安徽省六安市高二数学下学期第一次统考(开学考试)试题 文

舒城中学2017—2018学年度第二学期第一次统考
高二文数
（时间：120分钟 满分：150分）
命题： 审题：
一. 选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合要求的,请你将符合要求的项的序号填在括号内) 1．已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则
（ ） A ．A
B =3|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭
B ．A B =∅
C ．A
B 3|2x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭
D ．A B=R
2.下列函数中，定义域是R 且为增函数的是
（ ）
A.x y e -=
B.3
y x = C.ln y x = D.y x =
3. 函数)sin()(ϕϖ+=x A x f （其中)0,0,0πϕω<<>>A 的部分 图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. A.)(x f 图象可由)8sin(22x y π=图象向左平移4π
个单位得到 B. B.)(x f 图象可由)8
sin(22x y π
=图象向左平移2个单位得到 C. C.)(x f 图象可由)8
sin(22x y π
=图象向右平移2个单位得到 D. D.)(x f 图象可由)8sin(
22x y π
=图象向右平移
4
π
个单位得到 4.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ） A ．1 B ．2
5. 已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是
（ ）
A. 若α，β垂直于同一平面，则α与β平行
B. 若αβα⊂⊥m ,，则β⊥m
C. 若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线
D. 若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面 不可能垂直于同一平面
6.若0a b >>，0c d <<，则一定有
（ ）
A ．
a b
d c
> B ．
a b
d c
< C ．
a b
c d
> D ． a b c d <
7. 过点)0,1(-作抛物线12
++=x x y 的切线，则其中一条切线为
（ ） A. 02y x 2=++
B. 03y x 3=+-
C. 01y x =++
D. 01y x =+-
8.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是
（ ）
A ．16π
B ．20π
C ．24π
D ．32π
9.直线:1l y kx =+与圆2
2
:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“OAB ∆的面积为
1
2
”的
（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件
D.充要条件
10. ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.已知0)cos (sin sin sin =-+C C A B ，
,2=a 2=c .则=C
（ ） A ．
π
12
B ．
π6
C ．
π4
D ．
π3
11.已知04
π
θ<<,则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与22
2222
:1sin sin tan y x C θθθ-=的
（
）
A ．实轴长相等
B ．虚轴长相等
C ．焦距相等
D ．离心率相等
12.在平面直角坐标系中，第一象限有一系列圆n O ，所有圆均与x 轴和直线03=-y x 相 切，且任何相邻两圆外切；圆n O 的半径为n r ，其中01>>+n n r r .若圆1O 的半径11=r ， 则数列}{n r 的前n 项和=n S
（ ）
A.n
)2
1(2-
B.])3
1(1[23n
- C.])4
1(1[34n
-
D.])5
1(1[45n
-
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形CD AB 是平行四边形，()1,2AB =-，
()D 2,1A =，则D C A ⋅A = .
14. 已知)2,
0(π
α∈,2tan =α,，则=-)4
cos(π
α . 15. 记不等式组0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
所表示的平面区域为D ,若直线()1y a x =+与D 有公共点,
则a 的取值范围是 .
16. 抛物线2
2(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，A B 、是抛物线上的两个动点，且满
足3
AFB π
∠＝
．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则
MN AB
的最大值是 .
三. 解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 17.（本小题满分10分）已知函数x ax x x f 3)(2
3
--=. （Ⅰ）若()f x 在),1[+∞上是增函数，求a 的范围；
（Ⅱ）若3
1-=x 是()f x 的极值点，求()f x 在[1,]a 上的最大值.
18.（本小题满分12分）
在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知s i n 4s i n
a A
b B =
，222)ac a b c =--.
（I ）求cos A 的值； （II ）求sin(2)B A -的值.
19.（本小题满分12分）
设等差数列}{n a 的公差为d ，且1>d ，前n 项和为n S ，等比数列}{n b 的公比为q ．已知
100,,2,10211====S d q b a b ．
（Ⅰ）求数列}{n a ，}{n b 的通项公式； （Ⅱ）记n
n
n b a c =，求数列}{n c 的前n 项和n T ．
20.（本小题满分12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，已知
122DC DD AD AB ===，AD DC AB DC ⊥，∥．
（Ⅰ）求证：11DC AC ⊥；
（Ⅱ）设1=AD ，且E 是DC 上一动点，当//1E D 平面BD A 1时，
求三棱锥BD A E 1-的体积.
21.（本小题满分12分）如图,点)1,0(-P 是椭圆)0(1:22221>>=+b a b
y a x C 的一个顶点,1
C 的长轴是圆4:222=+y x C 的直径21,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线,其中1l 交圆2C 于
B A ,两点,2l 交椭圆1
C 于另一点
D .
(Ⅰ)求椭圆1C 的方程；
(Ⅱ)求ABD ∆面积取最大值时直线1l 的方程.
22.（本题满分12分）已知函数()2(1)ln 2x ax a x f x =+++．
（Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）当0a <时，证明3
()24f x a
≤--．
高二文科数学参考答案（高二下第一次统考） 1-5：ABBCD 6-10：BDCAB 11-12：DB 13. 5 . 14.
10
10
3 . 15. ]4,2
1
[ . 16. 1 17解答：（1）0≤a （2）6-
18题解答（Ⅰ）解：由sin 4sin a A b B =，及
sin sin a b
A B
=
，得2a b =
由222
)ac a b c =--，及余弦定理，
得222
5cos 25b c a A bc
ac +-=
==-（Ⅱ）解：由（Ⅰ）
，可得sin 5
A =
， 代入sin 4sin a A b B =
，得sin sin 4a A B b =
=
由（Ⅰ）知，A
为钝角，所以cos B == 于是4sin 22sin cos 5B B B ==
，2
3cos 212sin 5
B B =-=， 故sin(2)sin 2cos cos 2sin B A B A B A -=-
43(55=⨯-= 19解答：（Ⅰ）由题意有，111045100,2,a d a d +=⎧⎨
=⎩即112920,
2,
a d a d +=⎧⎨=⎩
解得11,2,a d =⎧⎨
=⎩ 故1
21,2.
n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩ （Ⅱ）1
21
2
n n n C --=
2341357921
1...22222n n n T --=++++++ ①
234511357921
(2222222)
n n n T -=++++++ ② ①-②可得
2321111121232 (32222222)
n n n n n n T --+=+++++-=- 故1
23
62n n n T -+=-
20解答：（1）省略（2）解答：3
1=
v 21题答案：（1）
14
22
=+y x （2）1210-±=x y 22解答：
（1）f(x)的定义域为(0,)+∞，1(1)(21)
()221x ax f x ax a x x
++'=
+++=
若0a ≥，则当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在(0,)+∞单调递增
若0a <，则当1(0,)2x a ∈-
时，()0f x '>；当1
(,)2x a
∈-+∞时，()0f x '< 故()f x 在1(0,)2a -单调递增，在1
(,)2a
-+∞单调递减.
（2）由（1）知，当0a <时，()f x 在1
2x a
=-
取得最大值，最大值为 111
()ln()1224f a a a -=---
所以3()24f x a ≤--等价于113ln()12244a a a ---≤--，即11
ln()1022a a
-++≤
设()ln 1g x x x =-+，则1
()1g x x
'=-
当(0,1)x ∈时，()0g x '>；当(1,)x ∈+∞，()0g x '<. 所以()g x 在（0,1）单调递增，在(1,)+∞单调递减. 故当1x =时，()g x 取得最大值，最大值为(1)0g = 所以当0x >时，()0g x ≤ 从而当0a <时，11ln()1022a a -
++≤，即3()24f x a
≤--。