沪科版数学八年级下册 第18章 勾股定理 章末小结与提升
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典例 3
【解析】∵a2+b2=( m1 )2+( 2 ������ )2=m2+2m+1,c2=( m+1 )2=m2+2m+1,∴a2+b2=c2,∴ △ABC 是直角三角形.
章末小结与提升
【针对训练】 1.在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 b2-a2=c2,则下列判断正确的是( A ) A.∠A 与∠C 互余 B.∠B 与∠C 互余 C.∠A 与∠B 互余 D.△ABC 是等腰三角形 2.若△ABC 的三边 a,b,c 满足( a-b )( a2+b2-c2 )=0,则△ABC 是( C ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形
4 5 5
.
章末小结与提升
4.如图,某校科技创新兴趣小组用他们设计的机器人,在平坦的操场 上进行走展示.输入指令后,机器人从出发点 A 先向东走 10 米,又向 南走 40 米,再向西走 20 米,又向南走 40 米,再向东走 70 米到达终止 点 B.求终止点 B 与原出发点 A 的距离 AB.
【答案】 C
5
5
章末小结与提升
【针对训练】
-4-
1.如图,在平面直角坐标系中,点 P 的坐标为( -2,3 ),以 O 为圆心,OP 的长为半径画弧,交 x 轴的负半轴于点 A,则点 A 的横坐标是( C ) A.- 5 B. 5 C.- 13 D. 13
章末小结与提升
2.一块直角三角形绿地,两直角边长分别为 3 m,4 m,现在要将绿地 扩充成等腰三角形,且只能将长为 3 m 的直角边向一个方向延长,则 等腰三角形的腰长为 4 或 5 或 6
第18章 勾股定理
章末小结与提升
-2-
勾股定理 在 Rt△������������������中,������,������是直角边,������是斜边,则 ������2 + ������2 = ������ 2 勾股定理 用面积法证明勾股定理 应用:在直角三角形中已知两边长,可求第三边长 勾股定理的逆定理 ������,������,������是△������������������的三边长,若������2 + ������2 = ������ 2 ,则△������������������是 直角 三角形 应用:判定三角形是直角三角形
-12-
3.如图,P 是等边△ABC 内一点,连接 PA,PB,PC,PA∶PB∶PC=3∶4∶5,以 AC 为边作△AP'C≌△APB,连 接 PP',则有以下结论:①△APP'是等边三角形;②△PCP'是直角三角形;③∠APB=150°;④∠ AP'C=105°.其中一定正确的是 ①②③ .( 把所有正确答案的序号都填在横线上 )
A. 2 C.
5 2
5
B. 5 D.5
章末小结与提升
-14-
3.如图,在四边形 ABCD 中,DA⊥AB,DA=AB= 2,BC= 5,DC=1,则∠ ADC 的度数是 135° .
章末小结与提升
类型 1 利用勾股定理求线段的长 典例 1 如图,Rt△ABC 中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC 折叠,使 A 点与 BC 边上的中点 D 重合,折痕为 MN,则线段 BN 的长为( )
-3-
A. B. 3 2 C.4 D.5 【解析】设BN=x,由折叠的性质可得DN=AN=9-x.∵D是BC边的中点,∴BD=3,在Rt△NBD中,由 勾股定理,得x2+32=( 9-x )2,解得x=4.∴线段BN的长为4.
25
-5-
m.
3.如图,四边形 ABCD 是边长为 9 的正方形纸片,将其沿 MN 折叠,使 点 B 落在 CD 边上的 B'处,点 A 对应点为 A',且 B'C=3,则 AM 的长为 2 .
章末小结与提升
类型2 勾股定理的实际应用
典例 2
-6-
如图,小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端,绳子末端刚好接触到地面,然 后将绳子末端拉到距离旗杆 8 m 处,发现此时绳子末端距离地面 2 m.求旗杆的高度.( 滑轮上方的部分忽略不计 )
2.如图,一艘轮船以 16 海里/时的速度从港口 A 出发向东北方向航行,另一艘轮船以 12 海里/时 的速度同时从港口 A 出发向东南方向航行,离开港口 2 小时后,则两船相距( C ) A.25 海里 B.32 海里 C.40 海里 D.56 海里
章末小结与提升
-9-
3.如图,在长方形 ABCD 中,M 为 BC 边上一点,连接 AM,过点 D 作 DE⊥AM,垂足为 E,若 DE=DC=2,AE=2EM,则 BM 的长为
章末小结与提升
-7-
【解析】如图所示,作 BC⊥AE 于点 C,则 BC=DE=8.设 AE=x m,则 AB=x m,AC=( x-2 )m,在 Rt△ABC 中,AC2+BC2=AB2,即( x2 )2+82=x2,解得 x=17,即旗杆的高度为 17 m.
章末小结与提升
-8-
【针对训练】 1.一个无盖的圆柱形杯子,底面直径长12 cm,高为16 cm,将一根长24 cm的竹筷子放入其中,杯口 外面露出一部分,甲、乙、丙、丁四名同学测量露在外面一部分的长度,他们测量的结果是 甲:3 cm,乙:6 cm,丙:9 cm,丁:12 cm,则测量正确的是( B ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
-10-
解:过点 A 作 AC⊥MB 于点 C. 在 Rt△ABC 中,AC=40+40=80,BC=70-20+10=60, AB= 602 + 802 =100. 答:终止点 B 与原出发点 A 的距离 AB 为 100 米.
章末小结与提升
类型3 运-
若△ABC 的三边 a,b,c 满足 a=m-1,b=2 ������,c=m+1( m>1 ), 试判断△ABC 的形状.
章末小结与提升
类型 4 勾股定理及其逆定理的综合应用
-13-
1.如图,在 4×4 方格中作以 AB 为一边的 Rt△ABC,要求点 C 也在格点上,这样的 Rt△ABC 能作出( D ) A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.6 个 2.如图,每个小正方形的边长均为 1,A,B,C 是小正方形的顶点,则△ABC 的面积为( C )
【解析】∵a2+b2=( m1 )2+( 2 ������ )2=m2+2m+1,c2=( m+1 )2=m2+2m+1,∴a2+b2=c2,∴ △ABC 是直角三角形.
章末小结与提升
【针对训练】 1.在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 b2-a2=c2,则下列判断正确的是( A ) A.∠A 与∠C 互余 B.∠B 与∠C 互余 C.∠A 与∠B 互余 D.△ABC 是等腰三角形 2.若△ABC 的三边 a,b,c 满足( a-b )( a2+b2-c2 )=0,则△ABC 是( C ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形
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章末小结与提升
4.如图,某校科技创新兴趣小组用他们设计的机器人,在平坦的操场 上进行走展示.输入指令后,机器人从出发点 A 先向东走 10 米,又向 南走 40 米,再向西走 20 米,又向南走 40 米,再向东走 70 米到达终止 点 B.求终止点 B 与原出发点 A 的距离 AB.
【答案】 C
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章末小结与提升
【针对训练】
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1.如图,在平面直角坐标系中,点 P 的坐标为( -2,3 ),以 O 为圆心,OP 的长为半径画弧,交 x 轴的负半轴于点 A,则点 A 的横坐标是( C ) A.- 5 B. 5 C.- 13 D. 13
章末小结与提升
2.一块直角三角形绿地,两直角边长分别为 3 m,4 m,现在要将绿地 扩充成等腰三角形,且只能将长为 3 m 的直角边向一个方向延长,则 等腰三角形的腰长为 4 或 5 或 6
第18章 勾股定理
章末小结与提升
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勾股定理 在 Rt△������������������中,������,������是直角边,������是斜边,则 ������2 + ������2 = ������ 2 勾股定理 用面积法证明勾股定理 应用:在直角三角形中已知两边长,可求第三边长 勾股定理的逆定理 ������,������,������是△������������������的三边长,若������2 + ������2 = ������ 2 ,则△������������������是 直角 三角形 应用:判定三角形是直角三角形
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3.如图,P 是等边△ABC 内一点,连接 PA,PB,PC,PA∶PB∶PC=3∶4∶5,以 AC 为边作△AP'C≌△APB,连 接 PP',则有以下结论:①△APP'是等边三角形;②△PCP'是直角三角形;③∠APB=150°;④∠ AP'C=105°.其中一定正确的是 ①②③ .( 把所有正确答案的序号都填在横线上 )
A. 2 C.
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B. 5 D.5
章末小结与提升
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3.如图,在四边形 ABCD 中,DA⊥AB,DA=AB= 2,BC= 5,DC=1,则∠ ADC 的度数是 135° .
章末小结与提升
类型 1 利用勾股定理求线段的长 典例 1 如图,Rt△ABC 中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC 折叠,使 A 点与 BC 边上的中点 D 重合,折痕为 MN,则线段 BN 的长为( )
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A. B. 3 2 C.4 D.5 【解析】设BN=x,由折叠的性质可得DN=AN=9-x.∵D是BC边的中点,∴BD=3,在Rt△NBD中,由 勾股定理,得x2+32=( 9-x )2,解得x=4.∴线段BN的长为4.
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3.如图,四边形 ABCD 是边长为 9 的正方形纸片,将其沿 MN 折叠,使 点 B 落在 CD 边上的 B'处,点 A 对应点为 A',且 B'C=3,则 AM 的长为 2 .
章末小结与提升
类型2 勾股定理的实际应用
典例 2
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如图,小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端,绳子末端刚好接触到地面,然 后将绳子末端拉到距离旗杆 8 m 处,发现此时绳子末端距离地面 2 m.求旗杆的高度.( 滑轮上方的部分忽略不计 )
2.如图,一艘轮船以 16 海里/时的速度从港口 A 出发向东北方向航行,另一艘轮船以 12 海里/时 的速度同时从港口 A 出发向东南方向航行,离开港口 2 小时后,则两船相距( C ) A.25 海里 B.32 海里 C.40 海里 D.56 海里
章末小结与提升
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3.如图,在长方形 ABCD 中,M 为 BC 边上一点,连接 AM,过点 D 作 DE⊥AM,垂足为 E,若 DE=DC=2,AE=2EM,则 BM 的长为
章末小结与提升
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【解析】如图所示,作 BC⊥AE 于点 C,则 BC=DE=8.设 AE=x m,则 AB=x m,AC=( x-2 )m,在 Rt△ABC 中,AC2+BC2=AB2,即( x2 )2+82=x2,解得 x=17,即旗杆的高度为 17 m.
章末小结与提升
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【针对训练】 1.一个无盖的圆柱形杯子,底面直径长12 cm,高为16 cm,将一根长24 cm的竹筷子放入其中,杯口 外面露出一部分,甲、乙、丙、丁四名同学测量露在外面一部分的长度,他们测量的结果是 甲:3 cm,乙:6 cm,丙:9 cm,丁:12 cm,则测量正确的是( B ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
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解:过点 A 作 AC⊥MB 于点 C. 在 Rt△ABC 中,AC=40+40=80,BC=70-20+10=60, AB= 602 + 802 =100. 答:终止点 B 与原出发点 A 的距离 AB 为 100 米.
章末小结与提升
类型3 运-
若△ABC 的三边 a,b,c 满足 a=m-1,b=2 ������,c=m+1( m>1 ), 试判断△ABC 的形状.
章末小结与提升
类型 4 勾股定理及其逆定理的综合应用
-13-
1.如图,在 4×4 方格中作以 AB 为一边的 Rt△ABC,要求点 C 也在格点上,这样的 Rt△ABC 能作出( D ) A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.6 个 2.如图,每个小正方形的边长均为 1,A,B,C 是小正方形的顶点,则△ABC 的面积为( C )