2015年高考数学第一轮复习课件：2.11导数在研究函数中的应用

∴f′1＝3＋2a＋b＝0， f′－1＝3－2a＋b＝0.
解得，a＝0，b＝－3.
(2)由(1)知，f(x)＝x3－3x，g′(x)＝x3－3x＋2.
由 g′(x)＝0，得(x－1)2(x＋2)＝0，
∴g′(x)＝0 的根为 x＝－2 或 1.
当 x<－2 时，g′(x)<0；当－2<x<1 时，g′(x)>0.
不充分条件．如(5)．
一是求单调区间时应遵 循定义域优先的原则．
二是函数的极值一定不会 在定义域区间的端点取 到．
三是求最值时，应注意 极值点和所给区间的关 系，关系不确定时应分 类讨论．不可想当然认 为极值就是最值，如(8).
第五页，编辑于星期五：十一点 四十七分。
利用导数研究函数的单调性 【例 1】 (2013·广东卷改编)设函数 f(x)＝(x－1)ex－kx2. (1)当 k＝1 时，求函数 f(x)的单调区间； (2)若 f(x)在 x∈[0，＋∞)上是增函数，求实数 k 的取值范围． 解 (1)当 k＝1 时，f(x)＝(x－1)ex－x2， ∴f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2x＝x(ex－2)． 令 f′(x)>0，即 x(ex－2)>0， ∴x>ln2 或 x<0. 令 f′(x)<0，即 x(ex－2)<0， ∴0<x<ln2. 因此函数 f(x)的递减区间是(0，ln2)； 递增区间是(－∞，0)和(ln2，＋∞)．
函数 y＝f(x)在点 x0 处连续且 f′(x0)＝0，
极小值 若在点 x0 附近左侧 f′(x)<0 ，右侧 f′(x)>0 ，
则 x0 为函数的极小值点，f(x0)叫函数的极小值
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3.函数的最值与导数
(1)函数 f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象是一条 连续不断 那么它必有最大值和最小值．
∴x＝－2 是函数 g(x)的极小值点．
当－2<x<1 或 x>1 时，g′(x)>0，故 1 不是 g(x)的极值点．
所以 g(x)的极小值点为－2，无极大值点．
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利用导数求函数的最值
【例 3】 (2012·重庆卷)已知函数 f(x)＝ax3＋bx＋c 在 x＝2 处取得极值 为 c－16.
∵f(x)在 x∈[0，＋∞)上是增函数，
∴当 x≥0 时，f′(x)＝x(ex－2k)≥0 恒(1成)利立用．导数研究函数的单调性的
∴ex－2k≥0，即 2k≤ex 恒成立．
关键在于准确判定导数的符号． 而解答本题(2)问时，关键是分离
由于 ex≥1，∴2k≤1，则 k≤12.
参数k，把所求问题转化为求函数
规律方法
(1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件 是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同． (2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝 不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函 数没有极值．
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利用导数研究函数的极值
令 f′(x)＝0，得 x＝－13或 3.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－∞，－13 －13 －31，3
3
f′(x)
＋
0
－
0
f(x)
↗
极大值
↘ 极小值
∴f(x)的单调递增区间为－∞，－13，[3，＋∞)；
f(x)的单调递减区间为－13，3.
(3，＋∞)
＋ ↗
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由表知 f(x)在 x＝－2 处取得极大值 f(－2)＝16＋c，
f(x)在 x＝2 处取得极小值 f(2)＝c－16.
由题设条件知，16＋c＝28，解得 c＝12，
此时 f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝c－16＝－4，
因此 f(x)在[－3,3]上的最小值为 f(2)＝－4.
3.关于闭区间上函数的最值问题
(7)函数在开区间一定不存在最大值和最小值．( ) (8)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( ) (9)(2014·郑州调研改编)函数 f(x)＝ex－x(e 为自然对数的底数)在区间[－1,1]上 的最大值是 e－1.( )
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(2)由(1)知 f(x)＝x3－12x＋c，f′(x)＝3x2－12.
令 f′(x)＝0，得 x＝－2 或 2.
当 x 变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：
x －3 (－3，－2) －2 (－2,2) 2 (2,3) 3
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x) 9＋c
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ －9＋c
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利用导数求函数的最值 【例 3】 (2012·重庆卷)已知函数 f(x)＝ax3＋bx＋c 在 x＝2 处取得极值 为 c－16. (1)求 a，b 的值； (2)若 f(x)有极大值 28，求 f(x)在[－3,3]上的最小值．
．
(2)若 f′(x)<0，则 f(x)在这个区间内 单调递减
．
(3)若 f′(x)＝0，则 f(x)在这个区间内是 常数函数
．
2.函数的极值与导数
函数 y＝f(x)在点 x0 处连续且 f′(x0)＝0，
极大值 若在点 x0 附近左侧 f′(x)>0 ，右侧 f′(x)<0 ，
则 x0 为函数的极大值点，f(x0)叫函数的极大值
化简得12a＋b＝0， 4a＋b＝－8，
审题路线
f′2＝0， (1)f2＝c－16 ⇒a，b 的值； (2)求导确定函数的极 大值⇒求得 c 值⇒求 得极大值、极小值、 端点值⇒求得最值．
解得a＝1， b＝－12.
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利用导数求函数的最值
【例 3】 (2012·重庆卷)已知函数 f(x)＝ax3＋bx＋c 在 x＝2 处取得极值 为 c－16. (1)求 a，b 的值； (2)若 f(x)有极大值 28，求 f(x)在[－3,3]上的最小值．
【训练 1】 已知函数 f(x)＝x3－ax2－3x. (1)若 f(x)在[1，＋∞)上是增函数，求实数 a 的取值范围； (2)若 x＝3 是 f(x)的极值＝0，即 27－6a－3＝0，∴a＝4. ∴f(x)＝x3－4x2－3x，f′(x)＝3x2－8x－3.
审题路线
(1)由f′(1)＝0⇒求a的
值．
由于曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))
处的切线垂直于 y 轴，
∴该切线斜率为 0，即 f′(1)＝0.
从而 a－12＋32＝0，
∴a＝－1.
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利用导数研究函数的极值
【例 2】设 f(x)＝alnx＋21x＋32x＋1，其中 a∈R，曲线 y＝f(x)在点(1，f(1)) 处的切线垂直于 y 轴． (1)求 a 的值； (2)求函数 f(x)的极值．
知识与方法回顾
知识梳理
辨析感悟
技能与规律探究
探究 一 利用导数研究函数 的单调性
探究二 利用导数研究函数 的极值
探究三 利用导数求函数的 最值
例1 训练1
例2 训练2
例3 训练3
经典题目再现
第一页，编辑于星期五：十一点 四十七分。
1.函数的导数与单调性的关系
函数 y＝f(x)在某个区间内可导，则
(1)若 f′(x)>0，则 f(x)在这个区间内 单调递增
(1)f′(x)>0 是 f(x)为增函数的充要条件．( ) (2)函数在其定义域内离散的点处导数等于 0 不影响函数的单调性．( ) (3)(2012·辽宁卷改编)函数 y＝12x2－lnx 的单调递减区间为(0,1]．( )
2.导数与极值的关系问题
(4)函数的极大值不一定比极小值大．( ) (5)对可导函数 f(x)，f′(x0)＝0 是 x0 为极值点的充要条件．( ) (6)(2012·陕西卷改编)函数 f(x)＝xex 在 x＝－1 处取得极小值．( )
由 f′(x)≥0，得 a≤32x－1x. 记 t(x)＝32x－1x，则 t′(x)＝321＋x12，
所以当 x≥1 时，t(x)是增函数， ∴t(x)min＝32(1－1)＝0. ∴a≤0. 故实数 a 的取值范围是(－∞，0]．
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利用导数研究函数的单调性
一点提醒
两个条件
三点注意
函数最值是 个“整体”概 念，而函数 极值是个
“局部”概
念．极大值与 极小值没有必 然的大小关系， 如(4)．
一是f′(x)>0在(a，b) 上成立是f(x)在(a，b)
上单调递增的充分不必 要条件．如(1)．
二是对于可导函数f(x)，
f′(x0)＝0是函数f(x)在
x＝x0处有极值的必要
第七页，编辑于星期五：十一点 四十七分。
利用导数研究函数的单调性
【训练 1】 已知函数 f(x)＝x3－ax2－3x. (1)若 f(x)在[1，＋∞)上是增函数，求实数 a 的取值范围； (2)若 x＝3 是 f(x)的极值点，求 f(x)的单调区间．
解 (1)对 f(x)求导，得 f′(x)＝3x2－2ax－3.
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利用导数研究函数的单调性
【例 1】 (2013·广东卷改编)设函数 f(x)＝(x－1)ex－kx2. (1)当 k＝1 时，求函数 f(x)的单调区间； (2)若 f(x)在 x∈[0，＋∞)上是增函数，求实数 k 的取值范围．
(2)易知 f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2kx＝x(ex－2k)． 规律方法
利用导数研究函数的极值
【例 2】设 f(x)＝alnx＋21x＋32x＋1，其中 a∈R，曲线 y＝f(x)在点(1，f(1)) 处的切线垂直于 y 轴． (1)求 a 的值； (2)求函数 f(x)的极值．
解 (1)由 f(x)＝alnx＋21x＋32x＋1， ∴f′(x)＝ax－21x2＋32.
(1)求 a，b 的值； (2)若 f(x)有极大值 28，求 f(x)在[－3,3]上的最小值．
解 (1)因 f(x)＝ax3＋bx＋c， 故 f′(x)＝3ax2＋b， 由于 f(x)在点 x＝2 处取得极值 c－16， 故有f′2＝0，
f2＝c－16，
即12a＋b＝0， 8a＋2b＋c＝c－16.
(2)确定函数定义域 ⇒对f(x)求导，并求 f′(x)＝0⇒判断根左 ，右f′(x)的符号⇒确
定极值．
∴f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．
故 f(x)在 x＝1 处取得极小值 f(1)＝3，f(x)无极大值．
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利用导数研究函数的极值 【例 2】设 f(x)＝alnx＋21x＋32x＋1，其中 a∈R，曲线 y＝f(x)在点(1，f(1)) 处的切线垂直于 y 轴． (1)求 a 的值； (2)求函数 f(x)的极值．
的最小值问题．
又当 k＝12时，f′(x)＝x(ex－1)≥0
(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上
单调递增(减)，求参数范围问题，可
当且仅当 x＝0 时取等号．
转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题
因此，实数 k 的取值范围是－∞，12，否. 从可而以构取建到不．等式，要注意“＝”是
【训练 2】 已知 a，b 是实数，1 和－1 是函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx 的两 个极值点．(1)求 a 和 b 的值；(2)设函数 g(x)的导函数 g′(x)＝f(x)＋2， 求 g(x)的极值点．
解 (1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
又 1 和－1 是函数 f(x)的两个极值点，
(2)求 y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤 ①求函数 y＝f(x)在(a，b)内的 极值 ．
②将函数 y＝f(x)的各极值与 端点处的函数值f(a)，f(b)
其中 最大 的一个是最大值， 最小 的一个是最小值．
的曲线， 比较，
第三页，编辑于星期五：十一点 四十七分。
1.导数与单调性的关系
(2)由(1)知，f(x)＝－lnx＋21x＋32x＋1(x>0)，
审题路线
∴f′(x)＝－1x－21x2＋32＝3x＋21x2x－1.
(1)由f′(1)＝0⇒求a的
值．
令 f′(x)＝0，解得 x＝1 或－13(舍去)． 当 x∈(0,1)时，f′(x)<0； 当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0.