2020年初中数学竞赛九年级集训《数和式综合问题专题》

《数与式综合问题》
1 .已知点A B在数轴上表示的数分别是a、b, A B两点之间的距离为d
(1)对照数轴填写下表.
a 2 -2 -4 -3 3
b 1 0 3 -2 -1
a- b 1 -2 -7
A, B两点之间的 1 2 7
距离d
(2)观察上表，发现d与a- b之间的数量关系是 ,
(3)点入表示的数为x,式子| x+2|、表示A B两点之间的距离，则点B表示的数是
若| x+2| = 1,贝U x =.
(4)适合式子|x+2|+| x - 3| = 5的整数x的值是;
(5)式子| x+7|+| x - 8|的最小值是多少？
2.(1)已知b- a=£, 2a2+a=-;-,求°一乏的值.
S 4 a
(2)已知：f (x) =x2+bx+c是g (x) =x4+6x2+25 的因式，也是q (x) = 3x4+4x2+28x+5
的因式.求：f (1)的值.
3.(1) 一个正整数如果能表示为若干个正整数平方的算术平均值，就称这个正整数为“好
整数”，如4 =空1,2007项2008=^51,4, 2007,
2 4 3
2008都是“好整数”，记“好整数”的集合为M正整数的集合为N+,求证：M N.
(2)记a= 12+ 22+ 32+…+20122+20132,求证:a可以写成2012个不同的正整数的平万和.
.2
2 2 2 2 , 2 2 2 2
4.
已
知• b 拦 _+"“ 二& +日也 -土 = 1,求证：三个分式中有两个等于 1,
2bc
2ac 2ab
一个等于-1.
5. 已知a, b, c 都是有理数，寸Z+龙WZ 也是有理数，求证： 寸］寸E ，匹都是有理数.
7.已知 m 是实数，求| m+l nr 1|+| m- 2|的最小值.
8.计算:
6.求证:
=1.
3
+ ••-
…1________________ 1 1 、,-I
2)24( 2X3 +4X5 + …+24X 25)(『
______ 1 _______
12+ 22+-- + 1 22'
9.已知x3- 8有一个因式x-2,我们可以用待定系数法对x3- 8进行因式分解：
设x3- 8= (x - 2) ( x2+ax+b),
( x - 2) ( x2+ax+b) = x3+ (a - 2) x2+ (b- 2a) x- 2b,
r a-2=0
*b-&=0,即a=2, b= 4.
L-2b=-8
因此x3- 8= ( x - 2) (x2+2x+4).
已知x3+27有一个因式x+3,请你仿照上例，用待定系数法，因式分解x3+27.
10.求|x - 1|+| x - 2|+| x - 3|+ •••+|x - 2009| 的最小值.
11.计算：
, 、 , 2_2、，一、，一2_2、，一一、，一2 2、，一、, _2 2、
22 2 2 2 2 2 2\
(1 ) (1+2)十(1 X 2) + (2+3)十(2X 3 ) + (3+4)十(3X 4) +••• + (2013 +2014 )
+ ( 2013X 2014)
(2) 1+ (1X 2X 3) +1+ (2X 3X 4) +1+ (3X 4 X 5) +•••+1+ ( 98X 99 X 100)
12.已知n个不同的数x〔，x2, x3,…，x n是正整数1, 2,…，n的任意一个排列，试求| x〔
-1|+| x2- 2|+ •••+| x n- n| 的最小值.
-c 2) ( b - a) +2 (c 2 - a 2
) ( c - b).
14 .设 2009x 3 = 2010y 3 = 2011 z 3 ( xyz > 0 ),且可200如'+2011 工，= 牛2009+
寸2010忡
2011，求的值.
Jr
15.是否存在这样的实数 a, b,使得对于每个正整数 n>2,
(1) a +b 是有理数，而 a n +b n
是无理数; (2) a +b 是无理数，而 a n +b n 是有理数.
的值.
17. (1)讨论关于x 的方程| x +1|+| x +2|+| x +3| = a 的根的个数.
(2)设 a 1, a 2
,…，a n 为等差数列，且 |a 1|+|
a 2
|+…+| a n | = |a 1+1|+| a 2
+1|+••・+|a n +1|
=
13. 因式分解：a 2 (b +c-2a) +b 2
(c +a-2b)
+c 2 (a +b — 2c) +2 (a 2— b 2) (a — c) +2 (b 2
16. a, b, c 为非零实数,
a 2+
b 2+
c 2
= 1 q 牛口)二, 求
a +
b +c
|a「2|+| a2- 2|+ •••+|a n—2| = 507,求项数n 的最大值.
18.9 99 9999 999 999 999
10 100 1000*10 000 000 00。

的整数部分是多少?
19.
22+1 32+l 42+l
20 . 已知
1 1 1 1
一+—H—=---
a b c a+b+c
,求证：n为奇数时,
参考答案
1.解：(1)当a= - 3, b= - 2 时，a - b= - 1, d= 1；
当a = 3, b= — 1 时，a- b = 4, d= 4；
故答案为：-1, 1 ；4, 4;
(2)由题可得，d与a- b之间的数量关系是d= | a- b| ,
故答案为：d= | a- b| ；
(3)•.,式子| x+2|表示A B两点之间的距离，而| x+2| = | x - ( - 2) | ,
.,•点B表示的数是-2,
故答案为：-2;
(4)| x+2|+| x - 3| = 5表示数轴上与表示- 2的点和表示3的点的距离之和为5,
- 2v xv 3,
整数x= - 2, - 1, 0, 1, 2, 3,
故答案为：—2, - 1, 0, 1, 2, 3;
(5)式子| x+7|+| x - 8|的几何意义为数轴上表示数x的点与表示-7的点、表示3的点
的距离之和，
•••当-7< x< 8 时，式子| x+7|+| x- 8| 的最小值是8-(- 7) =15.
ir 1
b-a=-g-(l)
2.解：(1) * ,
喝'而斗②
①x 2 -②得，2b- 2a2= 3a,
由题意得a乒0,
两边同乘以2a得，一-a=7T a 2
(2) •.•g (x) , q (x)都能被f (x)整除，
...它们的和、差、倍也能被 f (x)整除，
为了消去四次项，设3g (x) - q (x) = kf (x) , (k为正整数)，
即14x2- 28x+70 = k (x2+bx+c),
14 (x2— 2x+5) = k (x2+bx+c),
当 a- b +c = 0,即 /XT
(a+c ) 2 +c 2-a 2
-1,
I?*/-2bc —
2 fa-hc)c
2ac
•■- k = 14, b= - 2, c= 5, 即 f (x) = x 2
— 2x+5. . •f (1) =4.
3. (1)证明：因为每个“好整数”都是正整数，所以
M?N+; 2
2 2
2
另一方面，对每个 n C N +
,都有n= ~t 一
，
所以n 是“好整数”，即 n€ M 所以N +
? M 因此岬N +;
(2)证明：只需从12至20132
中去掉两个，
根据勾股定理，换上一个大于 20132
的数，
20002= 42X 5002, 32+42= 52
, . . 32
X 5002+42X 5002= 52X 5002
,
即 15002
+20 002
= 25 002
,
(b+c -a) (b+c+a) Cc -a _b) (c-a+b) (a _b+c) (a _b _c)
---------------- + + --------
2be ------------ 2ac 2ab (b+c-
a)
(b+c -
a) z
a+b+c c-a-b x (a-b+ci (eL-b-c) ( ------ + ------ ) + ----------------
2bc
2 sic
2ab
? . •……r - ： + n \
2abc 2ab
K+b) 3b)(a+b)(耻+>) ?
--------------- + ----------- (b+c-a) (a+b) (a-b+c) ,|c
- +
2abc S -0
(a -b+c.) (b+c-a)
2abc =0,
因此从a 中去掉15002
和20002
,添加25002
, 即将a 写成了 2012个不同的正整数的平方和.
4.
2 ^,3
2
一1+色也■乏+1 = 0,
2ab
+旦f 迫+姓=0, 2ab
a —
b +c= 0 或 b +
c — a= 0 或 a +b
— c= 0,
b= a +c 时,
c皿/-3c ) ' = _ 1 子也七疽="十(昨—.2 = 1
2^ ' ~2lb 2aCa+c) '
2 2 2 2 2 2 2 2 2当b+c- a= 0,即a= b+c 时，同理可得—=-1, —= 1，④ * 一~
=1;
2bc 2ac2ab
［；2 221 2 2,212 . 2 2
当a+b— c = 0,即c = a+b时，--- 匚=1,皇+日f」=1,. a +b<c_ = _ 1；
2bc| 2ac |2ab
综上所述，三个分式中有两个等于1, 一个等于-1.
5.证明：•.• a, b, c,是有理数，且
瞒
*抓«也是有理数,
•••a> 0, b> 0, O 0,
.••揭，皿，寸^可能是有理数也可能是无理数，
.••正无理数与正无理数的和是无理数，有理数和无理数的和是无理数,
.••必须是三个都是有理数才会是和为有理数, 都是有理数.
6.解：设J&+1= a,
J 3
贝U x =喝*1 ,
S
- -5
a+1
7.解：当n>2 时，| m+| 叶1|+| 叶2| = n+nr 1 + nr 2 = 3nr 3= 3 (叶1) >2;
当1 <n^ 2 时，| m+| n^ 1|+| n^ 2| = n+n^ 1+2- n^= mH >2；
当0v n^ 1 时，| n|+| nr 1|+| nr 2| = n+1 - n+2 - n^ - nt3>2；
当nK0 时，| n+| nr 1|+| nr 2| = - n+1 - n+2- n^ - 3nt3= - 3 (nr 1) a 3;
综合所述：可得当咛1时可以得到它的最小值，最小值为 2.
11
2X _
X-i^-+ (17【^
1 1 33 12
7~TT
7X23 …英。

13 ^,11X7
2
+21
L7X 4
33 17X 4 w
= 3.5 - 1+21 = 23.5 .
2 2 2 2
(2) .• 12+22+32+・ +n 2
=*n (n+1) (2n+1),
1?十2'十…十口？ n(n+l)(2n+l) 2n(2n+l)(2n+2)
=12
【2n(2nH)—国 1)(2T)]
.,•原式=24 X ( 1 + 1 + • . • +
1 ) — 12X( 1 - 1 + 1 - 1
v
2X 3 4X5 24X25 2X3 3X 4 4X5 5X6
J i I I 1 L +
24X25 25X 26)
+ ----- + ••- + --------- ) - 12X(
+ ---- + ••- + 2X3 4X5
24X25， ---------------- 3 4X5
24X25
------ + ---------- +. • - +
3X4 5X6 25X 26
8. 解: （1）原式=
21 v 23 17 12
4S _4S Zix 耍 约
24 33 7 "IT
1?4I
17 21
7X23 17X4 34X7
17 X 4
—2X
13 33
+21 =24X + 12 X
26
=12X
6
13
也
13
1"（成"•卒示）+1
小（衣才泉V…早^）
26
)
=12X
9.解：设 x 3+27= ( x+3) (x 2
+ax +b),
, 一、 ,
2
、
3,一、 2, 一、 -
(x +3) ( x +ax +b) = x + (a +3) x + (b +3a) x +3b,
r
a+3=0 * b+3a-0，即 a= - 3, b = 9.
t
3b=27
因此 x 3
+27= (x+3) (x 2
- 3x +9).
10.解：由绝对值的几何意义可知，当绝对值的个数为奇数时，取得最小值 x 是其中间项,
而当绝对值的个数为偶数时，贝U x 取中间两项结果一样.
因此，对于 |x - 1|+| x - 2|+| x - 3|+ •••+|x - 2009| ,当 x = 1005 时取得最小值, 1004+1003+…+0+1+2+ • +1004= 1004X ( 1 + 1004) = 1009020.
=402〉
灰：：：崩
地
19800
12.解：当n 为偶数时,
当 x =号时，| x 1 - 1|+| x 2- 2|+ •••+|x n- n | 的值最小为:
1+77 — 2+…+0+1 + --
1 (
3
-
1 4
- 2 +
5 -
3
2 IX 2X3
1X2X3 + — —
2X3X4
2X3X4
3X4X5 3X4X5
+ ••-
此时原式= 11.解：（1） 1X2 3X4
)+•••+ (2+
2013 X 2014
= 4026+1 -
2014
3-1 2 2 . 2 , 2 、 1X2X3 '2X3X4 3X4X5 |98X99X 100 /
,| 42 ,| 5-3 W0-98
、
+‘ 100 98
98X99X 100 98X99X 100 )
1
] | 1
1
1 1
2 (1X2 2X
3 +
----- +2X3
3X4 +3海
+
+
■— .(一.. =2 X 2013+ ( =4026+ (1 - (2)原式=—(
‘
=0,
当n为奇数时，乂=专上时，|x1T|+| X2-2|+ •••+|Xn-n|的值最小为：
旦-4-呈+... +0+1+... -旦，
2 2 2 2 2 2
=0.
13.解：a2(b+c—2a) +b2(c+a — 2b) +c2 (a+b— 2c) +2
(a2— b2) (a— c) +2 (b2—c2) (b
-a) +2 (c2- a2) ( c - b)
2 2 2 2.2、
=a [ (b - a) +(c - a) ]+ b [ (c - b) +(a - b) ]+ c [ (a - c) +(b - c) ]+2 (a - b)
(a- c) +2 (b2- c2) (b- a) +2 (c2- a2) ( c- b)
=a2(b - a) +a2(c - a) +b2(c - b) +b2(a - b) +c2 ( a- c) +c (b- c) +2 ( a2-
b2)
(a- c) +2 (b2- c2) (b- a) +2 (c2- a2) ( c- b)
=(a — b) ( b — a ) + ( a— c) ( c — a ) + (b — c) ( c—b ) +2 (a — b ) (a —c) +2
(b2— c2) ( b — a) +2 (c2— a2) ( c — b)
=(a2— b2) [ — a+b+2(a — c)]+ (c2— a2) [ (a — c)+2 ( c —b) ]+(b2—c2) [ c — b+2
(b - a)]
=(a — b) [ (a — c) + (b — c) ]+ ( c — a) [ (a — b) +(c — b) ]+ (b- c?) [ (c — a)
+ ( b- a)]
=(a2— b2) (a —c) + (a2- b2) (b- c) + (c2—a2)
(a — b) + (c2—a2) (c — b) + (b2
—c2) (c — a) + (b2— c2) ( b— a)
=(a - b) ( a+b) (a - c) + (a - b) ( a+b) ( b - c) + (c -
a) ( c+a) (a - b) + (c
-a) (c+a) (c- b) + (b- c) (b+c) (c- a) + (b- c) (b+c) ( b- a)
=(a- b) (a- c) [ (a+b- ( a+c) ]+ (b- c) (a- b) [ (a+b) - (b+c) ]+ (c- a)
(c - b) [ a+c - ( b+c)]
=(a - b) (a- c) ( b - c) + (a - b) (a - c) ( b- c) + (a - b) (a - c) ( b- c)
=3 (a- b) (a- c) ( b- c).
14.解：设2009x3= 2010y3= 2011z3= k3,
3 3 2
贝U 2009x2=L, 2010y2=L, 2011z2=L,
x y z
故甘2009拱+2D10/+2011/ = 哇-哇-="尊号号,
又 xyz> 0,
1= 1. Z
15 .解：(1)存在.
比如：当a= 1 - J 由，b=时，
对于每个正整数n>2,都有a+b= 1是有理数，a n
+b n
= (1-/) n
+ (JI) n
都是无理数. 事实上，当a= n +x, b= n - x (其中x 是无理数，m n 是有理数，且 n +n 乒0)时， 对于每个正整数 n>2,都有a +b = n +n 是有理数，a n
+b n
= (n +x) n
+ (n-x) n
都是无理数.
(2)不存在.
理由如下：
① 实数a 、b 都是有理数，
此时a +b 是有理数，与条件“ a +b 是无理数”矛盾，故舍去. ② 实数a 、b 中一个是有理数另一个是无理数，
此时a +b 是无理数，a n
、b n
必有一个是有理数另一个是无理数. 所以a n
+b n
必是无理数，而不是有理数. ③ 实数a 、b 都是无理数， 因为a +b 是无理数，
所以a 与b 不可能是互为相反数.
所以a n
与b n
也不可能互为相反数，即 a n
+b n
乒0. 因为实数a 是无理数，
所以a n
、a n+1
(n>2)中至少有一个是无理数. 同理：b n
、b*1
(nA2)中至少有一个是无理数.
I .若a n 、b n 都是有理数，
则a"、b
n+1
都是无理数.
因为 a n+1
+bf 0, 所以a n+1
+b n+1
是无理数.
=k&
x y 2 3 初i09+寸201。

+初
3
n .若a n、b n只有一个是有理数，
则a n+b n必是无理数.
m.若a n、b n都是无理数，
因为a n+b n乒0,
所以a n+b n必是无理数.
综上所述：不能保证对于每个正整数n>2,当a+b是无理数时，a n+b n都是有理数.
故符合要求的实数a、b不存在.
16.解：将+-b+c=-3变形如下，
L c c a a b
a ( —) +1+
b ( —) +1+
c (二匚)+1 = 0, b c a c a b
即亦蝗今)+b(! )+c(』=0'
(a+b+c) (—=0, a b c
./ 以、o bc+^c+ab -
. . ( a+b+c) ? ------- = 0,
abc
a+b+c = 0 或bc+ac+ab= 0.
若bc+ac+ab= 0,则
(a+b+c) 2= a2+b2+c2+2 ( bc+ac+ab) = a2+b2+c2= 1,
•■- a+b+c = + 1.
•■- a+b+c 的值为1, - 1, 0.
17.解：(1)根据函数y=|x+1|+| x+2|+| x+3| = a的图象可知：
当av2时，方程无解；
当a = 2时，方程有一个根；
当a>2时，方程有两个根.
(2)因为方程|x| = | x+1| = |x- 2|无解，故n>2且公差不为0.不妨设数列的各项为
a- kd (1 v k< n, d>0).
n
作函数f (x) = £ | x = kd| ,
本题条件等价于f (x) =507至少有三个不同的根a, a+1, a- 2,此条件又等价于函数y= f (x)的图象与水准直线y = 507至少有三个不同的公共点.
由于y = f (x)的图象是关于直线
y =〔E)d 左右对称的n +1段的下凸折线，它与水
准直线L 有三个公共点当且仅当折线有一水准段在 L 上，
当且仅当 n= 2m 且 a, a +1, a - 2€ [ md
(n +1) d] ,
f (md = 507 .即
d> 3 且 n2d =
507.
2 I - …
由此得mv —目一，解得：nK 13,
显然，m^= 13时，取d= 3, a= 4满足本题条件. 因此，n 的最大值为26.
| 9 99
999 9 999 999 999 18.
10 100 1000
10 000 000 000
=(1+1+1+1+1+1+1+1+1+1) — (0.1+0.01+0.01+ •••+0.0000000001 ), =10-0.1111111111 , =9.8888888889 ,
』
1
=
n+1+
=
1
1 M n+1 n+2
-n+
A
n+1
证明：
1 1 1 1 b ■■
c a+t+c 两边同时乘以abc (abc 不等于0)得,
bc +ac +ab=
两边同时乘以a +b +c 得,
a 2
b +ab 2+a 2
c +ac 2+b 2c + bc 2
+3ab^= abc, a 2b +ab 2+a 2c +ac 2+b 2c +bc +2ab^= 0,
a 2
b +ab 2+a 2
c +ac 2+b 2c +bc +2ab^= ( a +b) ( b +c) ( a +c) = 0, a +b, b +c, c +a 中，至少有一个是 0,
19.
解：
原式= (1 +
2 1
2-1
)+ (1 + 2 32-1 )+
2 ] ---- H I 2 I | ---- II 2 +----- . . . _L
2
一 n +
1X3 2 ：4 3X5 1 1。

(寸
+... + 2 (n+1) 2-1
答：原式的和的整数部分是 9.
1 + 4-1
故当n为奇数时a n+b n, b n+c n, a n+c n至少有一个是0,
(a n +b n ) (b n +c n ) (a n *c n )
n, n n(- n., n , n \ a b c 〔a. +b 十匚 J
=0.
1 . 1
1 1 n ■ n
n
n ,, n B n a b
c
a 十
b 十u
1
1 1
i n a T b n 卜 一 n
n . u r . n 1 +b +c 同理:。