事件的相互独立性高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
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1
的概率都是 ,求P(A),P(B).
4
解 (1)①设“甲第一次试举成功”为 A1,“甲第二次试举成功”为 A2,
“甲试举两次,两次均失败”为 C,
则
2
1
P(A1)=P(A2)= ,P(1 )=P(2 )= ,
3
3
2
2
∴P(C)=P(1 2 )=P(1 )P(2 )=3 × 3
=
4
.
9
发生,不会受任何事件是否发生的影响,不可能事件⌀总不会发生,也不受任
何事件是否发生的影响.当然,它们也不影响其他事件是否发生.
3.对于n个事件A1,A2,…,An,如果其中任意一个事件发生的概率不受其他事
件是否发生的影响,则称n个事件A1,A2,…,An相互独立.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
6点”,则事件A与B的关系是(
B)
A.互斥
B.相互独立
C.既互斥又相互独立
D.既不互斥又不相互独立
解析 因为 A={2,4,6},B={3,6},A∩B={6},
所以
1
1
1
P(A)= ,P(B)= ,P(AB)=
2
3
6
所以 A 与 B 相互独立.
=
1 1
× ,
2 3
规律方法
变式训练1袋内有3个白球和2个黑球,从中不放回地摸球,记A=“第一次摸
②设“甲、乙各试举一次,至多有一人试举成功”为 D,
则表示“甲、乙各试举一次都成功”,
1 1
∴P(D)=1-P()=1- ×
2 3
=
5
.
6
(2)只有 A 发生,即 A发生;
只有 B 发生,即B 发生.
因为 A,B 相互独立,所以与 B,与 A 也相互独立.
1
所以 P(A)=P(A)P()=P(A)[1-P(B)]=4,
的白球”,B=“第二次摸的白球”,则A与B( D )
A.互斥
B.相互独立C.对立源自D.不相互独立探究点二
相互独立事件同时发生的概率
【例2】 [2023甘肃定西临洮月考]某市决定在一个乡镇投资农产品加工、
绿色蔬菜种植和水果种植三个项目,据预测,三个项目成功的概率分别
3 5 2
为 , , ,且三个项目是否成功相互独立.
基础落实·必备知识全过关
知识点1 两个事件相互独立
对任意两个事件A与B,如果 P(AB)=P(A)P(B) 成立,则称事件A与事件B相
互独立,简称为 独立 .
A与B的发生互不影响
名师点睛
1.如果 A 与 B 相互独立,那么 A 与B, A与 B,A与B也都相互独立.
2.必然事件Ω、不可能事件⌀都与任意事件相互独立.因为必然事件Ω总会
2 5 2
=5 × 6 × 3 + 5 × 6 × 3 + 5 × 6 × 3
=
41
,
90
41
所以恰有两个项目成功的概率为90.
(2)设“至少有一个项目成功”为事件 D,则
2 1 1
P(D)=1-P()=1-5 × 6 × 3
=
88
90
=
44
,
45
44
所以至少有一个项目成功的概率为 .
45
规律方法 解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义,若A,B
人教A版 数学 必修第二册
1.理解相互独立事件的意义,弄清事件“互斥”与“相互独立”是两
个不同的概念.
2.掌握两个相互独立事件同时发生的概率乘法公式.
课程标准 3.能够综合运用相互独立事件的概率乘法公式解决一些较简单
的相关概率计算问题.
4.培养学生分析问题、解决问题的能力,提高学生数学转化与化
归的能力.
相互独立,则 与, 与, 与 也是相互独立的,代入相互独立事件的概率
公式求解.
变式训练2(1)在举重比赛中,甲、乙两名运动员试举某个重量成功的概率
1 1
分别为 3 , 2
,且每次试举成功与否互不影响.
①求甲试举两次,两次均失败的概率;
②求甲、乙各试举一次,至多有一人试举成功的概率.
(2)设事件A与事件B相互独立,两个事件中只有A发生的概率与只有B发生
(1)若两个事件互斥,则这两个事件相互独立.( × )
(2)若事件A与事件B相互独立,那么事件A与事件 也相互独立.( √ )
2.射击运动员甲和乙进行射击比赛,“甲中靶”和“乙中靶”是否相互独立?
提示 相互独立.理论上讲,两名运动员彼此之间互不影响,故我们认为这两
个事件相互独立.
3.[人教B版教材习题]掷一个均匀的骰子,设事件A为“掷出的点数小于4”,B
名师点睛
1.三个事件A,B,C两两互斥,则P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)成立.但三个事
件A,B,C两两独立时,等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)一般不成立.
2.A,B,C相互独立的充要条件
是:P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C),P(CA)=P(C)P(A),P(ABC)=P(A)P(B)·
P(C),4个条件每个都必不可少.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)三个事件A,B,C相互独立,则P(ABC)=P(A)P(B)P(C).( √ )
(2)三个事件A,B,C两两独立,则P(ABC)=P(A)P(B)P(C)一定成立.( × )
1 1
2.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 和 .假定两球是否落入盒子互
4 5
2
不影响,则甲、乙两球至少有一球落入盒子的概率为
解析
5
.
1
1
∵甲、乙两球落入盒子的概率分别为 和 ,
4
5
∴甲、乙两球至少有一球落入盒子的概率为 1-
1
14
3.如果连续2次掷一枚骰子,结果都是1点的概率为
×
1
36
1
15
=
.
2
.
5
重难探究·能力素养全提升
探究点一
相互独立事件的判断
【例1】 抛掷一枚均匀的骰子一次,记事件A=“出现偶数点”,B=“出现3点或
5 6 3
(1)求恰有两个项目成功的概率;
(2)求至少有一个项目成功的概率.
解 (1)设“投资农产品加工成功”为事件 A,“投资绿色蔬菜种植成功”为事件
B,“投资水果种植成功”为事件 C,则恰有两个项目成功的概率为
P(AB∪AC∪BC)=P(AB)+P(AC)+P(BC)
3 5
1
3
1 2
为“掷出1点或6点”,判断事件A与 是否独立.
解 由题意知
1
2
1
P(A)=2,P()=3,P(A)=3,
所以 P(A)=P(A)·P(),
所以事件 A 与相互独立.
知识点2 两个相互独立事件同时发生的概率乘法公式
若A,B是两个相互独立事件,则有P(AB)=P(A)P(B)成立.
条件,必不可少
1
P(B)=P()P(B)=P(B)[1-P(A)]=4,
的概率都是 ,求P(A),P(B).
4
解 (1)①设“甲第一次试举成功”为 A1,“甲第二次试举成功”为 A2,
“甲试举两次,两次均失败”为 C,
则
2
1
P(A1)=P(A2)= ,P(1 )=P(2 )= ,
3
3
2
2
∴P(C)=P(1 2 )=P(1 )P(2 )=3 × 3
=
4
.
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发生,不会受任何事件是否发生的影响,不可能事件⌀总不会发生,也不受任
何事件是否发生的影响.当然,它们也不影响其他事件是否发生.
3.对于n个事件A1,A2,…,An,如果其中任意一个事件发生的概率不受其他事
件是否发生的影响,则称n个事件A1,A2,…,An相互独立.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
6点”,则事件A与B的关系是(
B)
A.互斥
B.相互独立
C.既互斥又相互独立
D.既不互斥又不相互独立
解析 因为 A={2,4,6},B={3,6},A∩B={6},
所以
1
1
1
P(A)= ,P(B)= ,P(AB)=
2
3
6
所以 A 与 B 相互独立.
=
1 1
× ,
2 3
规律方法
变式训练1袋内有3个白球和2个黑球,从中不放回地摸球,记A=“第一次摸
②设“甲、乙各试举一次,至多有一人试举成功”为 D,
则表示“甲、乙各试举一次都成功”,
1 1
∴P(D)=1-P()=1- ×
2 3
=
5
.
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(2)只有 A 发生,即 A发生;
只有 B 发生,即B 发生.
因为 A,B 相互独立,所以与 B,与 A 也相互独立.
1
所以 P(A)=P(A)P()=P(A)[1-P(B)]=4,
的白球”,B=“第二次摸的白球”,则A与B( D )
A.互斥
B.相互独立C.对立源自D.不相互独立探究点二
相互独立事件同时发生的概率
【例2】 [2023甘肃定西临洮月考]某市决定在一个乡镇投资农产品加工、
绿色蔬菜种植和水果种植三个项目,据预测,三个项目成功的概率分别
3 5 2
为 , , ,且三个项目是否成功相互独立.
基础落实·必备知识全过关
知识点1 两个事件相互独立
对任意两个事件A与B,如果 P(AB)=P(A)P(B) 成立,则称事件A与事件B相
互独立,简称为 独立 .
A与B的发生互不影响
名师点睛
1.如果 A 与 B 相互独立,那么 A 与B, A与 B,A与B也都相互独立.
2.必然事件Ω、不可能事件⌀都与任意事件相互独立.因为必然事件Ω总会
2 5 2
=5 × 6 × 3 + 5 × 6 × 3 + 5 × 6 × 3
=
41
,
90
41
所以恰有两个项目成功的概率为90.
(2)设“至少有一个项目成功”为事件 D,则
2 1 1
P(D)=1-P()=1-5 × 6 × 3
=
88
90
=
44
,
45
44
所以至少有一个项目成功的概率为 .
45
规律方法 解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义,若A,B
人教A版 数学 必修第二册
1.理解相互独立事件的意义,弄清事件“互斥”与“相互独立”是两
个不同的概念.
2.掌握两个相互独立事件同时发生的概率乘法公式.
课程标准 3.能够综合运用相互独立事件的概率乘法公式解决一些较简单
的相关概率计算问题.
4.培养学生分析问题、解决问题的能力,提高学生数学转化与化
归的能力.
相互独立,则 与, 与, 与 也是相互独立的,代入相互独立事件的概率
公式求解.
变式训练2(1)在举重比赛中,甲、乙两名运动员试举某个重量成功的概率
1 1
分别为 3 , 2
,且每次试举成功与否互不影响.
①求甲试举两次,两次均失败的概率;
②求甲、乙各试举一次,至多有一人试举成功的概率.
(2)设事件A与事件B相互独立,两个事件中只有A发生的概率与只有B发生
(1)若两个事件互斥,则这两个事件相互独立.( × )
(2)若事件A与事件B相互独立,那么事件A与事件 也相互独立.( √ )
2.射击运动员甲和乙进行射击比赛,“甲中靶”和“乙中靶”是否相互独立?
提示 相互独立.理论上讲,两名运动员彼此之间互不影响,故我们认为这两
个事件相互独立.
3.[人教B版教材习题]掷一个均匀的骰子,设事件A为“掷出的点数小于4”,B
名师点睛
1.三个事件A,B,C两两互斥,则P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)成立.但三个事
件A,B,C两两独立时,等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)一般不成立.
2.A,B,C相互独立的充要条件
是:P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C),P(CA)=P(C)P(A),P(ABC)=P(A)P(B)·
P(C),4个条件每个都必不可少.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)三个事件A,B,C相互独立,则P(ABC)=P(A)P(B)P(C).( √ )
(2)三个事件A,B,C两两独立,则P(ABC)=P(A)P(B)P(C)一定成立.( × )
1 1
2.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 和 .假定两球是否落入盒子互
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2
不影响,则甲、乙两球至少有一球落入盒子的概率为
解析
5
.
1
1
∵甲、乙两球落入盒子的概率分别为 和 ,
4
5
∴甲、乙两球至少有一球落入盒子的概率为 1-
1
14
3.如果连续2次掷一枚骰子,结果都是1点的概率为
×
1
36
1
15
=
.
2
.
5
重难探究·能力素养全提升
探究点一
相互独立事件的判断
【例1】 抛掷一枚均匀的骰子一次,记事件A=“出现偶数点”,B=“出现3点或
5 6 3
(1)求恰有两个项目成功的概率;
(2)求至少有一个项目成功的概率.
解 (1)设“投资农产品加工成功”为事件 A,“投资绿色蔬菜种植成功”为事件
B,“投资水果种植成功”为事件 C,则恰有两个项目成功的概率为
P(AB∪AC∪BC)=P(AB)+P(AC)+P(BC)
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1
3
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为“掷出1点或6点”,判断事件A与 是否独立.
解 由题意知
1
2
1
P(A)=2,P()=3,P(A)=3,
所以 P(A)=P(A)·P(),
所以事件 A 与相互独立.
知识点2 两个相互独立事件同时发生的概率乘法公式
若A,B是两个相互独立事件,则有P(AB)=P(A)P(B)成立.
条件,必不可少
1
P(B)=P()P(B)=P(B)[1-P(A)]=4,