠ABP′=90°，
∴∠ABP=∠CBP′，
在△ABP和△CBP′中，
∵，
∴△ABP≌△CBP′（SAS），
∴AP=P′C，
∵P′A：P′C=1：，
∴AP=P′A，
∴连接PP′，则△PBP′是等腰直角三角形，
∴∠BP′P=45°，PP′=PB，
∵∠AP′B=135°，
∴∠AP′P=135°﹣45°=90°，
∴△APP′是直角三角形，
设P′A=x，则AP=x，
根据勾股定理，PP′=x，
∴PB=x，
∴P′A：PB=x：x=1：1．
故答案为1：1．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作辅助线构造出全等三角形以及直角三角形，把P′A、P′C以及P′B长度的倍转化到同一个直角三角形中是解题的关键．
三、用心做一做，马到成功！（共46分）
19．（16分）解方程：
（1）2x2+1=3x；
（2）3x2﹣6x+4=0；
（3）x2﹣4x+4=0；
（4）x（x﹣2）=2﹣x．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法．【分析】（1）首先对等号左边式子进行因式分解得到（2x﹣1）（x﹣1）=0，再解两个一元一次方程即可；
（2）首先求出根的判别式，进而对根的情况作出判断；
（3）利用直接开平方法解答即可；
（4）首先提取公因式（x﹣2）得到（x﹣2）（x+1）=0，再解两个一元一次方程即可．
【解答】解：（1）∵2x2+1=3x，
∴2x2﹣3x+1=0，
∴（2x﹣1）（x﹣1）=0，
∴2x﹣1=0或x﹣1=0，
∴x1=，x2=1；
（2）∵3x2﹣6x+4=0，
∴a=3，b=﹣6，c=4，
∴b2﹣4ac=36﹣48=﹣12＜0，
∴方程无解；
（3）∵x2﹣4x+4=0，
∴（x﹣2）2=0，
∴x1=x2=2；
（4）∵x（x﹣2）=2﹣x，
∴（x﹣2）（x+1）=0，
∴x+1=0或x﹣2=0，
∴x1=﹣1，x2=2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
20．用一条长为40cm的绳子怎样围成一个面积为75cm2的长方形？能否围成一个面积为101cm2的长方形吗？如能，说明围法；如不能，说明理由．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何图形问题．
【分析】分别根据情况设出长方形的长，利用周长40表示出宽，根据面积作为相等关系列方程求解即可．如果有解则能够围成，如果无解则不能围成．
【解答】解：设围成面积为75cm2的长方形的长为xcm，则宽为（40÷2﹣x）cm，依题意，得
x（40÷2﹣x）=75
整理，得
x2﹣20x+75=0
解方程，得
x1=5，x2=15
∵当长＞宽
∴x=15即这个长方形的长为15cm，则它的宽为5cm．
同理，设围成面积为110cm2的长方形的长为ycm，依题意，得
y（40÷2﹣y）=101
整理，得
y2﹣20y+101=0
∵△=b2﹣4ac=（﹣20）2﹣4×1×101=﹣4＜0
∴此方程无解，故不能围成面积为101cm2的长方形．
答：长为15cm，宽为5cm时，所围成的长方形的面积为75cm2；
用一条长40cm的绳子不能围成面积为101cm2的长方形
【点评】考查了一元二次方程的应用，此类题目要读懂题意，准确的找到等量关系列方程，解出方程的解后要注意代入实际问题中判断是否符合题意，进行值的取舍．
21．在如图所示的直角坐标系中，解答下列问题：
（1）分别写出A、B两点的坐标；
（2）将△ABC绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的△AB1C1．
【考点】作图-旋转变换．
【专题】探究型．
【分析】（1）直接根据点A、B在坐标系中的位置写出其坐标即可；
（2）根据图形旋转的性质画出旋转后的△AB1C1即可；
【解答】解：（1）由点A、B在坐标系中的位置可知：A（2，0），B（﹣1，﹣4）；
（2）如图所示：
【点评】本题考查的是旋转变换，熟知图形旋转后所得图形与原图形全等是解答此题的关键．
22．如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P=∠BAC．
（1）求证：PA为⊙O的切线；
（2）若OB=5，OP=，求AC的长．
【考点】切线的判定；勾股定理；相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）欲证明PA为⊙O的切线，只需证明OA⊥AP；
（2）通过相似三角形△ABC∽△PAO的对应边成比例来求线段AC的长度．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠B=90°．
又∵OP∥BC，
∴∠AOP=∠B，
∴∠BAC+∠AOP=90°．
∵∠P=∠BAC．
∴∠P+∠AOP=90°，
∴由三角形内角和定理知∠PAO=90°，即OA⊥AP．
又∵OA是的⊙O的半径，
∴PA为⊙O的切线；
（2）解：由（1）知，∠PAO=90°．∵OB=5，
∴OA=OB=5．
又∵OP=，
∴在直角△APO中，根据勾股定理知PA==，
由（1）知，∠ACB=∠PAO=90°．
∵∠BAC=∠P，
∴△ABC∽△POA，
∴=．
∴=，
解得AC=8．即AC的长度为8．
【点评】本题考查的知识点有切线的判定与性质，三角形相似的判定与性质，得到两个三角形中的两组对应角相等，进而得到两个三角形相似，是解答（2）题的关键．
23．已知抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（4，0），B（1，3）．
（1）求该抛物线的解析式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）设抛物线的顶点坐标是C，求△ABC的面积．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．
【专题】计算题．
【分析】（1）把A点和B点坐标代入y=﹣x2+bx+c中得到关于b、c的方程组，再解方程组求出b、c，从而得到抛物线解析式，然后把解析式配成顶点式即可得到抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）作BD⊥x轴于D，对称轴交x轴于E，如图，则C（2，4），根据三角形面积公式和利用S△ABC=S梯形BDEC+S△ACE﹣S△BDA进行计算即可．
【解答】解：（1）把A（4，0），B（1，3）代入y=﹣x2+bx+c得，解得，所以抛物线解析式为y=﹣x2+4x，
因为y=﹣（x﹣2）2+4，所以抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，4），
（2）作BD⊥x轴于D，对称轴交x轴于E，如图，C（2，4），
S△ABC=S梯形BDEC+S△ACE﹣S△BDA
=（3+4）×1+×4×2﹣×3×3
=3．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二
次函数的性质．本题的关键是利用面积的和差计算△ABC的面积．。